Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 137
Скачиваний: 0
5 5] |
Ц И К Л И Ч Е С К И Е П О Д П Р О С Т Р А Н С Т В А |
85 |
|
Если п = т + р, то R = Іх -f- / 2. Если же п > |
т + р, |
то, |
рассматривая R по mod (Ix -j- / 2). выделим следующее |
|
циклическое подпространство / s с минимальным многочле
ном яр3 (Я), который будет делителем |
(А) и яр2 (Я). Так как |
|
R конечномерно, этот процесс приостановится на некотором |
||
подпространстве |
/, (t С п). Таким |
образом, имеет место |
следующая |
5.1. Пространство всегда можно расще |
|
Т е о р е м а |
||
пить на циклические относительно данного линейного опера
тора А подпространства Іх, / 2, .... I t (R |
— І х + / 2 + • •• |
|||
|
I t) с минимальными многочленами |
соответственно |
||
"Фі |
Ф2 М> |
Ф< (Я), и при этом я^ (Я) будет совпадать |
||
с минимальным многочленом всего |
пространства, а % (Я) |
|||
будет делителем яр,-_і (Я) (г = 2, |
... t). |
|
||
|
Т е о р е м а |
5.2. Пространство циклично тогда и толь |
||
ко тогда, когда степень его минимального многочлена равна
его |
размерности. |
Пусть тр (Я) = Ят + а^Я"1-1 -f- |
||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|||
+ |
... + ост — минимальный |
многочлен |
«-мерного |
прост |
ранства R. |
|
|
|
|
|
Если R — циклическое пространство, то для некоторого |
|||
вектора е из R векторы е, Ае, ..., А п~1е |
линейно |
незави |
||
симы. Это значит, что минимальный многочлен пространства есть многочлен степени п, т. е. т = п.
И обратно, пусть т — п. Тогда векторы
е, А е ......... Ап~1е,
где е — вектор из R, минимальный многочлен которого совпадает с минимальным многочленом пространства R, образуют базис в R. Значит, R — циклическое простран ство. Теорема доказана.
Т е о р е м а 5.3. Циклическое пространство расщепля ется только на циклические подпространства с взаимно простьши минимальными многочленами.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть циклическое простран ство R расщеплено на инвариантные подпространства Іх и /„:
R = I i + / 2
Обозначим числа измерений пространств R, Іх и / 2соответ ственно через п, пх и /г2, минимальные многочлены этих пространств — через яр (Я), я^ (Я), яр2 (Я), а степени этих многочленов — через т, тх, т%.
86 |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е П Р О С Т Р А Н С Т В А |
[ГЛ . IV |
|
Имеем |
(5.10) |
|
п — щ + п^ |
|
|
m2< n 2. |
(5.11) |
Используя соотношения (5.10) и (5.11) и учитывая, что \|) (А.) есть наименьшее общее кратное многочленов (А) и ■ф2 (А) и потому
т < пц + т%,
будем иметь |
(5.12) |
m<^m^ + т г< П ! + п2 = п. |
Но m = п, так как У? — циклическое пространство, поэтому и в промежуточных звеньях (5.12) имеют место равенства
пг = т1+ т2 = щ + п2.
Из равенства т — тх + т2 следует, что многочлены |
(А) |
||
и гр2 (А) взаимно просты. Из т х + Щ = % -f |
п2в силу (5.11) |
||
вытекают равенства |
|
|
|
т1= п1( |
т 2 = л2, |
|
|
которые свидетельствуют о |
цикличности |
подпространств |
|
/ х и / 2. Теорема доказана. |
|
|
|
Эта теорема, легко видеть, допускает обращение.
Т е о р е м а 5.4. Если пространство расщепляется на циклические подпространства с взаимно простыми минималь ными многочленами, то само пространство циклическое.
С помощью приведенных выше теорем о расщеплении пространства легко устанавливается и следующая
Т е о р е м а 5.5. Пространство не расщепляется на инвариантные подпространства тогда и только тогда, ког да оно циклическое и его минимальный многочлен есть степень неприводимого в Ох многочлена.
Вернемся к расщеплению пространства в соответствии
с теоремой 5.1. |
|
Разложим минимальные многочлены г|)2 (А), |
і|э2 (А), ... |
..., т|), (А) циклических подпространств Іѵ / 2, ..., |
/, на не |
приводимые в поле ді множители: |
|
Фі W = |
[фі W T ' [ф2 M l'* |
^2 (Ь) = |
[фі M ]d‘ [ф2 |
• • • |
[ф5 М іЧ |
• • • |
[ф5 (М іЧ |
(5.13)
'I5/ (А) = [фі (А)]'1[ф2(А)]'» . . . [<ps (^)]'s
(Ck>dk > • • • > /*, k = 1, 2, . . . , s).
S б] |
Н О Р М А Л Ь Н Ы Е |
Ф ОРМ Ы |
М А Т Р И Ц Ы |
87 |
||
|
Применим |
к |
І х теорему 3.1 |
о расщеплении. Тогда |
||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h = /іч + |
1? а |
... а /Г, |
|
где |
7(і1), l f \ |
... , / | s) — инвариантные подпространства |
с |
|||
минимальными |
многочленами |
[фх (А.)]Сі, [ф2 (Ä,)]®*, |
|
|||
... , [ф5(А,)]е*. В соответствии с теоремой 5.3 эти подпро странства сами циклические. Такое же расщепление допу скают и остальные подпространства / 2, / 3, ..., І (. Приходим
кследующей теореме.
