Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 133
Скачиваний: 0
76 |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е |
П Р О С Т Р А Н С Т В А |
[ГЛ . IV |
Здесь |
cp,, (X) ( k = \ , ..., |
ni) — различные |
неприводимые |
в поле дг многочлены со старшими коэффициентами, равны ми единице.
Тогда, как это вытекает из теоремы 3.1, пространство R
расщепляется на инвариантные подпространства |
Д, Д, ... |
|
..., Іт с минимальными многочленами [ср, (А,)]7*, |
[ср2 (Х)]Д ... |
|
..., [срт (Х)]/т соответственно. |
например Д |
|
Рассмотрим одно из этих подпространств, |
||
с минимальным многочленом |
|
|
М * ) = [фі (*)]'*• |
|
|
Выберем в этом подпространстве базис ві , ..., |
eik.- Ми |
|
нимальный многочлен вектора ец есть делитель многочлена
ф,-(X), поэтому есть многочлен вида [ср, (А) ]^/ (р,- С lt). Но минимальный многочлен пространства есть наименьшее общее кратное минимальных многочленов базисных векто
ров. Значит, |
г|у(Х) |
совпадает |
с |
наибольшей |
из степеней |
[ср(. (Х)]ц/ (/ = |
1, 2, |
..., Д), т. |
е. |
совпадает с |
минимальным |
многочленом одного из базисных векторов вп, е-л, ..., е^с
Обозначим этот вектор через е('>.
Рассмотрим теперь два подпространства Д и Д с мини
мальными многочленами ф,- (X) = [ср,- (к) 1^ и ф;- (к) = [cp;- (X) ]г/. Эти многочлены взаимно просты и являются минимальными многочленами для векторов е{і) £ Д и ell">£ Д соответст венно.
Многочлен ф; (X) ф;- (X) является аннулирующим для век тора е = е(/) + е(/). Действительно,
Фс (Л) ф/ (Л) е = ф/ (А ) ф,- (Л) е(і>+ ф< (Л) ф/ (А ) е<'> = 0.
Покажем, что этот многочлен является минимальным аннулирующим многочленом вектора е<;) + е(і).
Пусть ф (X) — произвольный аннулирующий многочлен вектора ew + е(,). Тогда
ф (Л) е<0 + ф (Л) е(/) = 0.
Воздействуя на это равенство оператором ф,- (Л), полу чим
ф( (Л )ф (Л) è(/) = 0.
Значит, ф, (X) ф (к) — аннулирующий многочлен вектора и потому делится на минимальный аннулирующий мно
§ 4] |
С Р А В Н Е Н И Я |
77 |
гочлен этого вектора ф,- (X) без остатка, а так как ф£ (X)
и фу (X) взаимно просты, то ф (Я) делится на ф/ (Я). Точно
так же показывается, что ф (X) делится на ф,- (X). Значит,
произвольный аннулирующий многочлен ф (X) вектора е{1) -f
+ е(і) делится без |
остатка |
на аннулирующий многочлен |
|
ф,- (X.) фI (X). Отсюда |
следует, что ф£ (X) ф,- (X) — минималь |
||
ный многочлен вектора е(і) |
+ е(/) . |
||
Продолжая рассуждения, придем к тому, что вектор |
|||
е(і) + |
е(2) + |
... + ет г |
|
где е(і) £ І ( — вектор, |
минимальный многочлен которого |
||
совпадает с минимальным многочленом подпространства / £, |
|
и пространство R имеют один и тот же минимальный много |
|
член |
m |
|
|
ф (X) = |
П [cp, (X)]'*. |
|
fc=l |
Таким образом, имеет место следующая |
|
Т е о р е м а 3.2. В |
пространстве R всегда имеется |
вектор, минимальный многочлен которого совпадает с ми нимальным многочленом всего пространства R.
§ 4. Сравнения. Пространство классов сравнимых векторов
Пусть R — векторное |
пространство и і — подпростран |
||||||
ство в |
нем. |
|
у из R считаются сравнимыми по mod/ |
||||
Два вектора х, |
|||||||
в том |
и только в |
том |
случае, если |
х — у £ /. |
Сравне |
||
ние векторов X и у по mod / обозначается так: |
|
||||||
|
|
|
х = у |
(mod/). |
|
|
|
Сравнение векторов по mod I обладает следующими свой |
|||||||
ствами: |
|
|
|
|
|
|
|
1) X ^ X |
(mod/) |
(рефлексивность сравнения). |
|
||||
Действительно, |
X — X = 0 £1. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
2) |
Если X = у (mod /), то и у = х (mod /) (обратимость, |
||||||
или симметричность, сравнения). |
|
у — х = |
|||||
В |
самом |
деле, |
из |
х |
— у £ I |
следует |
|
= — { х — у ) £ І -
78 |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е П Р О С Т Р А Н С Т В |
[ГЛ. IV |
3) |
Если х = у (mod /), у ==z (mod /), |
то х аз z (mod I) |
(транзитивность сравнения).
В самом деле, если х — у £ / и у — z £ I, то
X — Z = (х — у) + (у — z) É/.
