Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 150

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

114

П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е М А Т Р И Ц Ы

[ГЛ. V

и потому

А (U) = 0.

Матрица А (U) является множителем левых частей всех равенств (7.3), что и подтверждает справедливость этих ра­ венств. Теорема доказана.

Равенство (7.5), как мы видели, является необходимым условием того, чтобы U имела простую структуру. Можно показать, что (7.5) является в то же время и достаточным условием.

Действительно, из (7.5) следуют равенства

 

П ( А о - К Е ка) = 0

(с = 1,2, . . . ,

р).

 

S — 1

 

 

 

 

Но при ст Ф s матрицы Аа — Х$Ека являются

невырожден­

ными,

значит,

 

Аа XaEk(J = 0.

 

 

 

 

 

Следовательно, диагональные блоки матрицы Л, по­

добной U, являются

диагональными матрицами, а это озна­

чает,

что U — матрица простой структуры. Таким образом,

имеет

место и

такая.

 

 

Т е о р е м а

7.2.

Пусть Хх, Х2, ..., Хр — все различные

собственные значения матрицы U. Для того чтобы матрица U имела простую структуру, необходимо и достаточно, чтобы

А (£/)= U ( U - K E n ) = 0.

5 = 1

С л е д с т в и е . Если U — матрица простой струк­ туры с одинаковыми собственными значениями, равными X, то непременно

U = ХЕ.

З а м е ч а н и е 1. Если U — матрица простой струк­ туры, то

Д (X) = П (X — Xs)

S = 1

является ее минимальным многочленом.

З а м е ч а н и е 2. Равенство А (U) — 0 является необ­ ходимым и достаточным условием линейности всех элемен­ тарных делителей характеристической матрицы ХЕ — U.

§ 8] Р А З Л О Ж Е Н И Е К В А Д Р А Т Н О Й М А Т Р И Ц Ы Н А С О С Т А В Л Я Ю Щ И Е 115

§ 8. Разложение квадратной матрицы на составляющие

Равенство (3.9) после перемножения блочных матриц К, А и М можно записать в виде

U = ijt/a ,

(8.1)

ст=1

 

где

 

и а = КЛаМа.

 

Квадратные матрицы Uа (о = 1,2...... р) будем называть

составляющими матрицы U. Каждая составляющая Uа

матрицы U отвечает группе о собственных значений этой ма­ трицы. Собственные значения матрицы U, включенные в группу о, являются собственными значениями и для ее

составляющей Ua\

остальные п — kGсобственных

значе­

ний матрицы U . (ko — число собственных значений

матри­

цы U, включенных

в группу ст) равны нулю. Это

следует

из того, что матрица MUCK, подобная матрице Ua, явля­ ется квазидиагональной матрицей, в которой диагональным

блоком с

номером о,

как и в матрице А, служит ka X ka-

матрица

Аа,

а все

остальные

диагональные блоки — ну­

левые.

 

 

 

 

Составляющие матрицы V, как нетрудно проверить, ис­

пользуя

(3.5),

взаимно ортогональны:

 

 

UaUs = 0

(о Ф s),

и, кроме того, удовлетворяют еще следующим соотношениям:

U'Z = KoKMo (т= 1, 2, . . . ),

UUo = UoU = U l

Как уже отмечалось, в выборе матриц Ко (о = 1, 2, ..., р) при данном разбиении собственных значений матрицы 0 на группы имеется определенный произвол (см. § 5). Со­ ставляющие же и а при данном разбиении собственных чи­ сел на группы определяются однозначно; они инвариантны относительно произвола, имеющегося в выборе Ко- Дейст­ вительно, принимая вместо Ко матрицу KoNo, будем иметь

до = KoÂoMo = KoNoNölAaNaNölMo = КоАаМа = Ua.

Пусть / (А.) — многочлен скалярного аргумента А. Если две матрицы А и В подобны и матрица Т преобразует А в В,

116 П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е М А Т Р И Ц Ы [ГЛ. V

то матрицы f (А) и f (В) также подобны, причем та же мат­ рица Т преобразует f (А) в f (В).

Матрицы U и А

подобны, и матрица К преобразует U

в А. Поэтому f (U)

и f (А) подобны и К преобразует / (U)

в f (А), т. е.

f(U)=Kf(A)M.

 

Отсюда непосредственно вытекает следующее разложение матричного многочлена / (U) на взаимно ортогональные со­ ставляющие:

f{U) = ^ К аҢАа)Ма.

(8.2)

СТ=1

 

Разложение (8.2) справедливо при произвольном разбие­ нии собственных значений матрицы U на группы согласно условию (3.1).

Посмотрим, какой вид приобретает формула (8.2) в том частном случае, когда в каждую группу объединены только равные между собой собственные значения.

Допустим сначала, что все собственные значения матри­ цы U порядка п простые и эти собственные значения разби­

ты на п групп. В данном случае

 

Aa(U) = n ( U - l sEn)

(ст = 1,2, . . . . п)

S=1

 

S^ö

 

— матрицы ранга 1 и потому каждая из этих матриц раз­

лагается

на

произведение

п X 1-матрицы

Ко

на

1 х

X «-матрицу Моа-

КоМоо.

