Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 130
Скачиваний: 0
S 2] И Н В А Р И А Н Т Н Ы Е П О Д П Р О С Т Р А Н С Т В А 71
Многочлен г|з (Ä.) называется аннулирующим многочленом матрицы А, если выполняется равенство (1.9).
Как видим, аннулирующий многочлен пространства R, в котором введен линейный оператор А, является аннули рующим многочленом матрицы, отвечающей этому операто ру. Минимальный аннулирующий многочлен пространства является минимальным аннулирующим многочленом матри цы, отвечающей линейному оператору А.
§ 2. Инвариантные подпространства векторного пространства
Подпространство /?х пространства R называется инва риантным относительно линейного оператора А , если ARx а /?х, т. е. А х £ Rx (Ѵ х £ /?х).
Если Rx — инвариантное относительно А подпространст
во, то оно |
будет инвариантным и относительно оператора |
f (4), где f |
(к) — любой многочлен. Действительно, из ас £ |
£ Rx и А х £ Rx следует, что А 2х £ Rx, и, вообще, А кх £ £ Rx, и, значит, для любого многочлена f (к) с коэффициен тами из поля ді f(A)x £ Rx- В частности, подпространство, инвариантное относительно оператора А , инвариантно и относительно оператора А — кЕ. Для оператора А — кЕ имеет место и обратное утверждение, а именно, если х £ /?х
и(А — кЕ) X £ Rx, то
АX = {А — кЕ) X -f- кх £ Rx-
Ле м м а 2.1. Пусть I — подпространство простран ства R и Р — проекционный оператор, осуществляющий проектирование R на I, т. е.
PR = I.
Для того чтобы подпространство I было инвариантным, относительно линейного оператора А , необходимо и доста точно, чтобы
Р А х = А Р х |
для Ѵас£ /. |
(2.1) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть / — инвариантное относительно А подпространство. Тогда для произвольного вектора х £ / имеем
А х = у $ 1 .
72 |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е |
П Р О С Т Р А Н С Т В А |
ГГЛ. IV |
|
|
||||
С другой стороны, |
|
|
|
|
поэтому |
Р х = X |
и Ру = у, |
|
|
А Р х = у |
|
|
||
и |
|
|
||
Р А х — у. |
|
|
||
Отсюда |
|
|
||
( А Р ~ Р А ) х = О, |
|
|||
и, значит, |
|
|||
А Р х = Р А х |
(х £ /). |
|
||
|
|
|||
Д о с т а т о ч н о с т ь . |
Пусть |
справедливо |
равенство |
|
(2.1). Для произвольного вектора х |
£ I имеем |
|
||
|
А х |
= у. |
|
|
Отсюда, учитывая, что х = Р х (л: £ /), получим
АР х = у
идалее, в силу соотношения (2.1),
РА х = у,
т. е.
Ру = у.
Из последнего равенства следует, что у £ /. Лемма до казана.
Рассмотрим какое-нибудь расщепление пространства R на два подпространства / х и / 2:
/? = А + А- |
(2.2) |
Каждому расщеплению (2.2) соответствуют два проек ционных оператора Р г и Я, (/^ — оператор, осуществляю щий проектирование пространства R на подпространство Іг параллельно подпространству / 2, а Р 2 — оператор, осуще ствляющий проектирование пространства R на подпростран ство / 2 параллельно / х).
Пусть /j — некоторое фиксированное подпространство пространства R. Существует бесчисленное множество под пространств / 2, удовлетворяющих соотношению (2.2). Это значит, что даже при заданном / х расщепление (2.2) прост ранства R неоднозначно. Рассмотрим, например, двумерное векторное пространство. Некоторая прямая /, проходящая через О в / ? , выделяет одномерное подпространство Іг. Любая другая прямая, проходящая через 0, но не совпадаю
§ 2] |
И Н В А Р И А Н Т Н Ы Е П О Д П Р О С Т Р А Н С Т В А |
73 |
щая с прямой /, выделяет подпространство / 2 такое, что R = |
||
= А + А- |
/ 2, |
|
При |
фиксированном І х, в зависимости от выбора |
|
будем иметь соответствующую пару проекционных опера торов Р х и Р 2. Эти операторы всегда удовлетворяют соот ношениям
(Рі + Р2) х = х
PlX = |
Xl = |
Л *1 |
(*! € А). |
|
P 2AC = |
л:2 = |
Р2х 2 |
(х2 £ / 2), |
' ’ |
PiXj = |
0 |
{іф- /; і, j = |
1,2). |
|
Л е м м а 2.2. Пусть пространство R расщепляется на два подпространства А и А :
Р — А + А
причем А — подпространство, инвариантное относительно линейного оператора А . Для того чтобы дополнительное подпространство І 2 было также инвариантным относи тельно оператора А, необходимо и достаточно, чтобы
А Р хх = РхА х ' |
|
|
|
ads Р х — оператор, осуществляющий |
проектирование про |
||
странства R на подпространство Іх |
параллельно |
подпро |
|
странству / 2. |
Н е о б х о д и м о с т ь . |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|||
Пусть / 2 — также инвариантное |
подпространство, |
так что |
|
(согласно лемме 2.1) |
|
|
|
А Р 2х 2= Р2А х 2 |
(х 2£ І 2,), |
(2.4) |
|
где Р2 — проекционный оператор, осуществляющий проек тирование R на / 2 параллельно подпространству / ѵ Имеем
Р 2х = {Е — Рх) х |
{X £R). |
|
Для произвольного вектора х — + л:2 из R (лу £ /,•) |
||
АР хх = А Р хх х-\- АР хх 2= АР хх х = РхА х г = |
||
Но, учитывая (2.4), имеем |
|
= РхА х — РхА х г. |
|
|
|
РхА х 2 = (Е — Р 2) А х 2= А х 2 — Р2А х 2 |
= |
|
= А х 2— А Р 2х 2 |
= Ллг2 — Лл:2 - 0. |
|
Поэтому |
(х£ R). |
|
Л PjX = Р :ЛX |
||
74 |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е П Р О С Т Р А Н С Т В А |
[ГЛ . IV |
Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть
А Р іХ = РХА X |
(Y x £ R); |
тогда
А (Е — Р 2) X = (Е — Р 2) А X.
