288 Д И Н А М И Ч Е С К И Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И С И С Т Е М [ГЛ . X
сама матрица U — %Еп представима в форме
|
U hEn — 2 |
Ка (Ла — Я,Ека) Ма. |
|
а= |
1 |
Формальное решение уравнения (10.3) определяется |
соотношениями |
|
|
2 |
K a (i, e)yaj, |
|
< 7 = 1 |
dUai |
= [A<J (т, е) — XEka\ ijaj + М„ (т, е) А ' (т) lij (t) |
di |
|
(0 = 1 |
, 2 , . .. ,/?). |
Удерживая в разложениях матриц Ка, Аа, Ма некото рое число первых членов, получим соотношения, определяю щие приближенное решение уравнения (10.3):
|
w f = |
2 |
KP (т>і е) yPh |
|
dtM) |
а=в1 |
|
т |
а] уР, + М р (т, е) А~1(т) h, (t) |
|
= (Аа0 (Т, е) - |
(а = 1 , 2 , .. ., р).
Полагая е = 1, отсюда находим соотношения, опреде ляющие приближенное решение уравнения (8 .6 ):
|
w(p |
= Ѣ к Р (t) yPh |
|
|
duV) |
0 = I |
|
|
Ь £ *а| yp, + |
(t) A~' (/) hj (t) |
|
—З Г = [ A (a° (О - |
( o = l , 2 , . . ., p).
Допустим, что YP (К t) — невырожденная квадратная матрица порядка k0, удовлетворяющая матричному урав нению
т г = |Л<«’ « -
Тогда
t
ypj = J 1/!,, ) ( ^ 0 1 /аГ І ( ^ / ' ) ^ а , ( П ^ ' ( П / і / ( П ^
iS 10] |
ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ |
2 8 9 |
и соответственно
w)r) (*-. 0 =
рL
= 2 к Р (t) \ |
|
(х, t) Y P |
(х, t') м Р |
(П Л- |
(t')1 |
h, (t') dt'. |
0 =1 |
|
-CO |
|
|
|
|
|
|
|
|
В более компактной форме |
|
|
|
|
|
|
w p {К 0 |
= |
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= /Си |
|
( 0j’ |
У(ГЧ М )У (0 ~ \М ') М (Ѵ |
М |
_ У ) М |
Г) ^ '. |
Здесь |
|
—'СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/Ог) = |
(/СГ |
/СГ . .. О |
, |
м ю = |
| |
••• |, |
|
|
|
|
|
|
|
|
\MlpJ |
|
|
|
|
У( г 1 = |
diag (У<,'\ Y p .........Yp). |
|
|
|
В частном случае, когда собственные значения матрицы U простые, разбивая эти собственные значения на п «групп» (по одному собственному значению в каждой «группе»), будем иметь
W(P = 2 |
Ka' (t) уа], |
0 |
= 1 |
<4и{г) |
|
|
dt |
= |
( Х Р |
(0 - |
Х ) у р |
- м Р (О л - 1( 0 h , |
( I ) |
|
а ' |
|
|
|
|
|
|
|
(о = 1,2, |
. . . , п). |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
w p |
(X, і) = |
‘ |
|
|
|
|
|
|
„ |
|
< |
|
|
|
= |
2 KP (О |
J |
exp J (Хр (Г) - |
X) dt"Mp (t') A ~ \f) h, (t') dt', |
О—1 |
—oo |
t' |
|
|
|
|
или, более компактно, |
|
|
|
wp(X, t) = |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|
= Kin (t) J |
exp J (A{r\t") — XEn) dt"Mir) (t') Л- 1 (t') h, (t') dt', |
|
—CO |
t' |
|
|
|
|
где |
|
A<'> = |
diag(tf\A ir>..........XP). |
|
|
|
|
Глава XI
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ УПРАВЛЯЕМОГО ПРОЦЕССА
§ 1. Интегро-дифференциальная система уравнений управляемого процесса
Будем рассматривать управляемый процесс, течение ко торого представляется некоторыми параметрами (коорди натами) .Vj, х2, ..., х,„ удовлетворяющими системе уравне ний
П |
71 |
I |
|
і ' °ч $ Ч Г = |
£ |
ъч (О х>+ £ hnui |
( 1■1) |
/=і |
/= I |
/=1 |
|
( і = І , 2 , .. . , п\ |
det (сіц) ф 0 ). |
|
Управляющие воздействия |
и,-, рассматриваемые как вы |
ходные сигналы регулятора, предполагаются линейными
функциями входных сигналов регулятора |
о,-, которые фор |
мируются как линейные комбинации координатхх, х2, |
х„: |
»/ = У taxk |
(/ = 1 |
, ..........2 |
т). |
(1 .2 ) |
/;=I |
|
|
|
|
Допустим, что связь |
между |
входными сигналами |
ѵѵ ѵ2, ..., ѵт и выходными сигналами их, и2.......ut регулято ра представлена посредством импульсных переходных функ
ций gij (t — t', t') |
(i |
= 1, 2 , ..., l\ j = 1, 2 , ..., m), так что |
щ = |
2 |
(1.3) |
|
/ = |
1 |
Итак, рассматриваемый здесь процесс полностью опи сывается системой уравнений (1.1), (1.2), (1.3). Запишем эту
§ 11 |
И Н Т Е Г Р О - Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н А Я |
СИ СТЕМ А |
291 |
систему в матричном виде. Положим |
|
|
|
■ |
|
|
л . |
*1« |
»in |
|
|
а22 |
|
|
\" |
|
■»in |
|
|
. |
4 |
н |
ft/l2 ' |
^nn |
|
|
Кг ■• |
anJ |
|
U , |
|
|
Кг •• |
Kl\ |
|
/*п |
12 |
m |
|
|
Аи ■■ |
I |
° - | 'Kl |
^22 ‘ |
&2ГП |
|
п1 |
V г • |
Kl) |
|
Vs/, |
Кг |
‘ / |
|
|
|
\ mi |
(/«2 |
tm/i' |
|
|
|
В этих обозначениях уравнения управляемого процесса принимают вид
йх |
|
А (О-J-- — В {t)x-\- Н (0 и, |
|
Ж |
|
I |
( 1 . 4 ) |
и = ] G{t — t',t')v{t')dt', |
—оо
о- 7(/) а:.
Впределах данной главы, не оговаривая особо, будем предполагать, что А, В, Н, Т, Gдифференцируемы по своим аргументам любое нужное число раз.
1.1.0 существовании и структуре преобразования к диф ференциальной системе.
Те о р е м а 1.1. Пусть функциональные матрицы А (t),
В(t), Н (О, G (( — /'), Т (/) удовлетворяют условиям существования и единственности реиіения на промежутке
U ■< t •< Т матричного интегро-дифференциального урав
нения
t
А $) ~Щ~ ~ В (t) X Н (t) j G ( t - f,t') T ( t') X ( t’)dt',
X(t0) = En.
Tогда преобразование |
(1.5) |
|
x = K{t)y |
( 1. 6) |
