Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 165

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 8]

Р Е А К Ц И Я С И С Т Е М Ы НА В О З М У Щ Е Н И Е

2 8 3

представляет передаточные функции системы, отвечающие /-му входу и всем ее выходам. Полный набор передаточных функций системы, имеющей I входов и п выходов, дается п X /-матрицей

№ (М ) = (<М М ) <М М ) ••• М М )),

которая связана с матрицей импульсныхпередаточных функций системыследующими эквивалентными соотноше­ ниями:

оо

Wfi,t) = §G(s,t — s)e-tods,

(8.3а)

О

 

 

t

 

 

W {к, 0 = J

G(/ — г, Г) er-ь «-Wdf.

(8.36)

— о о

 

Согласно (8.1) /-й столбец матрицы W (к, t)

 

W/(k,t) = Xj(k,t)e-Xt,

(8.4)

где Xj (к, t) — решение

дифференциального уравнения

A (t)^ j -

= B(t)x, + hl (t)e>-‘,

(8.5)

отвечающее нулевому состоянию системы (т. е. имеется в виду то решение уравнения (8.5), которое отвечает тривиаль­ ному (нулевому) решению соответствующего однородного уравнения).

Столбцовая матрица w,- (к, t) является решением диффе­ ренциального уравнения

■$Г = іи (0 - tân 1O' + Л“ 1(t) h, (0,

(8.6)

отвечающим нулевому состоянию системы, в чем можно убе­ диться путем подстановки в это уравнение выражения (8.4). Значит, матрица передаточных функций W (к, t) является решением дифференциального уравнения

= [U (t) — hE„\ W + A~l (t) H (/),

соответствующим нулевому состоянию системы.

284

Д И Н А М И Ч Е С К И Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И С И СТ Е М

[ГЛ. X

§ 9. Связь между входными и выходными сигналами системы посредством передаточной функции

Между матрицами входных сигналов и (f) и выходных сигналов X (t) имеет место соотношение (см. (3.4))

і

 

х ( 0 = J G(t — t',t')u(t')di'.

(9.1)

—00

Предположим, что к входным сигналам можно применить преобразование Лапласа и L (и) — преобразование Лапла­ са матрицы входных сигналов. Тогда

 

 

 

С+іоо

 

 

 

и ® = - Щ- і L ^ )e u dk

( с > с а)

 

 

 

С — /оо

 

 

(са — абсцисса абсолютной сходимости

 

преобразования

Лапласа).

 

 

 

 

 

Подставим выражение и (і) в (9.1) и поменяем порядок

интегрирования. Получим

 

 

 

 

 

of-too

*

G(t — t', t') eu'dt'

 

*(9 = 2пі

с — і о о

j

L (и) dk,

или

 

 

 

 

 

'+ic

 

 

 

 

 

Х{0 =

\

G(t — t', t') е-ь "- r)dt’ L (и) eud\.

2ni

 

c—loo

 

 

 

 

Отсюда

 

 

 

 

 

 

(0 =

- 2 s r

-f

 

 

Преобразование Лапласа обеих частей последнего ра­

венства

приводит к соотношению

 

 

 

 

L(x) = W (X, t) L (и).

 

(9.2)

Из (9.2) следует, что передаточная функция линейной системы есть отношение преобразования Лапласа выходно­ го сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала.

§ ІО] П О С Т Р О Е Н И Е П Е Р Е Д А Т О Ч Н О Й Ф У Н К Ц И И 2 8 5

§ 10. Построение передаточной функции

10.1. Передаточная функция стационарной системы.

Учитывая (2.1) и

(8.36),

в случае

стационарной

системы

(А — const,

Н =

const)

имеем

 

 

 

 

№(Х) =

j G(t— Г)е~хи~п сй' =

J eUline~Ku- n dfA~lH- =

 

— o o

 

 

 

 

 

— oo

 

 

 

 

 

 

 

oo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= J

eUse-%sdsA~lH = L(eUs) A - ]H,

или, поскольку

 

 

6

 

 

 

 

 

 

L (eUs) = (XE — U)-'

 

 

 

 

 

 

(C M . § 4 г л .

VII), то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W (X)^(XE — U)-xA - xH.

(10.1)

Пусть J

= diag (/, (X,), J2

(X2),

..., Jp (Xp)) — жорданова

форма матрицы U, а К

=

(Кѵ К2>КР) — соответствую­

щая преобразующая матрица,

так

что

 

 

 

и = KJM

/ м

= к ~ 1=/ Мі

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

'■мр

 

Тогда (10.1) можно записать в виде

 

 

 

IV (X) =

21 Ко (XEka -

J ar ' M 0A - lH,

 

причем

 

 

 

а=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

н.