Те о р е м а 5.6. Пространство всегда может быть расщеплено на инвариантные циклические подпространства так, чтобы минимальный многочлен каждого из этих под пространств был степенью неприводимого в поле ді много члена.
§6. Нормальные формы матрицы
Пусть дано расщепление п-мерного пространства R на два подпространства: R = Іх -J- / 2, где Іх и / 2 — инвариант ные относительно А подпространства. Пусть, далее, gx =
= (e^ ... вт) — базис в Іх, а |
g2 = (в|2) ... e f) |
— базис в / 2. |
Имеем |
|
|
4 g |
= gA |
( 6. 1) |
где g = (gx g2), а А — матрица, отвечающая в выбранном базисе g оператору А . Представим эту матрицу в виде блоч ной матрицы:
где Ахх, Ах2, А2х, А 22— матрицы типа соответственно т х т, т X q, q X т, q X q.
Тогда (6.1) можно представить так:
— (gl A l А §2 A l ёіА г А §2 А22),
Отсюда
АЦі — giA i А gaAii Afo2 — giAX2-f- g 2И22.
88 |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е П Р О С Т Р А Н С Т В А |
[ГЛ . IV |
Так как Іг и / 2 — инвариантные подпространства, то из полученных равенств ясно, что А21 = 0 и Л12 = 0, т. е. матрица А оператора А в выбранном базисе имеет квазиди агональную структуру:
А = ( Аи |
° \ . |
|
\ 0 |
A j |
|
Тем же путем легко устанавливается, |
что если про |
|
странство R расщеплено на инвариантные |
подпространства |
|
/ х, / 2, ..., /,, то, набрав базис в R из базисов этих подпро странств, мы будем иметь матрицу оператора А в таком бази се в виде квазидиагональной матрицы А = diag (Л11, А22, ...
..., A tt).
6.1.Естественные нормальные формы. Согласно теореме
5.1пространство R может быть расщеплено на циклические
подпространства І ѵ / 2......./, с минимальными многочлена ми соответственно
Фі W |
+ |
К ц ^ '_1 + |
• • • |
+ |
“ im,, |
ф2 (к) = |
Хт>+ |
а21Хт>~У+ |
••• |
+ а 2т„ |
|
Фі (А.) = |
Хт‘ -|- ацХ™1 + |
• • • |
+ |
atmj. |
|
Здесь тг > |
т2 >- ... > пц, причем каждый многочлена^ (X) |
||
есть делитель |
предыдущего. |
||
Пусть |
еѵ |
е2, |
..., et — порождающие векторы подпро |
странств/!, / 2, |
..., |
/(.Составим базис всего пространства R |
|
из базисов этих циклических пространств: g = (gx g2... &), где
& = |
( в ! Л ex . . . |
А т'~1е), |
g2 = |
(e2Ae2 . . . |
Ат'-'е), |
& = (е,Ае, . . . |
А т‘~'е). |
|
Равенство
A g = gA
приводит .к следующим соотношениям:
АП,і = Ы и (і= 1,2, |
( 6. 2) |
Ац — 0 |
(і =#=/)• |
§ 6 |
] |
Н О Р М А Л Ь Н Ы Е Ф ОРМ Ы |
М А Т Р И Ц Ы |
|
89 |
|
Из |
(6.2) |
находим |
|
|
|
|
А (А'1 'e,-) = е,-аі2 + А е ^ І + |
• • • |
+ Л т ‘ |
'ßfOmjn |
|
||
|
|
|
(р = |
1, 2, . . . |
, т,). |
(6.3) |
Здесь fl/Jl — элементы р-го столбца матрицы Ац . При р =
= 1, 2, ..., гПі — 1 |
из |
(6.3) получаем |
|
ад+ід = |
И |
Q/д = 0 |
(/ =7^ М- "Ь !)• |
При р = tnh учитывая, что |
|
||
А т,' е £= |
— а п Л т,'- І е , — . . . — |
||
будем иметь |
|
|
|
а /m, = — а,- т , —Ж |
( / = 1 , 2 , . . . , m,). |
||
Итак, диагональные блоки Л,7 квазидиагональной мат |
|||
рицы Л имеют вид |
|
|
|
"0 0 |
... 0 |
С^іт, |
|
1 0 |
... 0 |
1 |
|
0 1 |
|
|
|
|
|
.... |
|
|
• |
|
|
|
ш |
... 0 — |
«« |
0 0 |
... 1 — |
«а |
|
Про квазидиагональную матрицу, диагональные блоки которой являются матрицами типа (6.4), говорят, что она имеет первую естественную нормальную форму.
Если принять расщепление пространства согласно тео реме 5.6, то в соответствующем базисе матрица оператора также будет квазидиагональной матрицей с диагональными блоками вида (6.4), только в данном случае характеристи ческий многочлен каждого диагонального блока будет сте пенью неприводимого в поле ді многочлена. Про квазидиа-