Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 154
Скачиваний: 0
§ 9] |
М А Т Р И Ц Ы О Р Т О Г О Н А Л Ь Н О Г О П Р О Е К Т И Р О В А Н И Я |
123 |
Непосредственной подстановкой выражёния (9.1) в (8.1) получаем
UPa = PCU = и а |
( а = 1 , 2 .......... |
р). |
Как видно, с помощью матрицы Ра можно выделить ор тогональную составляющую Ua матрицы U, соответствую щую изолированной группе о собственных значений этой матрицы.
Отметим еще следующие равенства, справедливость ко торых устанавливается без труда:
Ao(U)Po = PoAo(U) = Ao(U) |
( о = 1 , 2, . . . , |
р). |
|
С использованием равенств (3.5) легко доказывается, |
|||
что Ра (а = |
1,2, ..., р) — проекционные матрицы, |
удовле |
|
творяющие соотношениям |
|
|
|
Р'а — Р а |
( 0 = 1 , 2 , . . . , / ? ; |
т = 1, 2, . . . ), |
|
A PPS = ° |
{зфа), |
|
,(9.2) |
а—1 |
|
|
' |
Вышеизложенное позволяет чисто алгебраическим пу тем построить проекционные матрицы Ра (о = 1 ,2 .......р). Хорошо известно другое представление проекционных матриц, а именно, матрица, ортогонально проектирующая п-мерное векторное пространство R на £0-мерное инвариант
ное подпространство |
Ra, соответствующее |
изолированной |
||
группе собственных значений Х\а\ |
XfK ..., |
матрицы U, |
||
равна (см., |
например |
[54]) |
|
|
Pa = ^ |
r j>Q,En- U ) - xdX |
( а = 1 , 2 |
......... р), (9.3) |
|
|
Ѵ<т |
|
|
|
где уа — спрямляемая замкнутая дуга, проходящая в комплексной плоскости на положительном расстоянии от собственных значений (спектра) матрицы U и отделяющая
собственные значения К\а), XfK ■■■> от остальных соб
ственных значений матрицы U.
Свойства матриц (9.3) вполне аналогичны свойствам матриц (9.1), т. е. матрицы (9.3) удовлетворяют равенствам
(9.2).
124 |
П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е |
М А Т Р И Ц Ы |
[ГЛ. V |
||
Мы покажем, что, более того, |
|
|
|||
2^ - $ |
ß E n - U)~l dX ^ |
КоМо |
( о = 1 , 2 ..........р). (9.4) |
||
Уа |
|
|
|
|
|
Пусть |
|
|
|
|
|
|
N = |
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NP_ |
|
— квазидиагональная |
матрица, |
приводящая |
квазидиаго |
||
нальную |
матрицу А |
к |
нормальной форме Жордана |
||
J= diag (Jlt J2.......Jp). Тогда, принимая во внимание (3.9)
и(3.7), получим
(ХЕп - U )-'= [К (ХЕП- А) М }-'= [KN (ХЕ„- J) N-'M}~'=-.
= AT'N (XEn — JГ 1N~'K~l = KN (XEn- J)~l N~lM.
Отсюда
(XEn- U)-1= Y KSNS (XEks- Jsr ’ NJ' M4. (9.5)
S=1
Матрицы Js являются квазидиагональными матрицами, диагональные блоки которых представляют собой клетки
Жордана j \s):
Js = diag (J\s)).
В соответствии с этим |
|
(XEki - Js)~l = diag (XEksi - |
(9.6) |
Обозначим через y\s) контур, содержащий внутри себя собственные значения клетки Жордана Jjs) (которые, ко нечно, одинаковы), а через у|5) — контур, который не со
держит внутри себя собственных значений матрицы J |s) и проходит на положительном расстоянии от них.
