Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

В самом деле, если допустить, что, например, классы

классы линейно независимы. Допустим противное, а именно,

Последнее равенство означает линейную зависимость векторов лд ..., Хп-т, ет, что противоречит исходной предпосылке.

Итак, в пространстве R имеется система п = п — т

линейно независимых векторов лд х 2, ..., х„-т-Покажем, что в этом пространстве нет большего числа линейно неза­

что означает линейную зависимость векторов х ъ х 2, ...,лгл+і- Тем самым доказано, что размерность пространства R

что если ко всем векторам х', х", ... некоторого класса х применить оператор А , то полученные векторы А х', А х", ...

также будут принадлежать одному и тому же классу, кото­

рый обозначим через А х. Линейный оператор А, таким образом, переводит класс в класс и потому является ли­

нейным оператором в пространстве R.

Многочлен cp (к) называется аннулирующим многочленом вектора х по mod /, если

Ф (Л) х = 0 (mod/).

Аннулирующий многочлен вектора х по mod / наимень­ шей степени называется минимальным многочленом, векто­ ра X по mod /.

Многочлен, который является аннулирующим для лю­ бого вектора х из R по mod I, называется аннулирующим многочленом пространства R по mod /.

Аннулирующий многочлен пространства R по mod I наименьшей степени называется минимальным многочленом

Значит, ф (А) в то же время является и аннулирующим мно­ гочленом вектора х по mod /. Степень этого многочлена не меньше, чем степень многочлена фх (А,). Разделив ф (А.) на Фх (А), получим

Ф М = Фі W * (Ц + г (А),

где г (А) — многочлен меньшей степени, чем фх (А). Из по­ следнего соотношения находим

Точно так же можно показать, что справедливы и другие предложения, касающиеся аннулирующего и минимального многочленов вектора и пространства по mod /, аналогичные доказанным в предыдущем параграфе свойствам аннулирую­ щего и минимального многочленов вектора и пространства. Это обусловлено тем, что сравнения по mod/, по существу, означают равенства, только не в пространстве R, а в про­

странстве R.

В частности, справедливо следующее утверждение, кото­ рое будет использовано ниже: в пространстве R существует вектор, минимальный многочлен по mod / которого совпада­ ет с минимальным многочленом по mod / всего простран­ ства.

§ 5. Циклические подпространства векторного пространства

линейно независимы, а вектор А ре есть линейная комбина­ ция этих векторов:

А ре = — а„е — сср-іАе— ••• — ахА р~'е, (5.2)

Векторы (5.1) образуют базис некоторого р-мерного под­ пространства J. Ввиду специального характера базиса (5.1) это подпространство называется циклическим.

Циклическое подпространство всегда инвариантно отно­ сительно оператора А, ибо из того, что

X = с1Лр-1е + с2А р~2е + ••• + сре £ /,

следует в силу (5.2), что А х £ /.

Произвольный вектор х £ / представляется как линей­

где %(А,) — многочлен от А,степени -< р — 1с коэффициента­ ми из ?С. И обратно, вектор х, определенный равенством (5.3), где %(X) — любой многочлен относительно X степени р — 1 с коэффициентами из ОС, является линейной комби­ нацией базисных векторов (5.1) и потому принадлежит подпространству /. Учитывая это, говорят, что вектор е

порооісдает подпространство /.

Ясно, что минимальный многочлен порождающего вектора е будет в то же время минимальным многочленом всего про­ странства.

Ниже будет показано, что пространство R расщепляется

ный многочлен пространства R. Тогда в R существует век­ тор е, для которого фх (А) является минимальным многочле­ ном. Линейно независимые векторы

/ ѵ Если п = т , то R — Іѵ и, значит, R — само цикличе­ ское пространство. Пусть п > т и многочлен

Далее, в /? существует вектор g*, минимальный много­ член по mod А которого совпадает с ф2 (А):

многочленом вектора е и потому делится без остатка на

g = g* (mod А).

Отсюда ф2 (А) является минимальным многочленом по mod А и для вектора g. Если к тому же учесть равенство (5.7), то будет ясно, что ф2 (А) является также и минималь­ ным многочленом вектора g. В таком случае векторы

линейно независимы и образуют базис некоторого подпро­ странства А-

Так как ф2 (А) — минимальный многочлен по mod А вектора g, то векторы (5.9) линейно независимы по mod А> т. е. никакая линейная комбинация векторов (5.9) с не рав­ ными одновременно нулю коэффициентами не может рав­ няться линейной комбинации векторов (5.4). Так как век­

линейно независимы и образуют базис инвариантного под­ пространства А + А с числом измерений т + р.