Отсюда
А Р 2х = Р 2А х (x£R),
и подавно
А Р 2х = Р 2А X ( х £ І 2).
Поэтому, в соответствии с леммой 2.1, подпространство
/2 инвариантно относительно оператора А.
§3. Расщепление векторного пространства на инвариантные подпространства
с взаимно простыми минимальными многочленами
Т е о р е м а 3.1. Пусть минимальный многочлен яр (А) пространства R с оператором А представляется в поле ді в виде произведения двух взаимно простых многочленов (со старшими коэффициентами, равными единице)-.
г]) (А,) = іМ А)і|>2(А).
Тогда пространство R расщепляется на два инвариантных подпространства І х и / а (/? = Л + / 2), для которых гИ
ияр2 служат соответственно минимальными многочленами.
До к а з а т е л ь с т в о . Так как % (X) и г[)2 (А) вза
имно |
просты, |
то |
существуют |
многочлены |
(А) |
и %2 (А) |
такие, |
что |
1 = |
'Ф і М Хі (А) + |
(А) %2 (А ). |
|
(3 .1 ) |
|
|
|
||||
Равенству |
(3.1) соответствует операторное равенство |
|||||
где |
|
|
Д = Л + |
Р 2, |
|
(3 .2 ) |
Рі = Фг(А)Хг(А), |
Р 2= іМД)Хі(Л)- |
|
||||
|
|
|||||
Операторы Рс являются проекционными. В самом деле, так как г|э (А) — минимальный многочлен всего пространст ва R, то
іК<4) = °>
и потому
Л Я 2 = Р2Рг= ф (А)%г(А)%2(А)= 0. |
( 3 .3 ) |
§ * |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е В Е К Т О Р Н О Г О П Р О С Т Р А Н С Т В А |
75 |
|
|
Учитывая (3.3), из (3.2) будем иметь |
|
|
|
P i = P t |
(£ = 1,2), |
|
т.е. P t — действительно проекционные матрицы.
Всилу равенств (3.2) и (3.3) пространство R расщепляет
ся на два подпространства:
/ х = |
PXR и / а = Р Л |
(см. лемму 3.7.7). |
определенные как многочлены от А, |
Операторы P it |
перестановочны с А. Поэтому согласно лемме 2.1 подпрост ранства /, (г = 1, 2) инвариантны относительно операто ра А.
Остается показать, что фх и ф2 служат соответственно
минимальными многочленами |
подпространств / х и / 2. |
|
Пусть Хі £ I f |
Тогда |
|
Фі (А ) x t = |
ф, (Л) Р іХі = ф (А)%і (А)Хі = 0 |
|
|
( г ,/= 1 ,2 ; |
іФі), |
т. е. фх и ф2 — соответственно |
аннулирующие многочлены |
|
подпространств Іг и / 2. |
|
|
Пусть, далее, |
фх (А,) — произвольный аннулирующий |
|
многочлен подпространства І ъ а х — произвольный вектор
из R. Имеем |
(Xi £lt). |
х = х 1+ х і |
|
Отсюда |
|
Фі (Л)ф2(Л )* = ф2 (Л)ф1(Л)дг1+ Фі(Л)ф2(Л)л:2 = 0. Так как последнее соотношение выполняется для любо
го вектора х из R, то фх (к) ф2 (А,) является аннулирующим многочленом этого пространства и потому делится без остат ка на минимальный многочлен пространства фх (А.) ф2 (А,). Следовательно произвольный аннулирующий многочлен
подпространства / х — фх (А) — делится на аннулирующий многочлен фх (к) этого подпространства. Значит, фх (к) — минимальный многочлен подпространства Іг. Тем же путем устанавливается, что ф2 (к) есть минимальный многочлен подпространства / 2. Теорема доказана.
Минимальный многочлен ф (к) разложим на неприводи мые в поле üi множители:
Ф(*) = [фі(Ь)]'* ГФ (Л-)]'» ••• ІФшМ]''"-