 

 

ңка~1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nk

(XEka

Ja)

—

Х

— Х д

( Х -

Х а ) 2

+ ■

ка

( x - x j а

10.2. Передаточная функция нестационарной системы. Рассмотрим некоторые из возможных путей построения пе­ редаточной функции нестационарной системы.

10.2.1. И с п о л ь з о в а н и е

в ы р а ж е н и я и м ­

п у л ь с н о й п е р е х о д н о й

ф у н к ц и и. Учиты­

вая (2.3), из (8.3)

имеем

 

t

Gu (/ — 1\ t’) A

(/') H (V) e Kll~n dt’

\Ѵ(Х, 0 = j

2 8 6

Д И Н А М И Ч Е С К И Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И

С И С Т Е М

[ГЛ. X

И

 

СО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W (X, t) = J

G0(s, t -

s) A~x (t — s) H (t — s) e~Xsds,

где

 

0

 

 

 

 

 

 

 

G0 = X ( t ) X - l ( n = X ( t ) X ~ l ( t - s ) ,

 

 

 

 

а X

(t) — фундаментальная

матрица

однородного уравне­

ния

(2.1).

 

 

 

 

 

 

 

Имея

точное

или приближенное

выражение

матрицы

G0, можно, пользуясь этими формулами, довести построение

передаточной функции до конца.

 

 

 

10.2.2.

П р е д с т а в л е н и е

 

п е р е д а т о ч н о й

ф у н к ц и и н е с т а ц и о н а р н о й

с и с т е м ы ч е ­

р е з

п е р е д а т о ч н у ю

ф у н к ц и ю с и с т е м ы

п р и

з а м о р о ж е н н ы х

п а р а м е т р а х .

Импульс­

ную

переходную

функцию

G (s, t — s)

разложим в ряд

Тейлора в окрестности точки (s, t):

 

 

 

Заменяя в (8.3а) G (s,

t — s) ее разложением в ряд Тей'

лора,

имеем

 

 

 

 

 

 

«7 (X, о =

СО

 

с о

 

 

 

 

VG(S, о e~Ksds -

J s

dG(a;‘]

e-^ds +

 

 

 

0

 

о

 

 

 

 

о о

о

Здесь

J G (s, t) é~Xsds - R (X, i) = Roo(Я,, t),

о

со

0

и, вообще,

со

[sl

* ° M 4 - e 'u ds =

J

dt1

D

 

§ 101

П О С Т Р О Е Н И Е

П Е Р Е Д А Т О Ч Н О Й

Ф У Н К Ц И И

2 8 7

Учитывая это, получаем

 

 

 

W (X, t) = R (К, t) +

Rn (X, /)+ -!■

R22 (X, t) +

. - • (10.2)

Матрицу R (X, t) молено трактовать как матрицу переда­ точных функций системы в условиях, когда ее параметры в момент времени t заморожены (т. е. имеют постоянные значения, соответствующие моменту времени t).

Если импульсная переходная функция в качестве вто­ рого аргумента имеет не t, а медленное время т = st, то тогда

 

 

со

 

 

W (X, т) =

j o (s, х — es) e~Xsds

 

 

о

 

и разложение (10.2) принимает вид

 

W (X, х) =

R (X, т) +

sRn (X, X) +

S2R22 (X, т) +

10.2.3.

П е р е д а т о ч н а я

ф у н к ц и я к а к р е ­

ш е н и е д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о у р а в н е н и я . Передаточная функция может быть построена и как решение дифференциального уравнения (8.6). Для решения уравне­ ния (8.6) или по крайней мере упрощения этой задачи мож­ но воспользоваться методом расщепления дифференциаль­ ной системы на подсистемы меньшего порядка. С этой целью наряду с (8.6) введем в рассмотрение уравнение

= \Ѵ № - *Еп] W + Л-1 (Т) h, (t)

(X=

st), (10.3)

которое при е = 1 совпадаете (8.6).

U (т)

уравнения

Пусть собственные значения матрицы

(10.3) разбиваются на непересекающиеся группы Х\а), Х ^ ,...

..., X{kJ (а =

1, 2,

...,

р; Уka = п), так что она может быть

представлена

в

форме

 

 

 

 

 

 

 

 

U =

2 КаКМа.

 

 

 

 

 

 

 

 

а=\

 

 

В этих условиях собственные значения матрицы U — ХЕ

такл(е

разбиваются

на

соответствующие

группы

вида

Х\а)~

X, w

-

X, ....

Х{°1

- Х ( а = 1 ,2 .......р;

Уka =

п), а

Смотрите также файлы