Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

§ ]] В Е К Т О Р Ы И В Е К Т О Р Н О Е П Р О С Т Р А Н С Т В О 31

так. Суммой векторов х н у считается вектор, построенный (при неколлинеарных л: и у) по правилу параллелограм­ ма (рис. 2.1).

Произведение вектора х на действительное число X есть вектор, направленный в ту же сторону, что и вектор х, если Â .X), и в обратную,— если X < 0, и имеющий длину, равную длине вектора х , умноженной на модуль числа X.

Легко проверить, что введенные таким путем операции сложения и умножения на число удовлетворяют постулатам

зг

1)—7), и, значит, множество всех направленных отрезков есть линейное пространство.

2. Множество всех многочленов, степень которых не превышает натурального числа п, с операциями сложения многочленов и умножения многочлена на число, определен­ ными обычным способом, есть линейное пространство.

Множество же всех многочленов степени п уже не обра­ зует линейного пространства, так как, например, степень суммы двух многочленов может и не равняться п. Так,

(*" + 2t + 3) + (— іп + 1) = 2t + 4.

3. Рассмотрим множество векторов, представленных в виде упорядоченных систем п чисел из поля ді. Пусть, на­ пример, X = {х1гх2, ..., х„). Операции сложения векторов и умножения вектора на число определим так:

Поэтому рассматриваемое множество образует линейное пространство.

Линейное пространство, в котором векторами служат упорядоченные системы чисел, называют численным прост-

ранетом.

3 2 В Е К Т О Р Ы , В Е К Т О Р Н Ы Е П Р О С Т Р А Н С Т В А [ГЛ . II

§ 2. Линейная зависимость векторов

Пусть R — линейное пространство, а х ъ х г, ...,х п, ...— векторы в нем.

Векторы x ltx 2, .... х к называются линейно зависимыми

зависимых векторов, то и сама система линейно зависима.

в то время как среди коэффициентов аи сс2, ..., ак имеется не равный нулю коэффициент. Но тогда справедливо и такое равенство:

“ і*! + • • • + акх к + Од:*-*-! + • • • + О*, = 0,

а это означает линейную зависимость векторов д^, дг2, ..., дг{. Любая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима, ибо подсистема, состоящая из одного

только нулевого вектора, линейно зависима. Л е м м а 2.2. Если векторы

ХЪ Х2і • • • I х і

линейного пространства R линейно независимы и каждый из них является линейной комбинацией векторов

то I с k.

Д о к а з а т е л ь с т в о проведем от противного. До­ пустим, что I > k. По условию леммы

(2. 1)

линейную зависимость векторов х х, х 2, ..., x t. Без наруше­

при этом векторы х хи х 2оказались бы линейно зависимыми, а это влечет за собой линейную зависимость системы векто­ ров х х, ..., x h что противоречит условию леммы.

/Повторяя эти рассуждения, в конце концов придем либо

ксистеме

В обоих случаях приходим к противоречию, ибо как равенства (2.3), так и равенства (2.4) означают, вопреки условиям леммы, линейную зависимость векторов х х, х 2,...

..., Хі. Значит, / /г, и лемма доказана.

2 К.А. Абгарян

то числа xlt х2, ..., хп называются координатами вектора х

л-мерное пространство. В самом деле, например, векторы

(10 . .. 0), (0 1 . . . 0), . . . . (00 . . . 1), (3.4)

число которых равно п, линейно независимы, а любой другой вектор (х1х2...хп) представим в виде линейной комбинации этих векторов:

(+ * 2 ... *л) = *і(Ю . . . 0 ) + х 2(0 1 . . . 0) +

+ . . . + * „ (0 0 . .. 1).

Система векторов (3.4) может рассматриваться как базис данного л-мерного пространства.

3. Множество бесконечных последовательностей^^...

...*„...), в котором операции сложения и умножения на число определены соотношениями

образует линейное пространство. В этом пространстве мож­ но указать любое число линейно независимых векторов. Например, линейно независимыми являются векторы беско­ нечного ряда

а*