Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

1 6 0

С И С Т Е М Ы Л И Н Е Й Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й

[ГЛ . VII

(3.4)

разрешимо относительно у:

у = е~ЛіаК~]х(і0) = е~АІ°К~'с.

представляется

выражением (3.3).

2. Число

различных собственных значений матрицы U

меньше, чем

п,

но каждому собственному значению крат­

-§ - = Ux + h(t)

(4.1)

при начальном условии

(4.2)

с помощью преобразования Лапласа.

е~Р‘ и

Обе части уравнения (4.1) умножим справа на

проинтегрируем по t

в пределах от 0 до оо. Получим

СО

оо

оо

или

= U L ( x ) + L ( К )

-f- .г (0),

(4.3)

p L ( X )

где

оо

оо

о

о

L(x) = ( p E - U ) - ' x(0) + ( p E - U ) - 'L(h).

(4.4)

Л е м м а 4.1. Для произвольной квадратной матрицы U

имеет место равенство

L - 1l(p E -U )-'] = eU!.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть К =

(КхК2 ■■■Кт) —

матрица, преобразующая U к форме Жордана

J = diag (Ji (Xj),

J2(^2 ) 1 • •• I

I

Ho

= K(pE — J)~lM.

(p£ —/) = diagKpf*, —Л)> . . . .

(pEkm— J m)].

Учитывая это,

получим

m

(pE -

1

1

U)-1=

2 Ko (p£fc0 -

Mo-

Отсюда

0=1

m

L~' [(pE -

1 /)'1]

=

[(p£*0-

Ja) 1Л4- (4.5)

2

0=1

Имеем (см.

(5.9.9))

{pEk0— Ja)

— \{р

ha) Eka

Hka]—1

—

,fca-l

E>o

+,

H *c

+

+

**a

( P - K ) s

+

p — \

( P -

V

2 " г

ІР -К )

в

нашем

случае,

когда

одна функция (еи>) — квадратная

матрица,

а

вторая

(h) — вектор.

Действительно, так

как (см. (4.7) и (4.6))

L (eut) = ( р Е - U)-1=

т

Ко (pEka-

JaГ ! Мо =

£

а=1

т

Ң У ~ 1

СТ=аІ

Ѵ = І

U

/

/V— 1

= S

E ^ ' М т Г Г Т ) ,

ТО

0 = 1

V = 1

г —1, г , т

L

lL(eut)L(h)] =

т

к , 2

,ѵ—1

= 2

ЯС'ЛЫ Г1 [ і ( 17Д ПГ e’- 'j L (Л)

о=1

ѵ=І

t

К.

jy—1л/f

P

- 5)V —

I

Г

й * -

= £ К. 2 Л ~ 'м .

J

Л

0 = 1

V = 1

t

m

1k°

eXa{t~s)Mah (s)ds =

-E MJ тS

(V -

1)1

*

I

У

1

0=1

о Ѵ=1

= f £

„Я*о

-s>V «-

Кое

at<" S>^ ' u- s)Mo/i(S)ds =

О

=

С £

KaeJ<7{ka) u~s)Mah (s) ds = I ey ('~ s) h (s) ds.

6 CT=i

о

С учетом последнего результата соотношение (4.8) при­

мет вид

X(0 =

етх (0) +

{ еи {t~s)h (s) ds.

(4.10)

6

Остается х (0) выбрать так, чтобы удовлетворялось гра­

ничное условие (4.2). Имеем

* (д

=

еи (‘°}х (0) +

J° еи (t°~s)h (s) ds.