Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 151
Скачиваний: 0
§ 8] Р А З Л О Ж Е Н И Е К В А Д Р А Т Н О Й М А Т Р И Ц Ы НА С О С Т А В Л Я Ю Щ И Е ] 19
Примем
*1 = |
|
|
|
|
|
— 3 |
6 |
— 3 |
|
Д., (U) = { U — Х{п£ 4) {U — Х ^ Е 4) = |
— 9 |
12 |
— 6 |
|
— 12 12 |
— 6 |
|||
|
||||
|
— 6 |
6 |
— 3 |
|
Примем
Преобразующая матрица
К= (К,К2) =
м= к ~ х=
Отсюда |
|
|
|
|
2 |
|
|
М - : |
|
|
К |
М2 = — 1 |
— 1 |
U к |
|
|
|
— 1 |
О |
О |
|||
и, далее, |
7 |
12 |
|
|
|
2 |
|
Л, = М.иКг = |
|
Л2 = Ш//С, = |
|
||||
— 4 |
— 7 |
|
|
|
О — |
|
|
Таким образом, |
матрица |
|
преобразует |
матрицу |
|
||
виду |
|
|
|
|
|
|
|
1
Л = ,
7 |
1 |
12 |
0 |
0 |
|
- 7 |
0 |
0 |
|
|
|
|||
0 |
|
0 |
2 |
8 |
0 |
|
0 |
0 — 2 |
|
1 2 0 П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е М АТР И Ц Ы [ГЛ V
Составляющие матрицы U:
'2
и 1 = /с а м 1 = ' 3
У, = /С,А Д =
— 16 8 — 4 12
б) Приведем теперь матрицу U к диагональному виду. Для этого разобьем собственные значения на четыре группы:
id) |
1. |
Л(2) = - |
1, |
= |
2, |
|
^(4) |
= — 2. |
|
|
Ax(t/) = (i/- |
1(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( — 12 |
|
12 |
— 24 |
36 |
||
|
|
|
|
— 18 |
|
18 |
■- 3 6 |
54 |
||
|
|
|
|
— 24 |
24 |
- 4 8 |
72 |
|||
Примем |
|
|
|
V— 12 |
|
12 |
•- 2 4 |
36 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* і = і |
|
|
|
|
|
|
|
Да (U) = |
(U - |
Х(']Е,) (iU- |
Я(3>£ 4) (U - |
%{4)Е,) |
- |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
/ ° |
0 |
— 18 |
36' |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
— 24 |
48 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
— 30 |
60 |
Примем |
|
|
|
|
“ |
I1ѴО 0 |
— 18 |
36 |
||
3
§ 8] РАЗЛОЖ ЕНИЕ КВ АДРАТН О Й М АТРИ ЦЫ НА СОСТАВЛЯЮ Щ ИЕ 121
Д 3 (1/) = (U - X^EJ (U - ХтЕ,) (U - Х(І)Е,) =
Примем
|
Кя = |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д4 (U) = ( f J - Х(1)Е4) (U - |
Х{2)Е,) (U - |
Х^Е,) = |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
/ — 24 |
О |
О |
24N |
||
|
|
|
|
|
— 36 |
0 |
0 |
36 |
|
|
|
|
|
|
— 24 |
0 |
0 |
24 |
|
Примем |
|
|
|
\ — 12 |
О |
О |
12, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К, = |
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразующая матрица |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К = (K^KsKi) = |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( 1 |
— 1 |
2 |
- 3 \ |
|
|
|
||
A4 = ЛГ1= |
0 |
0 |
— 1 |
|
2 |
1 |
|
|
|
— 3 |
2 |
— 1 |
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
V |
1 |
- 1 |
/ |
|
|
|
||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
УИ1 = (1 — 1 |
2 - 3 ) , |
м , == (0 |
0 |
— |
1 |
2), |
|
||
/И3 = (—3 2 |
—1 |
2), |
М 4 == (1 |
0 |
0 |
|
- 1 ) . |
||
122 |
П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е |
М А Т Р И Ц Ы |
|
|
|
[ГЛ. V |
|||||
Без вычислений ясно, что |
Лх = |
^(1) |
= 1, |
Л2 = |
Я,<2) |
= —1, |
|||||
А3 = Л(3) = |
2, Л, = |
ы _ |
—2. Поэтому |
|
|
|
|
|
|||
|
|
/1 |
0 |
0 |
0' |
|
|
|
|
|
|
|
Л = |
1 0 |
— 1 0 |
0 |
|
|
|
|
|
||
|
0 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
\о0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
0 — 2, |
|
|
|
|
|
|||
Составляющие матрицы U: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Г 3 |
— 2 |
4 |
- б |
\ |
|
|
||
Ux = К.АіМу = |
— 3 |
6 |
— 9 |
|
|
||||||
4 |
— 4 |
8 |
— 12 |
|
|
||||||
|
|
|
\2 |
— 2 |
4 |
- 6 |
у |
|
|
||
|
|
|
/ ° |
0 |
3 |
— |
6 \ |
|
|
|
|
U2 = КА*М . = |
о |
0 |
4 |
— |
|
|
|
||||
, 0 |
0 |
5 |
|
8 |
1 |
|
|
||||
|
|
|
— |
10 Г |
|
|
|||||
|
|
|
\0 |
0 |
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
— |
6 У |
|
|
|
||||
Ua = К А .М , = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
\ — 6 |
4 |
- 2 |
|
4 |
|
|
||
|
|
|
/ |
4 |
0 |
0 |
4\ |
|
|
|
|
U4 = К4А4М4= |
— 6 |
0 |
0 |
6 1 |
|
|
|
||||
|
|
|
— 4 |
0 |
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
СМ |
0 |
0 |
У |
|
|
|
|
§ 9. Матрицы ортогонального проектирования |
|
|
|||||||||
Введем в рассмотрение матрицы |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Ръ = КоМа |
(а = |
1,2, |
. . . . р), |
|
(9.1) |
|||||
где Ка, М а — матрицы, фигурирующие в разложении |
(8.1). |
||||||||||
Матрицы |
Ра инвариантны |
относительно |
Ко- |
Действи |
|||||||
тельно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ра = КаМа = KoNaNö' Ма = КаМ0 = Ра.