Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 172
Скачиваний: 0
170 |
С И С Т Е М Ы |
Л И Н Е Й Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й |
[ГЛ . V II |
|||
Таким образом, |
|
|
г—1 — |
|
||
|
|
1 |
t |
Р |
|
|
|
|
21 |
(1-1)1 |
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
/—2 |
|
|
Х = |
0 |
1 |
|
(/− 2)1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
Как видно, X — невырожденная матрица (det X = |
1). Учи |
|||||
тывая это, из (6.12) находим |
|
|
||||
|
|
- ^ - = %z + x - 1(о W ü |
te. 13) |
|||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
X“ 1= Г = |
|
Z - |
|
||
|
|
|
|
^ I / |
\Z t |
|
Ясно, что (6.13) распадается на I независимых уравнений |
||||||
первого |
порядка |
|
|
|
|
|
|
-ІГ = |
Аг* + |
Г*1> |
( * = 1 , 2 .......... I). |
(6.14) |
|
Итак, каждая подсистема системы (6.9) может быть рас щеплена на независимые линейные дифференциальные урав нения первого порядка вида (6.14), а замена переменных
х — КХ (t) z,
где К — матрица, преобразующая матрицу U к форме Жор дана
Л |
о |
X = о |
с субматрицами вида
|
t |
г- |
' • |
л - 1 - |
|
|
2 |
(А/ — 1)! |
|
Х ,= |
1 |
t |
. •• |
Л " 2 |
|
(А,-2)1 |
|||
|
0 |
0 . |
1 |
|
$ в] |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С И С Т Е М Ы |
171 |
реализует полное расщепление системы (6.7), а именно, при водит ее к виду
= baZla + VT]Mah
( а = 1 , 2 , |
£ = 1,2, .. . , ka). |
Чтобы удовлетворялось и начальное условие для исходно го вектора х, решение г должно удовлетворять соотношению
ж(£0) = Кх (<о)г (U = с>
т. е.
г(/0) = Х-1(£0) Мс.
6.5. Расщепление сопряженной системы. Биортогональ ность. Рассмотрим однородную сопряженную систему
(6.15)
Пусть по-прежнему собственные значения матрицы U раз биты на р групп при условии (6.1). Пусть X — фундамен тальная матрица однородной системы
dx тт
-іГ = Ш ■
аY — фундаментальная матрица сопряженной системы (6.15). Мы знаем, что Y*X — const и, в частности,
|
Y*X — Е. |
(6.16) |
|
В силу соотношений (6.6) и (6.8) при h = О |
|||
где |
X = КеЛІ, |
|
|
|
|
"А, |
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
К = |
(К, ... Кр), |
А = |
О |
Из (6.16) |
находим |
|
АР |
|
|
||
Y = (А*)~‘ = (еА'‘К*Г1= |
( 0 * е ~ л'', |
||
или |
|
|
|
7 = М*е~А'‘.
172 |
С И С Т Е М Ы Л И Н Е Й Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й |
(ГЛ . V II |
Учитывая, что М* = (М\ ... М'р), имеем
У = 2 М'ае~Аа< . (Т=І
а
Наконец, е~А(,і является фундаментальной матрицей под системы с номером а системы
^ - = - Л ; 2о |
(а = |
1,2.......... р). |
(6.17) |
Из вышеизложенного следует, |
что замена |
переменных |
|
У = |
2 M<>z- |
|
|
|
ст=1 |
|
|
преобразует сопряженную систему (6.15) к расщепленной системе (6.17).
Две системы векторов аъ я2.......bu Ь2,... называются би ортогональными, если
(Я(, bj) = ЙуД; = 0 |
(і=/=/). |
Назовем системы матриц А±, А2>... и Вг, В2,... биортого |
|
нальными, если |
|
BjAi = 0 |
(і Ф і) . |
Таким образом, фундаментальные матрицы решений системы однородных дифференциальных уравнений и со ответствующей сопряженной системы представляются по средством двух систем биортогональных матриц Кі, Къ,--.
..., Кр и М1г М2, ..., Мр.
§ 7. Теория возмущений |
|
|
|
|
Здесь |
рассматривается |
уравнение |
|
|
|
- ^ - = (Л + вД)х+Л(0, |
*(*„) = с, |
(7.1) |
|
где А и В — постоянные |
матрицы, |
а е — некоторый (ма |
||
лый) параметр. |
|
|
|
|
7.1. |
Метод последовательных |
приближений |
для одн |
|
родной системы. Применяя формально метод вариации про извольных постоянных к уравнению (7.1) при h (t) = 0,
S 7] |
Т Е О Р И Я В О З М У Щ Е Н И Й |
173 |
получаем |
|
|
x(t) = |
еА "“ '"’с + е J ел {t~s)Bx (s) äs. |
(7.2) |
|
to |
|
Интегральное уравнение (7.2) (типа Вольтерра) можно решить методом последовательных приближений. Будем
иметь |
|
|
|
|
х'О) = ел (<- ' о)С, |
х(І) = ел |
+ |
е J ел и~5)ВеА ^ d |
s с |
И Т . д . |
|
|
to |
|
|
могут |
быть определены |
х(0), |
|
Отсюда последовательно |
||||
х(1>, .... представляющие собой приближенные решения од нородной системы (7.1). Эта последовательность, как легко доказать, сходящаяся.
Заметим, что построение каждого нового приближения связано с необходимостью вычисления интеграла от некото
рой матрицы. |
|
|
|
|
|
||
7.2. |
О решении одного матричного уравнения. Рассмот |
||||||
рим матричное уравнение |
|
|
|
|
|
||
|
|
АХ = |
ХВ + С, |
|
(7.3) |
||
где X — прямоугольная матрица |
типа |
т X п, А и В — |
|||||
квадратные |
|
матрицы порядков |
т |
и |
п |
соответственно, |
|
С — т X п-матрица. |
|
|
|
|
Если матрицы |
||
Л е м м а |
7.1 ( о с н о в н а я л е м м а ) . |
||||||
А и В не имеют общего собственного значения, то уравне- |
|||||||
нение (7.3) имеет единственное решение X. |
|
||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
JА и Jв — жордановы |
|||||
формы матриц А и В, так что |
|
|
|
|
|||
|
|
А = TJAT ~\ |
В = |
SJBS~\ |
(7.4) |
||
где Т и S — невырожденные матрицы порядков m и п со ответственно.
Подставляя (7.4) в (7.3), получаем
JAZ = ZJв + T~lCS, |
(7.5) |
где |
|
Z = T~lXS. |
(7.6) |
Согласно (7.6) каждому решению X уравнения (7.3) соответствует единственное решение Z уравнения (7.5), и обратно.