Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 193

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

218

А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С И СТ Е М Ы

[ГЛ . Ѵ ІП

или, наконец, так как выражение, заключенное в круглые скобки, тождественно равно нулю,

A?] = A ?J

{k = 1,2, ...)■

П р и м е р . Система, сопряженная однородной системе дифференциальных уравнений, рассмотренной в качестве примера в § 2, имеет вид

 

~t

0

0

 

u * =

1

1 +

2t —

2

 

t2

 

1

 

2t —

1

 

- ' + i r

P

Согласно вышеизложенному решение этой системы пред­ ставляется так:

z = 2 МоѴа= М*ѵ,

а=-1

где

dvn

—gp- = — ЛоИо (О — 1,2)

или, что то же самое,

 

 

dv

A*u,

V =

и,

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

В данном случае

 

 

 

 

 

 

 

t -

i r

0

 

М* = М* =

t

 

1

1 2

t —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

è-

 

 

t

/ 3 +2

 

0

0 “

A*=

t

Ti (■

' - T ^ T ) 0

 

t2

t(P— 1)

 

 

0

 

 

0

- r

 

 

 

 

 


2 1 9

РАСЩ ЕПЛЕНИЕ СОПРЯЖ ЕНИЙ СИСТЕМЫ

5 8]

Для проверки подставим решение 2 в исходное уравне­ ние. Получим

dt и — М*А*у = — U*M*v.

Вектор 2 действительно является решением уравнения, если имеет место тождество

Имеем

dMdt* — М*А* =

t

X

уй*а* = u m * .

■О О

— 1 j — 1

t - j r

0

 

 

 

- 1

1

2 t - - k -

X

 

 

 

 

1

t — .

 

 

 

t

 

0

0

1 ,

J l + 2 _

P + 2

0

P +

t(P — 1)

 

 

 

0

 

0

_1_

 

 

p

Отсюда


220

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСЩ ЕПЛЕНИЯ СИСТЕМЫ

[ГЛ. VIII

Далее находим

_ и*м* =

Как видим, написанное выше тождество действительно имеет место, и, значит, вектор г, представленный равенст­ вами

 

 

г = М*ѵ,

= — A*Ü,

 

является

решением данной системы.

 

§ 9. Приближенное решение системы

 

Обозначим

 

 

 

 

К Г (т, е) =

V гкК[-](X).

Л(ат) (т, в) =

V е*Л™ (т),

 

k=0

 

 

k=0

MST’ (X, е) =

V

(т),

R[m)(X, е) =

ekRk(т).

 

*=0

 

 

fc=0

Приближенным решением системы (2.1) будем называть

вектор хт, определенный

равенствами

 

хт =

^ К Т ]{х, г)уТ \

 

(9.1)

du(m)

а=*\

 

 

 

 

A(am) (т,

е) у Т ] +

М Т](т, е) R{m) (х,

в)/ (t, т, в). (9.2)

——

Построенное приближенное решение допускает следую­ щие оценки (см. Приложение).

Если

* ( ° ) = * т (0),

то существует такое ех > 0, что для некоторых постоянных сп и е2 (е2 £ (0, ех)) на сегменте tx < t < t2, ilt t2 £ [0, L/e*]


§ 9]

П Р И Б Л И Ж Е Н Н О Е Р Е Ш Е Н И Е С И С Т Е М Ы

2 2 1

имеет

место оценка

 

 

 

 

IIX— хтII < cmem+1

(е < е2;

t£ [tlt t2]).

Если, помимо сделанных выше предположений, все соб­

ственные значения эрмитовой матрицы Р =

(А + А*)

неположительны, то

 

 

 

 

\х — хп \\< с,пе:т - 1

е € (0, ej;

t £ О,—

 

 

 

е

В случае однородной системы имеет место оценка

 

 

 

L_

 

 

< с„,е

(е£(0, Ej); t g О, 8

 

Эти оценки показывают, что приближенное решение (9.1), (9.2) имеет асимптотический характер.

В заключение этого параграфа докажем одну лемму.

Л е м м а 9.1. Пусть произвольные матрицы Q[kJ (k = = 1, ..., т) выбраны так, что ранг матрицы

Eka -I- 2

*=i

равен ka. Тогда ранг матрицы /(âm) также равен ka-

Имеем

= + К ^ e kQla ]

/г=1

или, так как

/QSa] \

\ QpaJ р т

K ^ = Ka+ J ] S e ftAsQ^a].

s = l A = 1

Отсюда

m , p,_

M o W = Eka+

<s=l

и, значит, ранг матрицы равен ka. Поэтому ранг матрицы Ка^ не меньше, чем ka, а так как эта матрица со­ стоит из ka столбцов, то ранг КаП) в точности равен ka.


222

АСИМПТ (ЭТИЧЕСКОЕ

РАСЩ ЕПЛЕНИЕ СИСТЕМЫ

[ГЛ. ѴПІ

Из доказанной леммы следует, что если уу1 есть

общее

решение уравнения (9.2),

а произвольные матрицы

\k =

1.......т) выбраны так,

что

 

Eka+ 2

A=»I

— невырожденная матрица, то равенство

представляет kaлинейно независимых приближенных реше­ ний уравнения (2.1), соответствующих ka собственным зна­ чениям матрицы U, включенным в группу щ

Г л а в а IX

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ (ВТОРОЙ МЕТОД)

Алгоритм расщепления системы линейных дифференци­ альных уравнений первого порядка, изложенный в пред­ шествующей главе, приводит к расщепленной системе, со­ стоящей из подсистем линейных дифференциальных урав­ нений, матрицы коэффициентов которых могут принимать в каждом конкретном случае тот или иной вид. Ниже ука­ зывается другой метод расщепления линейной системы, при котором матрицы подсистем расщепленной системы получа­ ются в канонической форме, а именно в естественной нор­ мальной форме. Применительно к однородной системе диф­ ференциальных уравнений этот метод приводит к системе, состоящей из независимых дифференциальных уравнений первого или более высокого порядка.

§ 1. Две леммы

Пусть собственные значения квадратной матрицы U (т)

порядка п разбиты

на р групп Х[а),

 

,

...,

(ff ==

= 1........

р\

р

— п) так, что

 

 

 

 

 

 

2

К

 

 

 

 

 

 

 

 

<J=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I k\0) (т) — Я/5) (т) I >

0

 

 

 

(1.1)

(o'

s;

і =з 1,

. • . , k<2 ) j =

1,

■ *

j

 

T- £ [Oj -^])*

 

Тогда (см. г л .V) могут быть

построены матрицы К о

(т),

Аа (т), Ма (т)

типа

соответственно

п х

ka, ka X ka, ka x

X n (er =

1, .... p),

дифференцируемые

по

т столько

раз,