$ 9] |
М А Т Р И Ц Ы О Р Т О Г О Н А Л Ь Н О Г О |
П Р О Е К Т И Р О В А Н И Я |
125 |
||||||||
Покажем, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
<f>( Щ з1 - |
As)r ' dX = |
2niEksl, |
|
(9.7) |
||||
|
|
|
v}«> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
|
|
= 0. |
|
|
|
(9.8) |
|
|
|
|
v{*> |
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, обозначая общее значение равных соб |
|||||||||||
ственных значений |
матрицы jf* |
через |
Xf\ |
будем |
иметь |
||||||
|
|
|
X _ |
x f ] |
— 1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
X — X\s) |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
о |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. - 1 |
|
|
|
|
|
о |
о |
|
|
|
|
X — Х‘*\ |
|
Обратная |
матрица: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
- [ ( Х - х ? У * ~ !£ьзі + |
|
|||||
|
|
|
(X — X(.s) Asi |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+ (X - |
x\s)p ‘- 2Hks[ + |
|
|
|
||||
|
|
+ |
(Я. - |
Х?У*‘- 3НІ5І + |
. . . |
+ (X - |
Х \у н у - 11 |
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нks l~ l |
|
(ХЕк$і |
J[ |
) |
■- х Eksi_ X(S) |
+I■^ _^ Я(5))+ .- |
|
|
|||||
- |
- |
+ (Я — Ajs))As,-' |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.9) |
Здесь |
Hksl — квадратная |
матрица |
порядка |
ksh все эле |
|||||||
менты которой равны нулю, кроме элементов первого после главной диагонали косого ряда, которые равны единице (матрица сдвига).
126 П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е М А Т Р И Ц Ы [ГЛ. V
Проинтегрируем обе части равенства (9.9) по некоторому
замкнутому контуру у. Получим |
|
|
|
ф № * - J l T ' л . = |
£,,, ф |
, |
(9. Ю) |
V |
V |
1 |
|
так как |
|
|
|
^ |
= 2.3, |
...). |
|
V |
|
|
|
Если у = y,-s), то контурный интеграл в правой части равенства (9.10) равфн 2лг, и мы получаем соотношение
(9.7). Если же у = y*.s), то этот интеграл равен нулю, и,
значит, справедливо и другое соотношение — (9.8). Учитывая (9.6), (9.7) и (9.8), находим
(( (X£ft(J — Ja)~l dk = 2ліЕко, |
(9.11) |
|
Vo |
|
|
(kEks - Jsr ' dX = 0 |
(s=£o). |
(9.12) |
Vo |
|
|
Наконец, используя равенства (9.5), (9.11) и (9.12), будем иметь
^ Ф ( 7 £ Л- Н Г ' Л =
Ѵо
2лі |
S |
KsMs(f-(KEks- J sr ' d l N T ]Ms |
|
Vo |
|||
|
S = 1 |
= -2ЙГ K°N° № о - ^ Г ' dXNö'Mo = КаМа = Ра.
Vo
Таким образом, соотношение (9.4) доказано.
В заключение этого параграфа укажем способ преобра зования матрицы U к квазидиагональному виду в случае, когда собственные значения какой-нибудь изолированной группы неизвестны.
Пусть, например, неизвестны собственные значения, включенные в последнюю группу (группу р). Мы можем построить матрицу Ар (U), поскольку остальные собствен ные значения матрицы 0 предполагаются известными, а значит, можем построить и Рр.
§ ІО] О П Р И В Е Д Е Н И И |
К |
К В А З И Д И А Г О Н А Л Ь Н О М У |
В И Д У |
127 |
Из последнего равенства (9.2) находим |
|
|
||
р—l |
Po == Р—р — Ел Рр- |
|
|
|
^ |
|
|
||
0=1 |
|
|
и Рр обра |
|
Линейно независимые столбцы матриц |
||||
зуют матрицу (К-рКр), |
преобразующую матрицу U к ква |
|||
зидиагональному виду |
|
|
|
|
причем собственными значениями матрицы Л_р являются известные собственные значения матрицы U, включенные в первые р — 1 групп. Таким образом, задача по приведению матрицы U к квазидиагональному виду в соответствии с раз биением ее собственных значений на р групп сводится к задаче по приведению к квазидиагональному виду матрицы Л _ р в соответствии с разбиением ее собственных значений (известных) на р — 1 группу.
§10. О приведении к квазидиагональному виду
иразложении на составляющие одной матрицы
специального вида
Рассмотрим квадратную матрицу и и матрицу U, опре деленную равенством
Такое соотношение, в частности, встречается при пере ходе от системы дифференциальных уравнений второго по рядка к системе уравнений первого порядка.
Будем предполагать, что и — матрица простой струк туры порядка п. Заметим, что отсюда не следует, что U так же будет матрицей простой структуры.
Выясним прежде всего, в каком соотношении находятся собственные векторы и собственные значения матриц и и U.
Пусть ѵ1( ѵ2...... ѵ„ — собственные значения, а кѵ щ, ...
..., кп — соответствующие собственные векторы матрицы и. Введем следующие обозначения: