Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 174
Скачиваний: 0
§ Б] И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е П У Т Е М З А М Е Н Ы П Е Р Е М Е Н Н Ы Х 165
порядку клетки Жордана У, (Я,). Тогда будем иметь
А (ЯД
d |
■ Уі ‘ |
|
• |
0 |
" Уі " |
|
di |
|
|
0 |
|
‘ . |
|
|
- Ур |
- |
|
- |
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
_ |
|
J p ( k p ) — |
|
Как видно, наше векторно-матричное уравнение распа дается на р независимых уравнений
- § - = • / / № / |
(/ = 1,2.......... |
р). |
(5.5) |
Каждое из векторно-матричных уравнений (5.5) представ ляет собой систему с треугольной матрицей. Уравнения этой системы могут быть легко проинтегрированы последователь но, начиная с последнего. Построим решение уравнения
■%L = J,(h)yt. |
(5-6) |
пользуясь, однако, другим, более удобным способом. Фундаментальная матрица системы (5.6) имеет вид
Y, = eJi (Ѵ '
или, так как УДЯу) = Я/£Л. + Hkj, К, = eV/*V. Имеем
нкл |
_ |
Hkf |
Hiß |
|
|
|
кг і(кг і |
||
|
. .. |
|___ _______ |
|||||||
е |
k> = |
Ekj + |
1' |
1 |
L__L |
||||
21I |
^ |
|
^ |
(А/—1)1 |
|||||
Легко |
видеть отсюда, |
что |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
t |
p |
|
tki |
1 |
|
|
|
|
|
21 |
' ” |
( * / - ! ) ! |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
* . . . |
f |
r |
2 |
|
|
|
|
|
( * / - |
2)1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
0 . . . |
|
1 |
|
|
166 |
С И С Т Е М Ы Л И Н Е Й Н Ы Х |
У Р А В Н Е Н И Й |
[ГЛ . V II |
|||
Таким |
образом, |
|
|
P |
tkr x |
|
|
|
1 |
t |
|
||
|
|
21 ‘ |
’ № /-i)i |
|
||
|
|
|
|
|
||
|
У/ = eV |
0 |
1 |
t . |
tkr 2 |
|
|
|
№/-2)1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 . |
1 |
|
Зная фундаментальные матрицы уравнений (5.5), можно построить фундаментальную матрицу уравнения (5.4) в виде квазидиагональной матрицы
"У,
О
У =
О
Общие решения уравнений (5.4) и (5.1) имеют соответ ственно вид
У(О = У (О У, x{t) = KY{t)y.
Чтобы выполнялось условие (5.2), должно удовлетво ряться равенство
X (д = KY (д у = с.
Отсюда
Г = Y ~' (А)) К~1с = Y~' (д Мс.
Итак,
x (t)= K Y (t)Y -'(t0) Me.
Можно показать, что KY (t) У-1 (t0) м = еи Действительно, так как МК — Е, то
KY (О Г -1( д м |
= |
|
|
|
= |
К diag |
(У, (О УГ1(д, |
. .. , Ур (0 Ypl (Q) М = |
|
= |
К diag (eJ'te~J'to, |
... , |
eJpte~Jpla)M = |
|
= |
К diag (eJ' {‘~‘°\ ... , eJp('~ 'o)) M = |
|||
|
|
= |
KeJ {t~to)M = eKJM('~ 'o) = eu ('_ 'o) |
|
5 6] |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С И С Т Е М Ы |
167 |
§ 6. Расщепление системы на независимые подсистемы меньшего порядка
6.1. Преобразование квадратной матрицы к квазидиа гональному виду. Пусть собственные значения матрицы U
разбиты на р групп |
А.{а), ..., |
(а = |
1....... |
р; 2 ко = я) |
|
при условии |
|
|
|
О |
|
\Х\а) - |
X{ls)\ > 0 |
(6.1) |
|||
|
|||||
(оф s; і = |
, |
ka, j = |
1, . . . |
, ks). |
|
Тогда, как было показано в гл. V, существуют такие блоч ные матрицы
|
|
|
"Ах |
|
|
К = (Кг.......... Ю , |
|
Л = |
О |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
О |
|
|
|
|
'Мг |
|
|
|
М = \ ... |
|
|
|||
что |
|
|
|
|
|
и = KAM, |
|
|
( 6 . 2) |
||
МК = КМ = Е |
(М = К~1) |
||||
|
|||||
и |
|
|
|
|
|
и = |
2 |
КоАаМо, |
(6.3) |
||
|
<т=1 |
|
|
||
причем между субматрицами Ко, Ла и М0 (о = 1,2, |
..., р) |
||||
имеют место равенства |
|
|
|
|
|
MoKs = \Ek- |
5 |
(6.4) |
|||
|
I |
о, |
Бфа, |
|
|
UKS= |
KsА , |
|
(6.5) |
||
6.2. Расщепление системы. Предполагая, что собствен ные значения матрицы U разбиты на р групп при условии (6.1), введем замену переменных
р |
(6.6) |
X = 2 К оУ о і |
о= 1
1 6 8 |
|
С И С Т Е М Ы |
Л И Н Е Й Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й |
[ГЛ . VII |
|||||
где Ко — субматрица преобразующей матрицы /( типа п X |
|||||||||
X ko, |
уа — столбцовая |
матрица новых |
переменных типа |
||||||
ko X |
1. |
(6.6) |
в уравнение |
|
|
|
|
||
Подставим |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
- £ - = Ux + h. |
|
|
|
(6.7) |
||
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y К ~ЧГ= |
Y Uf<-atJa+ |
h’ |
|
||||
|
|
a=I |
|
|
at=i |
|
|
|
|
или, в силу (6.5), |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Y |
[~df |
ЛсгУа) |
' |
= |
|
|
|
|
|
a=I |
' |
|
|
|
|
||
Умножим |
слева |
на M: |
|
|
|
|
|
||
|
|
м Y М |
т |
- А ^ ) |
' |
= |
т |
|
|
|
|
0=1 |
' |
|
|
|
|
||
Полученное соотношение эквивалентно следующим р ра венствам:
м, Y |
Ка й г— |
л°у°) = M>h |
(s =1-2............. |
р)- |
|
0=1 |
' |
|
|
|
|
Отсюда, |
учитывая |
(6.4), получаем |
|
|
|
|
= Asys + M,h (s = |
1,2........... |
р) . |
(6.8) |
|
Итак, с помощью преобразования (6.6) система (6.7) расщепляется на р независимых подсистем (6.8).
З а м е ч а н и е . Условие (6.1) может быть ослаблено. Так, в качестве матриц Ко можно взять субматрицы мат рицы К, преобразующей U к жордановой матрице J . В этом случае расщепленная система имеет вид
|
- ^ - |
= Jsyi + M5h |
( s = l , 2 ...........р), |
(6.9) |
причем, |
вообще говоря, собственные значения |
субматриц |
||
Ja и 7S при s Ф а не обязательно разные. |
|
|||
6.3. |
Случай матрицы простой структуры. В этом случае |
|||
матрица |
К, |
составленная |
из п линейно независимых |
|
5 61 |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С И С Т Е М Ы |
169 |
собственных векторов матрицы U, преобразует последнюю к диагональному виду:
Л
•О
Л =
О
В соответствии с этим расщепленная система (6.8) может быть представлена в виде
ЛУо |
= Куо + Mah |
(0 = 1 , 2 , . . . , п). |
dt |
6.4. Полное расщепление в общем случае. В общем слу чае, когда U не является матрицей простой структуры, исходную систему можно расщепить на подсистемы вида (6.9). Произведем дальнейшее расщепление подсистем (6.9).
Итак, рассмотрим систему
-%- = J(b)y + n i) , |
(6-10) |
|
где J (X) — клетка Жордана некоторого порядка I. |
|
|
Систему (6.10) можно представить и так: |
|
|
-4L = (X E l + Ht)y + THt).. |
|
|
Положим |
|
|
y = X(t)z. |
|
|
Получим |
|
|
2 + х -аг = |
х (О * + (О- |
|
Это равенство будет выполняться, если, например, |
||
-§ - = W |
(6.11) |
|
и |
|
|
Х -£ - = |
Ш -М >(/). |
(6.12) |
Система (6.11) есть система с постоянной матрицей. Ин тегрируя ее, получим
X — е 1 — Et -\- Нtt -j- -Tjj- (Я[І)2-j- |
(/ — 1)1 |
[Нtt)1—1 |
|
|
так как Я* = 0 (k > /).