Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 189
Скачиваний: 0
♣ 8 ] |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С О П Р Я Ж Е Н Н О Й С И СТ Е М Ы |
209 |
сопряженного однородному уравнению (8.1), может быть представлено равенствами
* = |
2 |
Âfc(x,е) ѵ°> |
(8-6) |
|
dün |
<7=1 |
|
|
|
—Л<т (т, е) |
(8.7) |
|||
— = |
||||
где УЙдиЛо — матрицы, фигурирующие в формулах (8.3). Прежде всего, применяя метод, использованный в § 2, построим рекуррентные соотношения для членов формаль
ных рядов
М * а (T, е) = S |
&kM lP (т), |
А; (т, е) = Т е*Л^]* (г). (8.8) |
й = |
0 |
А = 0 |
Для этого подставим (8.6) в (8.5), принимая во внимание равенства (8.7) и (8.8), и отделим в полученном таким обра зом тождестве коэффициенты при ѵа, пропорциональные ек (к = 0, 1, 2, ...). Получим
и*М™' = М 11*А^0]* + М Г Л У > - - ^ 1 ,
П *Мо =УИ о ]*Ло0]* + АІ^*Л[о2]* + Л # ]*ЛУ]*
Переходя к сопряженным выражениям, имеем
л і 0]н |
= |
A ^ |
M L01, |
|
|
M |
^ |
= |
A[o ° W 4 A L fc]Mfü]- D |
^ n ' |
|
(к = |
1 2 .......... ), |
|
|||
где |
|
|
|
|
|
D ^ - ‘‘ = - |
2 Л[са]А ^ -“J + |
- . |
|||
|
|
|
|
а= 1 |
ат |
Имея в виду, |
что |
|
|
||
|
|
и = |
2 КоЛоМо = КАМ, |
|
|
положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
M ^ s A lo , Л ^ ^ Л о . |
|
|
,
(8.9)
( 8. 10)
210 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е |
С И СТ Е М Ы |
[ГЛ . V III |
|||||
|
|||||||||
|
При этом первое равенство (8.9) удовлетворяется тож |
||||||||
дественно. Допустим, |
что м%\ А ?]; М1а1\ |
ЛУ]; . . . ;yW[ö*“ 1], |
|||||||
|
уЖе найдены. Определим |
п дГЧ . |
|
||||||
|
Умножим (k Ң- 1)-е равенство (8.9) справа на Д и введем |
||||||||
обозначение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получим |
|
QW = |
— Л4Ч/С. |
|
(8.11) |
||||
А0ф |
|
А1к]М0К + Dlak~uK. |
|
||||||
|
Q ^A = |
- |
(8.12) |
||||||
Матрицу |
состоящую |
из k0 |
строк и п |
столбцов, |
|||||
представим в виде следующей блочной матрицы: |
|
||||||||
|
Q[a ] = |
(Qal3Ш ] . . • |
Wap]), |
|
|||||
где (ЭЙ1 = —Mafc] Ks — субматрица |
типа |
ka X ks. |
|||||||
|
При этом равенство (8.12) распадается на р независимых |
||||||||
матричных равенств |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Q&]Aa = |
AOQCO3 - |
л ^ ] + |
Dik~uKo, |
(8.13) |
||||
|
Qcrs3As = |
A0Qal]+ |
W ~ l]Ks |
(s ф a). |
(8.14) |
||||
|
Из (8.13) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AL"1= |
- Q[oa]Aa + AgQaa1+ D ^ K a , |
|
||||||
здесь QOC — произвольная, нужное число раз дифферен цируемая квадратная матрица порядка ka.
Равенства (8.14) однозначно определяют остальные суб матрицы матрицы Q[afe].
Определив с помощью равенств (8.14) субматрицы Qas1 (s Ф о) и задавшись произвольной матрицей Qaa, мы бу
дем иметь матрицу Q^, после чего легко вычислить М\к] по формуле (см. (8.11))
М[к] = — Q[k]M.
Полученные соотношения позволяют последовательно определить члены формальных рядов (8.8), посредством кото рых представляется решение уравнения (8.5).
Теперь покажем, что с точностью до произвольных мат
риц Q[aa члены рядов (8.8) совпадают с членами рядов М а
и Ла, фигурирующих в формулах (8.3).
