Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 176

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

5 7]

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩ ЕНИЯ

179

Вобозначениях

*= ( * ! • • . Кр),

равенство (7.26) принимает вид

 

М„

 

 

Мы имеем

КМ =

Е.

(7.27)

 

 

 

УС =

УС +

| )

е*УС[Ч

где

<е=1

 

 

 

. К. .1Ьр-

УСс* ] =

(УСІЧ

Матрицу М также будем строить в форме ряда по степе­ ням е:

 

 

 

с о

 

 

 

 

м

=м + 2 * kMw .

 

 

 

 

 

k = \

 

 

 

Подставляя

ряды,

представляющие УС и М, в (7.27)

и

приравнивая коэффициенты

при

одинаковых степенях

е,

получим

 

 

ч

КМ = Е,

 

 

 

 

 

 

 

 

КМт +

УС[1]М =

О,

 

У

Ш [2]

+ УС[1]М

[1] +

УС[2]М

= О,

 

Умножая все эти равенства слева на УС-1, получим соот­ ношения, определяющие последовательно М, УИ[І1, УИ[2], ...:

М = К ~\

Міи = — УС“ 'УС[1]УИ = — Л4УС[|]М,

м т = — м (ус[1]уи[1] +к т м)

И т. д.

Таким образом, и неоднородную систему (7.1) можно привести к расщепленному виду (7.25).

В частном случае, когда все собственные значения мат­ рицы А различны, систему (7.25) можно получить в виде независимых уравнений первого порядка.

Г л а в а VIII

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Решение и исследование нестационарной системы диф­

ференциальных уравнений

 

A ( t ) ^ - = B(t)x + f(t)

(0.1)

из-за переменности ее коэффициентов (элементов квадрат­ ных матриц А и В) обычно сопровождаются значительными трудностями. Расщепление, т. е. преобразование к систе­ ме, состоящей из некоторого числа не связанных друг с другом подсистем уравнений меньшего порядка, представ­ ляется очень эффективным средством упрощения дифферен­ циальной системы (0.1).

В настоящей и следующей главах приводятся два раз­ личных метода асимптотического расщепления и интегри­ рования линейной дифференциальной системы, содержа­ щей параметр е и совпадающей, в частности, при е = 1 с системой (0.1) *). Применимость этих методов для при­ ближенного расщепления и интегрирования дифференциаль­ ных систем вида (0.1) можно ограничить классом довольно распространенных в приложениях систем с медленно меняю­ щимися коэффициентами.

*) Асимптотическому расщеплению линейных дифференциальных систем, содержащих параметр, на независимые подсистемы уравнений пер­ вого порядка и асимптотическому интегрированию таких систем посвя­ щено большое количество работ. Некоторые из них указаны в нашей краткой библиографии. Значительно более подробный перечень работ в этом направлении содержится в библиографии, приведенной в работах [7, 8, 49, 52].

$ 1]

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И Р У Е М О С Т Ь М А Т Р И Ц Ы

181

§ 1. Дифференцируемость матрицы, преобразующей квадратную матрицу к квазидиагональному виду

Квадратную матрицу U (т), собственные значения кото­

рой

разбиты на р групп А.1а),

. . . , ^

( 0 = 1

, ............2

р;

2

ka =п ] так, что на промежутке 0 -<т ■< L выполняют­

с я

 

J

 

 

 

 

 

 

 

\

ся

условия

 

|Ä,}*4 -

Я,)4 |> О

 

(1.1)

 

 

 

 

 

 

 

(o^=s; г

=

1,2..........ka\

/ = 1 , 2 , . . . .

kJ,

 

при

каждом фиксированном т £ [О, L]

можно

представить

так

(см. гл. V):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U = 2

КоЛаМо,

 

 

(1.2)

 

 

 

 

а=І

 

 

 

 

 

где

Ко,

Ко, М а — матрицы

типа соответственно п X ka,

ko X ka,

ko X n,

удовлетворяющие равенствам

 

 

 

 

 

MoKs =

 

 

s =

ст,

 

(1.3)

 

 

 

 

0,

 

s =

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Er — единичная

матрица порядка г).

 

 

Собственные значения матрицы Л0 суть собственные зна

чения матрицы U, включенные в группу а.

 

 

Введя блочные матрицы

 

 

ол„

 

 

 

 

 

 

‘Л,

 

т г\

 

 

 

 

 

 

 

K = ( K 1 . . . K J ,

 

Л =

О

•

м =

 

будем также иметь

м ..

 

 

 

 

и = КАМ,

Еп.

 

 

(1.4)

 

 

 

 

М К =

КМ =

 

(1.5)

В качестве матрицы Ко может быть взята любая матри­ ца, составленная из k0 линейно независимых линейных ком­

бинаций столбцов матрицы

 

До (£/)= П гі { U - % fE n),

( 1.6)

s= \ /=1 БфО

182 А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С И С Т Е М Ы [ГЛ. V III

ранг которой равен ka, и, в частности, из kQлинейно неза­ висимых столбцов этой матрицы. Зная матрицу К, легко

определить М и Л, используя соотношения (1.4) и (1.5).