 

 

 

 

 

Да (£/) =

 

 

 

Преобразует (8.2). Учитывая, что в данном случае

Аа =

= Ха и, следовательно, / (А0) = f (Ха) — скаляр,

и исполь­

зуя (3.4),

будем иметь

 

 

 

 

f(U)= f ; Kof (Ха) Ма =

 

 

 

 

( 7 = 1

 

 

 

 

 

 

=

У / (К) Ко (МооКоГ' М0а = V

/ (Ха) ^

,

ИЛИ

 

а^І

ad

 

 

0а а

 

п

д а/) ■

 

 

( 8 3 )

 

 

 

 

 

 

(7 = 1

 

 

 

Вычислим МаоКо-

§8] Р А З Л О Ж Е Н И Е К В А Д Р А Т Н О Й М А Т Р И Ц Ы НА С О С Т А В Л Я Ю Щ И Е Ц 7

Матрицу, присоединенную к характеристической мат­ рице А£„ — U, обозначим через F (А.). Имеем

F (А) (АЕп - U) = (АЕп-~Н) F (А) = Д (А) Еп, (8.4)

где

Д(А) = П (А -А 5)

S ~ 1

—характеристический многочлен матрицы U. Прежде всего покажем, что

 

Да (Н) = f

(Aff).

 

(8.5)

 

Положим

 

 

 

 

 

 

 

Д (А) — Д ( х ) ____ п

X).

 

( 8. 6)

 

А— X

-

=

*

 

 

 

 

 

 

В этом равенстве заменим А

на

U, а х

на

А£„;^тогда,

так

как A (U) = О,

 

 

 

 

 

 

 

(А£„ — П) ер (С/, А) =

Д(А)£„.

 

 

 

Отсюда видно, что ф (Н,

А) есть матрица,

присоединен­

ная

к матрице АЕп — U.

равенства (8.6),

если положить

С другой стороны, из

X = Аа, получаем

 

 

 

 

 

 

 

Ф(А, Aa) =

jA ^ -

=

ДСТ(А),

 

 

и,

значит,

Асг) =

Д0(П),

 

 

 

ф (П ,

 

 

что и доказывает справедливость равенства (8.5).

 

Продифференцируем равенство (8.4) по А и в полученном

соотношении положим А =

Аа. Будем иметь

 

 

 

(koEn~ U ) dF (А)

 

"Ь F (Ад) — До (AC) Еп.

 

dX

 

 

 

 

 

 

Умножим последнее равенство слева на F (Аа) и, учиты­ вая, что F (Аа) (Аст-Е,,— U) = 0 (это следует из равенства (8.4)), получим

F“(ACT) = AC (ACT) F (ACT),

ИЛИ

AC(JJ) — AC (AJ) A(j (H).

(8.7)

С другой стороны, так как в данном случае МъаКо — скаляр,

ACT(U) = K«M0aKcMQü= МооМстАст ((/).

(8.8)

1 18 П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е М А Т Р И Ц Ы [ГЛ. V

Сравнивая равенства (8.7) и (8.8), получаем

Да(Ха)

—М о а К а -

 

С учетом полученного соотношения (8.3) приобретает

вид

 

 

"

Д (U)

 

а=1

< 8 - 9 >

 

что представляет собой формулу Сильвестра для случая, когда все собственные значения матрицы U простые. Из соотношения (8.9) путем предельного перехода может быть получена общая формула Сильвестра, справедливая и при наличии у матрицы U равных друг другу собственных зна­ чений:

f(U)=* У

d k a ~ l / f ( X ) F ( X ) ,

iX ko - ' [ Д0 (Я) I X—XQ

О—1

Здесь Xa обозначает общее значение всех ka равных собст­ венных значений матрицы U, включенных в группу о (Ха=

= х? \

/ = 1 ,

2 ........ ka).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р .

Приведем

к

квазидиагональному

виду и

разложим

на

составляющие

матрицу

 

 

 

 

 

 

 

 

/ — 8

 

2

5

 

—4 \

 

 

 

 

 

 

 

— 15

5

6

— 3

\

 

 

 

 

 

 

 

— 12

 

4

9

— 10 1'

 

 

 

 

 

 

 

V— б

 

2

5

— 6 /

 

 

 

 

 

а) Собственные значения этой матрицы Хг — 1, Х2 =

—1,

Х3 = 2,

Я4 = —2 разобьем,

например, на

следующие

две

группы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

группа

1:

' =

1,

 

Х2

=

— 1,

 

 

 

 

группа

2:

Я(і2) = 2,

 

Х(22) =

— 2;

9

-6

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( − 6

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

■3

0 \

А, (U) =

(U -

Х?Е,) {U -

A f £.,) =

 

12

12

9

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\ — 6

6

■3 0 /

Смотрите также файлы