Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 193
Скачиваний: 0
218 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С И СТ Е М Ы |
[ГЛ . Ѵ ІП |
или, наконец, так как выражение, заключенное в круглые скобки, тождественно равно нулю,
A?] = A ?J |
{k = 1,2, ...)■ |
П р и м е р . Система, сопряженная однородной системе дифференциальных уравнений, рассмотренной в качестве примера в § 2, имеет вид
|
~t |
0 |
0 |
|
u * = |
1 |
— 1 + |
2t — |
2 |
|
t2 |
|||
|
1 |
|
2t — |
1 |
|
- ' + i r |
P |
Согласно вышеизложенному решение этой системы пред ставляется так:
z = 2 МоѴа= М*ѵ,
а=-1
где
dvn
—gp- = — ЛоИо (О — 1,2)
или, что то же самое,
|
|
dv |
— A*u, |
V = |
и, |
|
|
|
dt |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
В данном случае |
|
|
|
|
||
|
|
|
t - |
i r |
0 |
|
М* = М* = |
t — |
|
1 |
1 2 |
t — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
è- |
|
|
t |
/ 3 +2 |
|
0 |
0 “ |
A*= |
t |
Ti (■ |
' - T ^ T ) 0 |
|||
|
t2 |
t(P— 1) |
||||
|
|
0 |
|
|
0 |
- r |
|
|
|
|
|
2 1 9
РАСЩ ЕПЛЕНИЕ СОПРЯЖ ЕНИЙ СИСТЕМЫ
5 8]
Для проверки подставим решение 2 в исходное уравне ние. Получим
dt и — М*А*у = — U*M*v.
Вектор 2 действительно является решением уравнения, если имеет место тождество
Имеем
dMdt* — М*А* =
t —
X
уй*а* = —u m * .
■О О
— 1 j — 1
t - j r |
0 |
|
|
|
- 1 |
1 |
2 t - - k - |
X |
|
|
|
|||
|
1 |
t — . |
|
|
|
t |
|
0 |
0 |
1 , |
J l + 2 _ |
P + 2 |
0 |
|
P + |
t(P — 1) |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
_1_ |
|
|
p |
Отсюда
220 |
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСЩ ЕПЛЕНИЯ СИСТЕМЫ |
[ГЛ. VIII |
Далее находим
_ и*м* =
Как видим, написанное выше тождество действительно имеет место, и, значит, вектор г, представленный равенст вами
|
|
г = М*ѵ, |
= — A*Ü, |
|
||
является |
решением данной системы. |
|
||||
§ 9. Приближенное решение системы |
|
|||||
Обозначим |
|
|
|
|
||
К Г (т, е) = |
V гкК[-](X). |
Л(ат) (т, в) = |
V е*Л™ (т), |
|||
|
k=0 |
|
|
k=0 |
||
MST’ (X, е) = |
V |
(т), |
R[m)(X, е) = |
ekRk(т). |
||
|
*=0 |
|
|
fc=0 |
||
Приближенным решением системы (2.1) будем называть |
||||||
вектор хт, определенный |
равенствами |
|
||||
хт = |
^ К Т ]{х, г)уТ \ |
|
(9.1) |
|||
du(m) |
а=*\ |
|
|
|
|
|
A(am) (т, |
е) у Т ] + |
М Т](т, е) R{m) (х, |
в)/ (t, т, в). (9.2) |
|||
—— |
Построенное приближенное решение допускает следую щие оценки (см. Приложение).
Если
* ( ° ) = * т (0),
то существует такое ех > 0, что для некоторых постоянных сп и е2 (е2 £ (0, ех)) на сегменте tx < t < t2, ilt t2 £ [0, L/e*]
§ 9] |
П Р И Б Л И Ж Е Н Н О Е Р Е Ш Е Н И Е С И С Т Е М Ы |
2 2 1 |
||
имеет |
место оценка |
|
|
|
|
IIX— хтII < cmem+1 |
(е < е2; |
t£ [tlt t2]). |
|
Если, помимо сделанных выше предположений, все соб |
||||
ственные значения эрмитовой матрицы Р = |
(А + А*) |
|||
неположительны, то |
|
|
|
|
|
\х — хп \\< с,пе:т - 1 |
е € (0, ej; |
t £ О,— |
|
|
|
|
’ |
е |
В случае однородной системы имеет место оценка |
||||
|
|
|
L_ |
|
|
< с„,е |
(е£(0, Ej); t g О, 8 |
|
Эти оценки показывают, что приближенное решение (9.1), (9.2) имеет асимптотический характер.
В заключение этого параграфа докажем одну лемму.
Л е м м а 9.1. Пусть произвольные матрицы Q[kJ (k = = 1, ..., т) выбраны так, что ранг матрицы
Eka -I- 2
*=i
равен ka. Тогда ранг матрицы /(âm) также равен ka-
Имеем
= + К ^ e kQla ]
/г=1
или, так как
/QSa] \
\ QpaJ р т
K ^ = Ka+ J ] S e ftAsQ^a].
s = l A = 1
Отсюда
m , p,_
M o W = Eka+
<s=l
и, значит, ранг матрицы равен ka. Поэтому ранг матрицы Ка^ не меньше, чем ka, а так как эта матрица со стоит из ka столбцов, то ранг КаП) в точности равен ka.
222 |
АСИМПТ (ЭТИЧЕСКОЕ |
РАСЩ ЕПЛЕНИЕ СИСТЕМЫ |
[ГЛ. ѴПІ |
Из доказанной леммы следует, что если уу1 есть |
общее |
||
решение уравнения (9.2), |
а произвольные матрицы |
||
\k = |
1.......т) выбраны так, |
что |
|
Eka+ 2
A=»I
— невырожденная матрица, то равенство
представляет kaлинейно независимых приближенных реше ний уравнения (2.1), соответствующих ka собственным зна чениям матрицы U, включенным в группу щ
Г л а в а IX
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ (ВТОРОЙ МЕТОД)
Алгоритм расщепления системы линейных дифференци альных уравнений первого порядка, изложенный в пред шествующей главе, приводит к расщепленной системе, со стоящей из подсистем линейных дифференциальных урав нений, матрицы коэффициентов которых могут принимать в каждом конкретном случае тот или иной вид. Ниже ука зывается другой метод расщепления линейной системы, при котором матрицы подсистем расщепленной системы получа ются в канонической форме, а именно в естественной нор мальной форме. Применительно к однородной системе диф ференциальных уравнений этот метод приводит к системе, состоящей из независимых дифференциальных уравнений первого или более высокого порядка.
§ 1. Две леммы
Пусть собственные значения квадратной матрицы U (т)
порядка п разбиты |
на р групп Х[а), |
|
, |
..., |
(ff == |
||||||
= 1........ |
р\ |
р |
— п) так, что |
|
|
|
|
|
|
||
2 |
К |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
<J=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I k\0) (т) — Я/5) (т) I > |
0 |
|
|
|
(1.1) |
||
(o' |
s; |
і =з 1, |
. • . , k<2 ) j = |
1, |
■ * |
■ j |
|
T- £ [Oj -^])* |
|
||
Тогда (см. г л .V) могут быть |
построены матрицы К о |
(т), |
|||||||||
Аа (т), Ма (т) |
типа |
соответственно |
п х |
ka, ka X ka, ka x |
|||||||
X n (er = |
1, .... p), |
дифференцируемые |
по |
т столько |
раз, |