Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 155
Скачиваний: 0
128 |
П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е |
М А Т Р И Ц Ы |
[ГЛ . |
V |
||
где |
|
|
р, = х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В соответствии с этим будем иметь |
|
|
||||
|
№ |
= |
б|/ = 10, |
і ф ! , |
|
|
|
|
|
Ь . |
П * = /, |
|
|
|
\ljU X j = |
Vj, |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ = 1 |
|
U, |
Допустим, |
что |
/( / — собственный вектор |
матрицы |
|||
отвечающий собственному значению Xj. Представим К в виде
|
К , = |
<(1> |
|
|
|
,<2) |
|
||
|
|
|
||
где х<'> — некоторый |
«-мерный |
вектор |
(матрица-столбец). |
|
По определению |
и к , = к,к,, |
|
||
или |
|
|||
|
|
|
|
|
\Еп |
0 Д х < 2>/ |
J\x<27 |
||
Отсюда |
— ux<2' = |
ЯухО), |
(ЮЛ) |
|
|
||||
|
х<» = |
^.х<2>. |
(10.2) |
|
Подставив (10.2) в (10.1), получим |
|
|||
|
ш<<2>= — |
2). |
(10.3) |
|
Равенство (10.3), очевидно, будет удовлетворяться, если |
||||
|
= Kj, |
|
|
|
X j ^ - V i |
|
(/ = 1 , 2 , -----n). |
||
Таким образом, каждому собственному значению ѵ/ мат рицы и соответствуют два собственных значения матрицы U, которые даются формулами
l!» = i K r a ( c o s Ä ä - + ism JSIS .),
(1 0 .4 )
= і К Ы ( с о з З і У |
і + ism ИІЖ + bL y |
(где i = У — 1 — мнимая |
единица.) |
§ in] О П Р И В Е Д Е Н И И |
К К В А З И Д И А Г О Н А Л Ь Н О М У |
В И Д У 129 |
||
Из (10.2) находим |
|
|
|
|
и'” = |
иУ’ = |
|
||
так что собственным значениям (10.4) матрицы U отвечают |
||||
соответственно два |
собственных |
вектора |
|
|
^,/, = |
( ^ 4 ) , |
' \ у |
(10.5) |
|
линейно независимых |
при любом ѵ:ф 0 . |
|
||
Аналогичным путем для транспонированных собствен ных векторов транспонированной матрицы U' получим сле дующие выражения:
М\п = (ц, Х\%),
м Р = (Ц/ ^Ѵ /).
Легко видеть, что
М(ЛК<5) = 0 ( ( o - s ) 2-|-(/ — г)2# 0 ) . Если Ѵу Ф 0, то удобнее принять
Мі<Я = 2ЛрГ
|
|
|
(10.6) |
м У)==^Щ п^і |
Я*Ѵ/)- |
||
При этом будем иметь |
|
|
|
М\а)к?] = ÖU&OS |
(/, г = |
1, 2; |
о, s = 1, 2, . . . , п; |
|
ѵ<ц |
|
|
|
м Р и к Р |
= яУ>. |
|
Если ѵ/ Ф 0 (/ = |
1, 2...... п), то квадратная матрица по |
||
рядка 2п, составленная из 2п собственных векторов (10.5), преобразует матрицу U к диагональному виду.
При наличии нулевого собственного значения матрица U уже не может быть приведена к диагональному виду, ибо векторы (10.5) становятся линейно зависимыми.
В этом случае U может быть преобразована к квазидиа гональному виду. С этой целью введем в рассмотрение прямо
угольные матрицы |
щ |
0 |
0 |
|
|
Кі |
(10.7) |
||||
О |
у.. |
Иі |
|||
|
|
Б К. А. Абгаряа
130 |
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦЫ |
[ГЛ V |
Очевидно,
ЧІ Ф І
Далее, нетрудно проверить, что
MtUK[ = А, (t = 1, 2, . . . . п),
где
А , - ( ° ~ Ѵ‘
ио
Пусть |
Ѵ{¥=0 |
(і — 1,2..........г), |
||
|
||||
|
ѵс= 0 |
(і = г |
+ 1...........п). |
|
Составим матрицы |
|
|
|
|
|
К = (Ч Ч " |
... K \ r)K 2r)K{ |
r + i . • ■К п), |
|
|
М' = (МІ'УМУГ ... |
M\ryMl2YM'r+l .. . М'п), |
||
где К\!\ |
М\,у{1 = 1; 2; / = |
1, 2.......г) определены форму |
||
лами (10.5), (10.6), а Кс, |
М, (»' = /• + |
1......./г) — формулами |
||
(10.7). |
|
|
|
|
Тогда |
|
МД/С = А, |
|
|
где |
|
|
||
|
|
k\r\ |
|
|
А = |
diag(Я.!”, |
•••, |
А,+і, . . . , A„), |
|
иоу
Всоответствии с этим разложение U на составляющие имеет вид
и = 2 (Я.{/)ЯІ/) + |
^ |
Ч /)) + £ К»А, Мь |
/= і |
|
i=r+I |
где |
|
|
p f |
= |
к <,/)м У ). |
Глава VI
МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ
§ 1. Производная и интеграл матрицы
Рассмотрим прямоугольную матрицу, элементы которой являются некоторыми функциями от t:
А (0 = (ац{і)) |
(t = 1,2, . . . . m; j = 1,2, . . . , n). |
Пусть ац (t) cz С1 (а, b ), T . e. ац (t) — функции, непре рывно дифференцируемые на промежутке (а, Ь). Тогда под производной матрицы А (t) будем понимать матрицу, полу ченную из исходной матрицы путем замены элементов ац (t)
dar, (t)
производными --- > т- е-
|
(і = 1,2, |
. . . . /л; |
/ = |
1,2, . . . , л). |
||||
Производная матрицы обладает следующими легко до |
||||||||
казываемыми свойствами: |
|
|
|
то |
|
|||
1) если С — постоянная матрица, |
|
|||||||
d [СА (01 |
r |
dA (/) |
|
d [Л (0 С] |
|
dA (/) п , |
||
dt |
|
dt |
' |
dt |
|
~ |
dt |
|
d [A |
(0 + |
5(01 |
|
dA(t) |
|
dB[f) . |
||
2) |
Ai |
|
— |
Ai |
' |
|
Ai |
1 |
|
dt |
|
dt |
+ |
|
dt |
’ |
|
d [A (Qt)BВ (t(<)] |
__ |
dA (t) |
о |
tf\ |
л /л dB (t) |
|||
3) |
dt |
|
~ |
dt |
D |
W |
‘ A |
dt |
и, вообще, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d [Л (Q В (Q] |
|
d { B ( t ) A ( t )1 |
|
|
||||
|
dt |
|
dt |
|
|
|
|
|
5»