Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 127
Скачиваний: 0
6 6 |
|
Л И Н Е Й Н Ы Е О П Е Р А Т О Р Ы |
|
[ГЛ III |
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о |
следует из цепочки |
равенств: |
|||||||
|
А = |
ЕА = |
(Pj + |
Р 2 + |
••• |
+ -Р р)^ = 0- |
|
||
Л е м м а |
7.6. |
Пусть |
Ри |
Р2, |
..., |
Рр — квадратные |
|||
матрицы порядка п, удовлетворяющие равенствам |
|||||||||
а) |
Р,-Р/ = 0 |
(t, / |
= |
1,2..........р; |
іфі), |
|
|||
б) |
|
-Р1 —}- Z32 —[— - - - — |
= Еп. |
|
|||||
Тогда Рх, Р2, ..., |
Рр — проекционные матрицы. |
||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Умножая равенство |
б) на Р,, |
|||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р* = |
Pt, |
|
|
|
||
что доказывает лемму. |
|
|
|
|
Р р — операторы, |
||||
Л е м м а |
7.7. |
Пусть |
Р х, |
Р 2, .... |
|||||
удовлетворяющие условиям |
|
|
|
|
|
|
|||
а) |
|
|
P {P j = |
0 |
(/ ф /), |
|
|
||
б) |
|
Рі + Р г+ |
|
+ Р р = Е , |
|
||||
где 0 и Е — соответственно нулевой и единичный операторы. Тогда Р г, Р 2, Рр— проекционные операторы, расщепля ющие пространство R на подпространства R lt R 2, ..., R p (Ri = P (R ), m. e.
R = R , + R 2+ ... + R p.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так же как и в предыдущей лемме, по умножении равенства б) на Р,- убеждаемся в том, что операторы Р с (і = 1, 2, ..., р) — проекционные.
Далее, из условия б) получаем
х = х г + х 2 + |
■■■ + х р |
(х, = РіХ). |
|
Если X £ Ri, то или х £ R, (і ф |
/), или х — 0. В |
са |
|
мом деле, допуская, что х |
£ R t и х £ Rj, будем иметь P tx |
= |
|
PjX. Но тогда Р\х = Р іХ = P tPjX = 0 и, значит, л: = |
0. |
||
Лемма доказана. |
|
|
|
Г л а в а IV
РАСЩЕПЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА НА ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА.
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ МАТРИЦЫ
§ 1. Минимальные многочлены вектора, векторного пространства, матрицы
Рассмотрим п-мерное векторное пространство R над чис
ловым полем Ж и линейные операторы в нем. Если |
А — |
линейный оператор в/?, то А А = А 2, ААА = А 3, |
А ... |
...А = А т — тоже линейные операторы в /?. |
Будем счи |
|
тать, что нулевая степень любого линейного |
оператора в |
|
R равна единичному |
оператору Е: А° = Е. |
Многочлен |
f W = а іДт + |
а 1Я,т ~1-)- • • • + сст —1к |
ат, |
где ^ Ж, после замены в нем скалярного аргумента к линейным оператором А тоже представляет собой некоторый линейный оператор, а именно:
/ (Л) = ct0Am + |
о^А'"-1 -}- |
• • • |
+ ат_і А -j- &тЕ. |
З а м е ч а н и е . |
Пусть f (к) |
и g |
(к) — два многочлена |
относительно скалярного аргумента с коэффициентами из поля Ж. Тогда в силу того, что для любых целых неотрица тельных р и q (а в случае невырожденного оператора для любых целых р и q)
A pA q= Ap+q = A qA p,
имеем
f (А) g (А) = g (А) f (А),
т. е. любые два многочлена с коэффициентами из поля Ж относительно одного и того же линейного оператора ком мутативны.
»*
6 8 |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е П Р О С Т Р А Н С Т В А |
[ГЛ . IV |
Многочлен скалярного аргумента X со старшим коэффициентом, равным единице,
ф (X) = X« + a fo -' + • • • + aq_ xX + aq, alt а 2, . .. , aq£ ді,
называется аннулирующим многочленом вектора х , если (р(А)х = 0.
Аннулирующий многочлен вектора х наименьшей степе ни называется минимальным аннулирующим многочленом векторах или просто минимальным многочленом вектора х .
Допустим, что степень минимального многочлена век тора X равна р, т. е. ф (А,) = Хр + а^Кр~1-f- ... + арХХ
+ ар. Тогда
А рх-{- <х1А р~'1х + |
■■■ + ар_хА х |
арх = 0. |
|
Отсюда вытекает, что векторы |
|
|
|
X , |
Ах, . .. |
, А рх |
|
линейно зависимы. В то же время векторы |
|
||
X , Ах, . .. , |
А р~'х |
|
|
линейно независимы, так как нет многочлена степени р — 1,
который был бы для вектора х аннулирующим. |
р, а |
|
Если степень минимального |
многочлена равна |
|
ф (X) — многочлен степени меньше, чем р, то из |
|
|
ф (Л) X — 0 |
(1.1) |
|
следует |
0. |
|
ф (X) = |
|
|
Действительно, если допустить, что ф (X) =j=0, то соглас но (1.1) ф (X) — аннулирующий многочлен для х, что невоз можно, так как степень минимального аннулирующего мно гочлена вектора больше, чем степень многочлена г|э (Ä,).
