Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 192
Скачиваний: 0
§ 8] |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С О П Р Я Ж Е Н Н О Й С И СТ Е М Ы |
2 1 3 |
Приравняем правые части равенств (8.20) и (8.21), учтя при этом, что по предположению первые к — 1 равенств (8.15) справедливы и что
[fe-i] dKs |
+ |
~j~ Mo |
dK:[ A - I ] |
“b |
dMo |
Klk- |
+ |
|
|
м у |
dx |
dx |
dx |
|
|||||
|
|
|
ж ( ^ fc_n^ |
+ |
••• |
+ « |
р |
- 1]) = о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(s # o ). |
|
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
{MaKl^ -f |
••• |
+ М 1ок]К ,)А = А о (М о К ['Ч |
+ |
M ? % ) . |
|||||
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0K[k]+ |
. .. + |
A |
Ä s= |
0. |
|
|
Тем самым по индукции установлена справедливость ра венств (8.15) при любом k.
Так как
МоКъ= |
£ |
£Ä/V/^ ] 2 |
е'г/<^ 3= |
|
|
|
||
|
|
/!=0 |
ft=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= MoKs + е (М ^У ] + M ^ K S) + |
|
|
|||
|
|
|
+ е2 (МоК? + |
МУ]М ‘] + M\~]Ks) + |
• • •, |
|||
то на основании (8.15) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
MaKs= 0 |
(s Ф ст). |
|
(8.22) |
|
|
В силу имеющегося произвола в выборе |
и ОУУ (k = |
||||||
= |
1, 2, |
...; or = 1, |
2, ..., р), равенства (8.15), |
вообще |
гово |
|||
ря, |
при s = |
ст не имеют места. Но если принять |
|
|||||
|
|
=<21оУ. |
|
|
|
|
|
|
|
т |
= Qacr1+ |
Л |
« \ |
|
|
(8 .2 3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qao = |
Qoa + |
Mo*V’Co*"'1] -f- |
+ M[k~i]KlJ \ |
|
|||
то эти равенства будут выполняться и при s = ст.
2 1 4 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е |
С И СТ Е М Ы |
[ГЛ . Ѵ ІИ |
|||||||||
|
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
МаКа[ ] + |
м Ж |
- ,] + |
• • • |
+ |
М |
? - 'д а |
+ |
Мок1Ко = |
|||||
= |
M0KQlak] + |
|
|
+ |
■• • + |
Mlak- l]K lJ ]- |
f f l ]MKo = |
||||||
|
= |
QloJ + |
|
|
+ |
• • • |
+ |
|
|
|
- |
Wa] = 0. |
|
|
Если |
QM |
определены |
согласно |
(8.23), |
то, как легко |
|||||||
проверить, будем |
иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Mo/?a = Efea |
( 0 = 1 , 2 , |
. . . , |
р), |
|
(8.24) |
||||||
|
Объединяя |
соотношения (8.22) и (8.24), получим |
|||||||||||
|
|
|
|
|
МК = Еп. |
|
|
|
|
(8.25) |
|||
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Qt4 = |
( d ‘l < ^ ) . . . |
QM), |
|
= |
[*] |
|
||||||
|
|
q‘ |
|
|
|||||||||
Тогда, очевидно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Kw = KQW , |
MW = — QW M. |
|
|
||||||||
|
Согласно (8.25) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
= Еп, |
|||
|
|
|
|
|
|
М/С[1] 4- MWK = о, |
|
||||||
|
MKW + |
м [14 |
[*-1] + |
|
+ M [fc]/( = |
0, |
|
||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q[‘] _ |
Q[Ч = |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
Q r a _ Q [ n Q[ n _ Q m = 0 |
|
|||||||
|
|
|
Q[3] _ Q[1]Q[2] _ |
Q [2]Q [I]_ |
Q[31 = |
0 |
|
||||||
(8 .2 6 1
§ 8] |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С О П Р Я Ж Е Н Н О Й С И С Т Е М Ы |
2 1 5 |
и, значит,
Q[1]= Q [4,
Q[3]== Q [3]_Q[i]Q m _ Q [ 2 ] Q[i]i
|
|
|
|
(8.27) |
QW = |
QW _ |
Q[>]Q[*-I] _ . . . _ |
Q[*-nQrn |
|
Имеют место |
следующие соотношения: |
|
||
Q H ] Q m + |
Q [ 2 ] Q [ 1 ] = |
Q [ . ] Q [ 2 ] + |
Q [ 2 ] Q [ l ] f |
|
Q[1]Q[3] + |
+ |
= |
Q[0Q[3] -f Q^Qt2] _J_ |
|
(8.28)
Равенство
Qf'lQm ^QtnQtn
очевидно в силу первого равенства (8.27).
Из первого равенства (8.27), умноженного справа на
вычтем второе равенство, умноженное слева |
на Q0]. |
Получим |
(8.29) |
Q[,]Q[2] _ Qm Q m ==QmQ[i]Qm |
|
Из первого равенства (8.27), умноженного слева на (И23, |
|
вычтем второе, умноженное справа на Q0], Получим |
|
QWQM - QC2]Qc1] = QC4QC4QC4. |
(8.30) |
Сравнивая левые части равенств (8.29) и (8.30), получим второе равенство (8.28).
Первые три равенства (8.27) умножим справа соответ
ственно на Q [3], Q [2], Q [,] и сложим. Получим |
|
|||
Qm Q[3] + Q[2]Q[2] + |
QC3]Qm = |
Q[I]Q[33 + |
Q PIQW + |
|
— Q[1]Q [,]Q [2] — Q [I]Q[2]Q[I] — Q^Q[OQO]_ |
(8 31) |
|||
Умножая эти же равенства слева |
на Q[3], Q[2], Qci:i и |
|||
складывая, будем |
иметь |
|
|
|
Q tH Q t3] + Q W Q W + |
Q [3]Q [1] _ |
Q [1]Q [3] + |
Q [2]Q [2] + Q [3]<?[ 1 ] _ |
|
— Q [ l] Q [1]Q r a — QO]Q[2]Q[I] _ |
QP]Q C1]Q [I]> |
(832) |
||
2 1 6 А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С И СТ Е М Ы [ГЛ . V III
Вычитая из (8.31) |
равенство |
(8.32), получим |
||
( Q [1]Q [3] + |
Q [2]Q [2] + |
Q [ 3 ] Q [1]) - |
( Q [1]Q [31 + |
Q [2]Q [2] + |
+ |
Q [3]Q [1]) = |
Q [1]Q [1,Q [21 + Q [1^ Q |
[ , 1 + |
|
+ |
|
|
|
- Q ^ Q ^ Q H ] . |
Правая часть последнего соотношения равна нулю. Дей ствительно, используя первые два уже доказанных соотно шения (8.28), будем иметь
Q [‘]Q[I]Q [2] + Qn]Q[4Qm + |
|
_ QmQ[.]Qm _ |
|||
- |
Q [1]Q [2]Q [1] - |
Q |
^ |
W 1 = Q [11Q [ , ] Q [2] + |
|
_)_ ( Q [11Q [2] _J_ |
Q UI |
_ |
Q [1]Q [ I ] Q [2] _ |
Q [ 4 Q [2]Q [1] _ |
|
|
|
|
|
— |
Q [2]Q [1]Q [i1 = 0 . |
Учитывая это, получаем третье равенство (8.28): |
|||||
QmQ[3i + |
QmQm + |
|
|
+ |
+ Q W Q U . |
Этим же способом последовательно можно доказать и последующие равенства (8.28).
В силу равенств (8.28) вместо (8.26) можем записать
|
Qrn — Q[l] = |
О, |
|
Q C2J _ Q r ' l Q H J _ Q [2] = |
0 j |
Q [3 ] _ |
Q n i Q t S J _ Q t 4 Q [ I ] _ QL3] = |
0> |
Qm _ Q[l]Q[/e-.]_ |
. .. _ Q [* -l]Q [l]_ Q [4 = 0 i |
|
По умножении справа на М, а слева на К эти соотноше ния предстают в форме, отвечающей равенству (2.20), что доказывает равенство соответствующих членов разло
жения матриц М а, фигурирующих в |
формулах |
(8.3) и |
|
(8.6). |
доказать равенство соответственных |
членов |
|
Остается |
|||
разложения |
матриц Аа, фигурирующих |
в формулах (8.3) |
|
и (8.7). |
|
|
|
$ 8] |
|
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е С О П Р Я Ж Е Н Н О Й С И С Т Е М Ы |
|
217 |
||||||||
|
|
|
||||||||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
иКо = КЛа, |
|
dKa |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
UKlc ] =/СУ ]Ла + |
КаА[п + |
dx |
|
|
|
|
|
|
||||
UKla] = |
/Са]Аа + |
KaA^ + |
|
|
< |
1] |
|
|
||||
|
|
+ |
dx |
|
|
|
||||||
и № |
= |
|
|
+ |
к Л к] + |
• ■• |
+ |
А ^ - 1]л ['3+ |
dK[k~{] |
|||
|
|
|
а |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
Умножим слева первое равенство на |
Ліо3, второе |
|||||||||||
на Maft-11 |
|
и т. д. и сложим полученные результаты. Будем |
||||||||||
иметь, |
считая, что |
(£ — |
1,2, |
...) определены согласно |
||||||||
равенствам |
(8.23), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
М\?]и К а+ |
|
+ M aUK[ak] = |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= Alak] + M[ak--,] dK^ + |
••• + Mo |
dK°x— |
■(8.33) |
||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
Умножая справа равенства |
|
|
|
|
|
|
||||||
MQU = ЛаЛ4о, |
|
|
dMr |
|
|
|
|
|
|
|||
MWu = A 0Mlal] + Ä lc']M |
|
|
|
|
|
|
||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
dMU1 |
|
|
|||
M\?]U = Л„М?3+ № м а + л Ж |
|
|
|
|||||||||
|
3— |
|
, |
|
|
|||||||
M FU = |
ЛаЛІ03 + |
Aik]Ma + |
• • ■ + |
Л[аІ3м |
Г |
13 - |
|
а |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
соответственно на Л3а 3, /(а*~'3 >•••> Ко, тем |
же путем полу |
|||||||||||
чим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M J U № + |
••• |
+ м [к]и К о = |
|
+ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
dM r |
|
|
|
|
К о ) . |
(8.34) |
|
|
= |
ÄLft] |
|
dx- к 1о~ІІ + |
|
dx |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
Из |
(8.33) и |
(8.34) следует, что |
|
|
|
|
|
|||||
А Г*] |
А [А] |
/Л" КІА -1 ] |
|
|
|
|
|
|
||||