 

Пусть Ко, Ад, Мо (ст = 1, ..., р) — построенные таким

путем матрицы. Тогда выражения KaNa,

N 7xN0Na,

где

Na — произвольная невырожденная

матрица порядка

ko,

представляют общий вид матриц, осуществляющих раз­

ложение (1.2). Соответственно, если N — квазидиагональ­

ная матрица, составленная из матриц Na, то KN является

общим выражением матриц, преобразующих

матрицу

U

к квазидиагональному виду.

 

Ко,

Для дальнейшего представляют интерес те матрицы

которые нужное число раз дифференцируемы на

промежут­

ке [О, L). Вопрос о дифференцируемости матрицы Ко тесно

связан с дифференцируемостью матрицы Да (U). Покажем, что матрица Д0 (U) дифференцируема на [О, L] по край­ ней мере столько же раз, сколько раз дифференцируема матрица U (т).

Рассмотрим многочлен с коэффициентами, зависящими от параметра т:

Д ( Я ) ^ Г + аг ( т ) Г - ‘ + . . . + ал_,(т)Я, + ал(т). (1-7)

Допустим, что корни этого многочлена, не обязательно все разные, разбиты каким-нибудь образом на две группы:

ХІ'\ ..., Xi'1 и

Хр1, ..., Хщ*.

В

соответствии с

этим

много­

член А (X) можно представить в виде

 

 

 

 

 

 

Д (X) =

Дх(Х) Д2 (X),

 

 

 

(1.8)

где Aj_ (X) — многочлен степени k

с

корнями

Х[1),

...,

Х*,1’,

а Дг (X) — многочлен

степени

т с

корнями XS2),

...,

Хт.

Пусть

 

 

 

 

+ ak—\ (т) X 4- ak(т),

 

 

 

Ді(Х) = Х

-f-a1(r)Xft

+

 

 

1

(19)

Аг (X) — X

+

ßj (т) Xm

1+ •••

-)- ßm_i (т) X + ßm (т).

I

 

Имеет

место следующая

 

 

 

 

 

 

 

 

Л е м м а

1.1. Если на промежутке [О, L]

 

 

(X) яв­

1) коэффициенты

а/ (j =

1 / ... ,

п)

многочлена

Д

ляются I раз дифференцируемыми функциями от т (1 >

1) и

2)

 

|Я/(1)(х) — Я,)8>( т ) | > 0

 

 

(1.10)

 

 

(/ = 1,

 

 

1,

. . . . т),

 

 

 

 

§ П

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И Р У Е М О С Т Ь М А Т Р И Ц Ы

183

то коэффициенты a,j (j — 1,

k) и ß/ (/ = 1,

m) мно­

гочленов

(К) и A2 (1) являются по крайней мере I раз диф­

ференцируемыми на [О, L] функциями от т.

много­

Для

д о к а з а т е л ь с т в а

леммы подставим

члены (1.9) в равенство (1.8) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях К. Получим

Фі =аі +ßi — аі =о,

ф2 =

а 2 +

a ißi +

ß2 — а г =

0>

 

 

Фз =

аз +

«2ßi +

«iß2 +

ß3 — °з =

 

( 1. 11)

фа—1=

ttfcßm

-f- Ctfe—lß,,i — Cln—I — О,

 

 

Фа =

“*ßm

—~1

«а =

°-

 

 

 

 

Функциональный определитель системы (1.11) имеет вид

 

1

0 . .

0

1

0 . . .

0

0

Р (ф і...........фп )

ßl

1 . .

0

«i

1 . . .

0

0

ß2

ßl

• .

0

a 2

“ i . . .

0

0

D (CÜJ, . . . . ßm)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

. •

ßm—I

0

0 . . .

a k

OCft-l

 

0

0

. •

ßm

0

0 . ..

0

a k

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1. 12)

Определитель в правой части равенства (1.12)

в точности

равен результанту R (Alt А2) многочленов (1.9), который в силу условия 2) леммы на [О, L] нигде не обращается в нуль. Следовательно,

D (фі., - ■■■Фа)

/ п

( 0 < т < L).

(1.13)

D ( а , ...........ßm) ^

U

 

 

Пусть т0 — произвольная точка отрезка [О, L\. В силу (1.13) в некоторой окрестности точки (а2 (т0), ..., а„ (т0)) существуют непрерывные функции

ai ~

fi (ßi>

• • ■

Oa).

а* =

fk (a-v

■■■

( 1 .1 4 )

ßi =

/*+1 (ai> • •

. a«)

ßm f n i f l x ' ■• ■I ^а)>

Смотрите также файлы