Каждому вектору х отвечает только один минимальный многочлен. В самом деле, пусть
ф (X) = Хр -)- а]Хр~1-f- • • • +
и
ф (?*,) = Хр |
■ + ßp |
— два минимальных многочлена вектора х, т. е.
ф (А )**=0, ф (А)а; = 0.
$ П
Тогда
М И Н И М А Л Ь Н Ы Е М Н О Г О Ч Л Е Н Ы ВЕКТОРА |
69 |
|
[ф (і4 ) — < р (Л )]л : = 0. |
(1 .2 ) |
||
Но степень многочлена ф (к) — ф (к) |
во всяком случае |
|||
меньше, чем р, |
поэтому в силу равенства (1.2) |
|||
и, значит, |
Ф (к) — ф (к) = О, |
|
||
a. = ß< |
(* = 1,2, . . . , р)• |
|||
|
||||
Пусть ф (к) — произвольный аннулирующий многочлен |
||||
вектора х, а |
ф ( \) — его |
минимальный |
многочлен. Тогда |
|
Ф (к) нацело делится на ф (к). Действительно, степень ф (к)
не меньше, чем степень ф (к). Разделив ф (к) на ф (?і), полу чим
Ф ( к ) = ф W х ( к ) + г (к), |
(1.3) |
где т(Ji.) — остаток от деления. Из (1.3) находим
г (А ) х = 0.
Отсюда
г ( к ) = 0,
так как степень многочлена г (к) меньше, чем степень ми нимального многочлена ф (к).
Многочлен ф (к), который является аннулирующим для любого вектора х из R , называется аннулирующим много членом пространства R.
Пусть g = (е1 е%... еп) — базис пространства R , аф (к) — аннулирующий многочлен пространства /?:
Ф (А)х = 0 |
(Y x £ R ) . |
(1.4) |
В силу (1.4) |
|
|
ф(Л)бі = 0 |
(t= 1,2, . . . , п). |
(1.5) |
Пусть фг (X), ..., ф„ (к) — минимальные многочлены век
торов ег...... еп. Из (1.5) следует, что ф (к) делится без остат ка на наименьшее общее кратное многочленов ф!, ..., ф„. Это наименьшее общее кратное обозначим через ф (к). Тогда
Ф (Л)е( = 0 ( £ = 1 ,2 .......... я) (1.6)
70 Р А С Щ Е П Л Е Н И Е П Р О С Т Р А Н С Т В А [ГЛ . IV
и, следовательно,
■ $ { A ) X ’= t y { A ) % x = ( $ { A ) e 1 . . . ф(Л)*?„)х = 0.
Таким образом, ф (Я,) является аннулирующим многочле ном пространства R. Из всех многочленов с равными едини це старшими коэффициентами, удовлетворяющих соотноше ниям (1.6), ф (К) является многочленом наименьшей степени. Этот многочлен называется минимальным многочленом про странства R.
Заданием линейного оператора минимальный многочлен пространства определяется единственным образом. Из един ственности минимального многочлена всего пространства следует, что он не зависит от выбора базиса.
Минимальный многочлен пространства R, являясь ан нулирующим многочленом для любого вектора из R, де лится на минимальный многочлен любого вектора х £ R без остатка.
Пусть g = (ег е2... еп) — базис, а
ф(h) = Хр -f- ct1\ p~1-J- ••• -]- <Xp_\Я -|- ctp
—аннулирующий многочлен пространства R, т. e. для лю бого X £ R
|
|
ф (Л )* = 0. |
(1.7) |
|
Имеем (см. (3.1.2)) |
|
(1.8) |
||
|
|
A g = $A, |
||
где А — квадратная |
матрица, |
отвечающая |
оператору А в |
|
базисе |
g. |
|
|
|
Из |
(1.8) находим |
|
|
|
|
АЩ = А%А~%А\ |
|
||
и, вообще, |
A kg = |
g AK |
|
|
Вследствие этого |
|
|||
Ф (4 )8 = |
8ф(Л), |
|
||
и из равенства (1.7) |
|
|||
получаем |
|
|
||
|
|
g ф(И)х = 0. |
|
|
Отсюда, так как векторы elt е2, ..., еп линейно независимы,
ф '(Л )х= О,
и, поскольку X — произвольный вектор из R,
( 1. 0)