Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

174

С И СТ Е М Ы Л И Н Е Й Н Ы Х

У Р А В Н Е Н И Й

[ГЛ . V II

Пусть

JA =

d i a g ^

(Я,), 4 Л) ( U

. . . .

J{PA) ß p)),

JB =

diag (j\B) а д , 4 B) (m), . . . .

4 B> Ы) .

Здесь

Я2,

Xp — собственные

значения

матрицы А, а

Pi, р2>

Р?— собственные

значения матрицы

В. Через

kt обозначим порядок клетки Жордана jjA){kt),

через

1{ —

порядок клетки Жордана 4 В)(мД-

Матрицу

Z

и матрицу

R = Т - 1 CS представим в виде блочных матриц:

г11

гХ2

• ■■

г,Д

/''и

г12

. • •

/V

Z =

Z21

Z22

• '■•

г* Н ,

я =

Г2Х

Г22

• ..

r2q

Zp\

• ■••

ZpJ

\\гр\

Гр2

.. •

ГРЧ

— матрицы типа k( X

/у.

Ги ■

При этом уравнение (7.5) расщепляется на тп матрич­

ных уравнений:

4 Л)(4 )* / =

ztjJ}B) fr,) + Гц

(7.7)

( і =

1, 2, . . . , р \

/ =

1, 2 .............q).

Каждое из матричных уравнений системы (7.7) представ­

ляет собой уравнение

типа

№

+ Я*) и =

и (ц£, + Я,) + г

(Я, =зь ц),

(7.8)

и = (uij),

г = {гц)

(і = 1,2,

1,2, . . . , / ) .

( к — ( А )

U i j +

« 1 + 1

/ —

Щ і -

1 =

г и

(7.9)

(/= 1,2, . .. ,

А;

/ =

1,2,

. . . ,

/),

причем

(7 .1 0 )

Ир+і/ =

0

( / =

1,2,

. .. ,

/),

I

«ю = 0

( / = 1 , 2 ,

k). J

1 г]

Т Е О Р И Я

В О З М У Щ Е Н И Й

175

Разрешая

(7.9) относительно ис!, имеем

иц =

г ц +

и і / - 1 ~ и і+ 1 І

(7.11)

X — (i

Зная Upi, далее последовательно при

і = р — 1, р — 2, ...

..., 1 определяем значения всех элементов первого столбца

матрицы и, пользуясь соотношением

«п

гі\ ~ ці+ і 1

X — ji

ГІ2+ ип ~ и1+ 12

(і =

Р, р — 1,

р — 2

1)

W/2 =

А, — р.

Жордана).

решение

однородного уравнения

(7.1)

Будем строить

(h (t) =э 0) в виде

* =

2,КоУо,

(7.12)

0= 1

предполагая, что

уа — решения уравнений

~ ~

= АоУо

(о = 1.......... р),

(7.13)

Ко = 2 &kK[o \

~Ао = 2 е*МЧ

(7.14)

4=0

4=0

176

С И СТ Е М Ы Л И Н Е Й Н Ы Х

у р а в н е н и й

[ГЛ. ѵ п

Подставим (7.12) в однородное уравнение (7.1) и исключим

ЛУа

с помощью равенства (7.13).

Получим

di

У. КаАоУа — (А -f- eß)

2

КаУо-

<т=1

а=I

Это соотношение будет выполняться тождественно, если

{А -f eß) Ко =

КаАа

(а =

1..........р).

(7.15)

Подставляя сюда ряды (7.14) и приравнивая члены, со­

держащие е в одинаковых степенях, имеем

АК™ =

А ф =

/СУ]АГа] +

Ф А[о1] -

ß/C[o0],

(7.16)

А ф ] = K[a]Alo]+

К1а]ф + Ф

]Ф

- В К [о'\

Положим

Ф =

Ко, Аса0] = Ао

(а =

1,2,

. . . , р).

(7.17)

определены Ка \ А д іф ,

A ^;

... В самом деле,

пусть уже

найдены /(ст], Ag] (і — 0,

1,2,

.... k

— 1).

Определим I\lak],

используя (k + 1)-е равенство

(7.16),

которое с уче­

том (7.17) можно представить так:

АК1а] = К[о ]Ао +

КоА[а 1+ D[ok-U

(7.18)

Здесь D[k- ' ] =

А'о^Ло'1-11+ • • • +

-

ВК[о~и -

уже известная

матрица.

AQlok] =С ф А а +М К оА Ікі + M D [k- n

(7 .1 9 )

где

QW = MKlo].

178

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫ Х у р а в н е н и й

[ГЛ . VII

* „ = а-2=1 к ? Ѵ .

^ h - A S ” Ѵ Г ,

где

К ст)( = 2 BW

,

Л'Г = 2 е ^ 1.

= 0

/2=0

Поскольку Аат) — постоянная матрица,

Уіт) =

,(т).

е

С(7

*,„ =

2

r(m)

A<m>f

в

C-

0=1

* = j^KoiJo,

(7.24)

где t/a — решение

СТ=1

уравнения

= А ауа + Mah (t)

(а = 1 , 2 .......... р).

(7.25)

После подстановки (7.24) и (7.25) в (7.1) имеем

2

КЛаУа + 2

KoMoh (0 =

(А + гВ) 2

+

Л (Q.

0=1

0=1

0=1

2КоМо = Е.

(7 .2 6 )

0=1