Все векторы пространства R можно разбить на классы, относя в каждый класс векторы, попарно сравнимые между
собой по |
mod /. |
|
|
|
|
|
|
||
Для примера рассмотрим двумерное векторное прост |
|||||||||
ранство — пространство векторов, |
лежащих в одной пло |
||||||||
|
|
|
|
скости, начало которых совпадает с |
|||||
|
|
|
|
точкой |
0 этой плоскости. Совокупность |
||||
|
|
|
|
векторов, |
лежащих на |
прямой /, про |
|||
|
|
|
|
ходящей через точку 0, образует под |
|||||
|
|
|
|
пространство /. |
Если X и у |
сравнимы |
|||
|
|
|
|
по m od/, то ясно, что концы |
этих век |
||||
|
|
|
|
торов лежат на |
прямой, |
параллельной |
|||
|
|
|
|
прямой / (рис. 4.1). Совокупность век |
|||||
|
|
|
|
торов с началом |
в точке |
0, концы кото |
|||
|
|
|
|
рых лежат |
на |
одной и той же прямой, |
|||
|
|
|
|
параллельной прямой /, образует класс. |
|||||
вектором |
из |
|
|
Этот класс может быть задан любым |
|||||
данной совокупности. |
|
л |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Класс, содержащий вектор х , обозначим через х . |
|||||||||
Если |
х ^ у |
(mod /), то ясно, что класс |
А |
|
|||||
х совпадает с |
|||||||||
л |
|
л |
л |
|
|
|
|
|
|
классом у : х = |
у. Подпространство / само является клас |
||||||||
сом; поскольку |
оно содержит вектор 0, этот класс можно |
||||||||
назвать классом 0. |
|
|
|
|
|
л |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Множество всех классов, которое обозначим через R , |
|||||||||
обладает следующими свойствами. |
|
|
|
||||||
|
/■ч |
л |
л |
а а £ дг, |
то |
|
|
|
|
Если X, |
у £ R, |
|
|
|
|||||
1) |
|
|
|
JC + y ^ R , |
|
|
|||
2) |
|
|
|
|
ах £ R ■ |
|
|
||
Действительно, |
пусть х |
|
л |
л |
|
/ч |
|||
£ х , у (у, х + |
у = г, a z ^ |
||||||||
класс вектора z. Для любого х г £ х и любого у х £ у имеем
х 1 + у 1 = х + ( х 1 — х) + у + (у1 — у) =
= z + (xi — x) + (y1 — y).
§ 4] С Р А В Н Е Н И Я 79
Отсюда, так как Ху — х |
£ I и у г — у £ /, |
|
|
|||
|
|
x 1+ y 1 = z (mod/). |
|
|
||
Значит, |
Xi 4 |
AS |
As |
|
свойство |
1) до |
Уі £ Z £ /?. Тем самым |
||||||
казано. |
|
л |
|
|
л |
|
Пусть, |
далее, |
|
|
Тогда |
||
гг — класс вектора ах, |
где х £ х. |
|||||
|
|
|
л |
имеем |
|
|
для произвольного вектора х г £ х |
|
|
||||
|
а х х = |
а х -}- а (хг — л:) = |
ах (mod /). |
|
||
Значит, ахі £ z. |
|
|
|
|
|
|
А
В силу свойств 1) и 2) множество всех классов R есть век торное пространство над полем Ж. Роль нуля в этом про
странстве выполняет класс 0.
Будем считать, что векторы х х, ..., х р линейно зависимы
по mod' I, если существуют такие числа а х, |
арв Ж, не все |
||||
равные нулю, что |
|
|
|
|
|
ахХу 4 а2х 2+ |
• • • + арх р= 0 |
(mod/). |
(4.1) |
||
Равенство (4.1) означает принадлежность вектора |
а^Ху 4 |
||||
•4 а2х 2 4 |
••• 4 «рЛГр подпространству |
I. |
при |
условии |
|
Если |
же равенство |
(4.1) возможно |
лишь |
||
ах = а2 — ... = ар = 0, то векторы x lt х 2, ..., х р линейно независимы.
Пусть размерность пространства R равна п, подпрост ранства I равна т. Выясним, какова размерность п про
странства R. Векторы x lt х 2, ..., х р пространства R будем называть линейно зависимыми, если в Ж существуют такие числа а1г а2, ..., ар, не все равные нулю, что
|
|
Л |
Л |
A. |
As |
(4.2) |
|
|
а хХу 4- а2х 2+ |
• • • 4- а.рХр = |
0. |
||
Если же |
равенство |
(4.2) |
возможно лишь при |
условии |
||
а х = а 2 = |
... = ар = 0, |
то векторы х ъ ..., |
х р линейно не |
|||
зависимы. |
еъ |
е2, ..., ет — базис подпространства / |
и ег, ... |
|||
Пусть |
||||||
..., ет, Ху, ..., Xп-т — какая-нибудь система п линейно неза
висимых векторов из R. Рассмотрим классы х х, х 2, ..., х п—т, соответствующие векторам х х, х 2, ..., х п- т. Все эти классы различны.