§ 8] Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С О П Р Я Ж Е Н Н О Й С И С Т Е М Ы 2 1 1
Установим сначала справедливость равенств
|
МаКІ']+ |
MlJ ]Ks = О, |
||
М аҢ ? } + М о']К[ І'] + |
М1Р К , = |
о, |
||
M a K \ k} + |
+ • • • + |
M lak]K s = |
О (S Ф О), |
|
Имеем (см. (2.12), (8.4) и (8.9), (8.10)) |
(8.15) |
|||
|
||||
UKS = KSK |
|
(8.16) |
||
|
|
|
||
UKSn = K P K + K A n + dJj*-, |
||||
M0t/ = |
AaMa, |
|
(8.17) |
|
M ^U = АаМІ'] + Ä ^M o — |
||||
*). |
||||
Равенства (8.16) умножим слева соответственно на M aJ и Ма (а Ф s) и сложим друг с другом. Получим
М ^ и К + МоиКІи = (M 1]/Cs + |
МоК?]) 4 + Ма4т*. (8.18) |
|||||
Аналогично, |
умножая |
(8.17) |
справа на |
/с£13 и Кь (s^= а) |
||
и складывая, будем иметь |
|
|
|
|||
MoUKls ] + м р и к , = Аа(М Л Р ] + А $ К ) - ^ г - К . |
||||||
|
|
|
|
|
(8.19) |
|
Вычитая из равенства (8.18) равенство (8.19) и учитывая, |
||||||
что |
|
dMa ^ |
_ d(MaKs) |
|
||
Мо ddxK s |
+ |
(Зфо), |
||||
dx |
|
dx |
||||
получим |
|
|
|
|
|
|
(МУ]4 |
+ |
Ma7CP])As = А а(М0к1']+ |
MlallKs). |
|||
Отсюда, так как Ла и As не имеют общих собственных значений, получаем
Mil]Ks + МаКІ1] = 0.
*) Пока не установлено равенство соответственных членов разложе нии Л0 в формулах (8.3) и (8.7), для удобства во втором случае вмес то Л^І будем писать ЛЮ
212 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С И СТ Е М Ы [ГЛ . V III |
Тем самым доказано первое из равенств (8.15). Допустим, что уже доказаны первые k — 1 равенств
(8.15). Установим справедливость /г-го равенства. Имеем
UKS = |
KSAS, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UK\" = |
^ 1]AS+ |
К А 1'1+ |
|
, |
|
|
|
|
|
||
U K?] = |
|
+ |
/с,л»21 + /с[*1]л5,] + |
ch: |
’ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
UK™ = Klk\ |
+ |
KsAlk] + |
• |
• • + K\k' " W |
+ |
• |
|||||
Умножая эти |
равенства |
соответственно |
на |
/Ѵ1[Д |
|||||||
..., Ma и складывая, |
получим |
|
|
|
|
||||||
M[k]UKs + ■■■ |
+ МаѴ і ф = (Mla ]Ks+ • • ■+ |
MaKP])As + |
|||||||||
+ |
( M ^ K s + |
• • ■ + |
|
MaKlk~n) Aj1] + |
■• • |
|
|||||
|
|
+ ( M 1]Ks + |
|
MaM1])A5[ft_11 + |
|
|
|||||
-b M c K A ^ + |
|
|
|
|
■• • |
+ |
|
|
1]) • |
(8.20) |
|
Аналогичным приемом из системы |
|
|
|
|
|||||||
Mail = |
АаМа, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м 1»и = л М " |
+ |
л Р |
м |
, - ^ , |
|
|
|
|
|
||
м 'Р и = л„м™ + ЛИ/И„ + A W |
- |
|
. |
|
|
||||||
МікЮ = АаМ1„к1 + |
А[ак]Ма + |
|
■• • + |
Ад ]Л4а*~■1] |
dr |
||||||
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MaUKlkl+ ••• + M aklUKs = |
A a (MaK sk]+[ |
|
+/И |ДК3) + |
||||||||
+ |
(Мак1к- 1]-\- ••• |
+ м ^ “ 1]/ д + |
|
|
|||||||
|
• •• |
+ л ^ - ,]( / а д і ,] + |
/иУ]/ о |
+ |
|
|
|||||
+ Ä ^ M o K - K l k- l] + • ■• + |
■ (8-21) |