Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

Скачать файл (16,48Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 191

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

2 2 4 А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е [ГЛ . IX

сколько раз дифференцируема матрица V (т), такие, что

U = 2 Ua=	KAM,			Uо= КоАаМо,
0=1				( 1.2)
				( 1.2)
м л	, ^	\	Е‘°-	s = °-
		\	о,	s=£o.

где К, А, М — соответствующие блочные матрицы. Собственными значениями каждой матрицы Аа служат

собственные значения матрицы U, включенные в соответ

ствующую группу а.					2, ..., р)
Матрицы Ра =		КаМо (о — 1,				являются про
екционными (РІ = Ра) и обладают свойствами
PaPs — О	(ОФЗ),			^ Р г , = Еп,
				сг= 1
P jj^ U P o ^ U o ,			PoUs = UsPa = 0			(s=^o).
Для удобства дальнейшего изложения введем в рассмот
рение л-мерное векторное пространство R						и действующие
в нем линейные операторы				U, Ра (о = 1, 2		.......р), которые
в некотором базисе		ег,	е2,	еп	отвечают	соответственно
матрицам U, Ра, (<т = 1, 2.......р). Эти операторы и матри
цы связаны соотношениями
U% = %U,		Ро& = %Ро			(ог*=1.......... р),		(1.4)
где g = (ег е2	... еп).						любого
Операторы Ра являются проекционными, и для
g ИЗ R, как это следует из (1.3),
PcPsg = 0			(S=£v),		^ P o g = g.
					СГ= 1

В соответствии с последними соотношениями простран ство R расщепляется на р подпространств:

R — R\ Ң- ■ • 4 ~ Rp,		Ra — РаR	(о =	1,2, . . .	, л).
Эти	подпространства	инвариантны относительно			опера
тора U.	Действительно,	пусть, например, g		£ R a.	Тогда,

используя равенства (1.3) и (1.4) и учитывая, что вектору, как и любой другой вектор из R, можно представить в виде g = g g, гдeg — столбцовая матрица, составленная из координат вектора g в базисе ег, ег.......еп, последовательно

получим Ug = UPaQg = $UPag = %P0Ug = PoUQg £ Ra-

§ П

Д В Е ЛЕММЫ

2 2 5

Следующая лемма устанавливает связь между аннули рующими многочленами подпространств R a и матрицами

А0 в разложении (1 .2 ).

Ле м м а 1.1. Всякий аннулирующий многочлен подпро странства RQявляется аннулирующим многочленом и для матрицы А а, и обратно, всякий аннулирующий многочлен

матрицы Аа является аннулирующим многочленом и для подпространства Ra.

Д о к а з а т е л ь с т в о .		Пусть ср0		(Я)	— некоторый
многочлен от Я. Учитывая,		что UkPa =		KaAgMa, для лю
бого вектора g из R будем иметь
фа (U) P a g = Фа (U) Pa%>g =		§фо (U) Pag =		g /Софа (Аа) М 0g.
					(1.5)
Если	фа (Я) — аннулирующий		многочлен		подпростран
ства R a ,	ТО		(g£R),
	4>o(U)Pog = 0				(1.6)
и, значит, согласно равенству (1 .5)			g/Сафа (Ла) Mag = 0 .			Но
последнее равенство может		выполняться для любого				g
из R тогда и только тогда, когда
	фа (Ла) =		0.		(1.7)
Поэтому	фа (Я) является	аннулирующим			многочленом

матрицы Л0. И обратно, если ф0 (Я) — аннулирующий много член матрицы Лст, то имеет место равенство (1.7) и в силу

(1 .5) — равенство (1 .6 ) для любого вектора Ра g£ Ra			(g £R).
С л е д с т в и е .	Минимальные	аннулирующие	много
члены подпространства R a и матрицы Аа совпадают.
Далее, если &а-мерное подпространство Ra — цикличе
ское относительно	оператора U,	а е — ge — порождаю

щий вектор этого подпространства, то система векторов е,

(Je, ..., Uk(J~'e линейно независима. Линейно независи мой является также система столбцовых матриц е, Lie, ...

..., Uk°~'le. Можно показать, что существует такая матри

ца «атипа/еа X 1, что система аа, Аааа, ..., л £ 0 _ 1аа также линейно независима. Более того, справедлива следующая Л е м м а 1.2. Для того чтобыка-мерное подпространст во Ra, инвариантное относительно оператора U, было цик лическим, необходимо и достаточно существование столбцо

вой матрицы аа типа kQ X 1, которой отвечает линейно независимая система столбцовых матриц

8 К. А. Абгарян

226	А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е	Р А С Щ Е П Л Е Н И Е	ti-л. IX
	Qo, A<jÜ0 , . . .	, Аста аа.	(1 -8 )

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим матрицу

it = (Uka~le	и к°~2е	...	(Je е)			(е=	Рае).
Используя разложение		(1.2)	и	учитывая,			что	Мге =
= МѣРае = 0 (s Ф а), эту		матрицу можно представить в
виде	it = Kj£o,

где і£а = {А.ка~1Мае Лка~2Мае . . .				АаМае		Мае) —квадрат
ная матрица порядка
Матрицы it и і£а	имеют	один		и тот		же ранг,		так как
матрица Ка состоит	из линейно			независимых столбцов.
Используя это обстоятельство, легко					доказываем			лемму.
Н е о б х о д и м о с т ь .		Пусть		/?„	— циклическое				под
пространство, а е =	%г — его		порождающий				вектор.		Тог

да столбцы матрицы it линейно независимы. Значит, ли нейно независимы и столбцы матрицы ita. Если принять

аа — Мае,		(1.9)
то, очевидно, система (1 .8 )	также будет линейно незави
симой.
Д о с т а т о ч н о с т ь .	Допустим,	что система (1.8),
где аа — некоторая матрица типа ka х		1 , линейно незави

сима. Тогда столбцы матрицы і£ также будут линейно не зависимыми, если в качестве е принять какое-нибудь нену левое решение матричного уравнения (1.9). Ясно, что та кое решение всегда существует и соответствующий вектор е = Не принадлежит подпространству Ra. Значит, ^-мер ное инвариантное подпространство Ra является цикличе ским. Лемма доказана.

§ 2 . Преобразование однородной линейной дифференциальной системы с постоянными коэффициентами

ксистеме независимых дифференциальных уравнений

2.1.Преобразование к расщепленной системе уравнени второго порядка. Рассмотрим линейную стационарную си стему

А^- = ВХ,

(2.1)


S 1]	П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е О Д Н О Р О Д Н О Й С И СТ Е М Ы		227
где А	и В — постоянные матрицы порядка п, причем п —
четное число и clet А Ф 0.
Т е о р е м а		2.1. Пусть собственные значения матрицы
U — А~1В четного порядка п разбиты на р =			п! 2 групп,
по два собственных значения в каждой группе, так, что
\%?) - % Т \ > 0		(/,/=1,2; а, 5=1,2, ...,	p . a ^ s ) ,

а инвариантные подпространства Rlt R2, •••> Rp п-мерного пространства R, соответствующие указанным р группам собственных значений матрицы U, являются циклически ми. Тогда решение уравнения (2.1) может быть представле но в виде

х —	(S1 ~Tt Н ЪоЦаІ ,	(2 .2 )
	а=1

где qa — скалярные функции, удовлетворяющие уравнениям

t P q .	d q n		P)■ (2-3)
—tffi	---- [-’ХооЦо — О (0 = 1 ,		P)■ (2-3)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Подставим (2 .2			) в	(2.1) и
исключим при этом d		с помощью равенств	(2.3).	Полу-
чим	dr2
чим
[Slor(—	-----«2 o<7 aj +
О»1

= U У { b a - jp + baq.)■ CJ= 1

Приравняем в этом равенстве коэффициенты при — и qa'■

— ^laCtio + а= Н£іа,
— £,1 0 X9 а	П^2о		(О = 1 , 2	, • • . , р),
ИЛИ	^2а =	П£іо + Cti(j£ia,
				(2.4)
	О=	П^2а “j“ ®-2о^І0-
				(2.4) на U и сложим
Умножим слева	первое		равенство
со вторым. Получим
(V2	+ а\JJ + а 2а£) £1ст == 0.

2 2 8 А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е [ГЛ . IX

В силу последнего соотношения система (2.4) эквивалентна системе

(U 2 -j- щ ои + а,ч0Е ) gier = О,

І2 а — Д£іа -j- CtiejgjCT,
которую коротко можно записать так:
ф а (£/) £іа — 0 ,	1	(2.5)
&?о = Д £ і а + « l a g a , I		(2.5)
&?о = Д £ і а + « l a g a , I
где
ф а (^) == ^ ~Ь Ctla^ “Ь а 2а-
Для доказательства теоремы достаточно показать раз
решимость уравнений (2.5) относительно \|		/ 0 иауо (/ = 1,2).
Пользуясь соотношениями (1.2), (2.5)		представим в виде
2 /ОРа(Л5) Щ ,а = 0	,	( 2 6)

Ьс = иЪо + СС1а^іа.

По условиям теоремы двумерное инвариантное подпро странство /?о, соответствующее группе а собственных значе ний матрицы U, циклическое. Поэтому минимальный много член этого подпространства есть многочлен второй степени с коэффициентами, определенными по формулам Виета: