Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 169

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

2 7 4

Д И Н А М И Ч Е С К И Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И С И С Т Е М

[ГЛ. X

— субматрица матрицы

М1(т, е)

М (т, е) =

\МР(т, е), удовлетворяющей тождественно равенству

К(%, е) М (т, е) = Ет

где К = (/<!-..Кр).

Члены рядов (7.12) и (7.13) в этом случае определяются соотношениями

7 [ о] _ _

у

[ о ] - 1

7 m

_

 

7 [0]

Y \ Л ‘ 37 [ * —Л

 

м™ =

1

а

j

^ c r

---------- xu 1 er

>

 

м 0і

 

 

 

 

 

 

 

 

М\^ =

-

Ма І

д-СОУИГ*-'] = -

V

І

 

 

 

 

1=1

 

 

 

fei

у=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

іфа

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

( 6 = 1 , 2 , 3 , . . .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G0(f, l, *) = X{t, B)X~l (l,B) =

 

 

 

 

 

 

=

^

Ко (t, e) Y a (t, e) ZCT(l, e) M0 (T£, e). (7.14)

 

 

 

<7=1

 

 

 

 

 

 

 

Отделяя в (7.14) коэффициенты при одинаковых степе­

нях е и удерживая первые г ф- 1 членов, имеем

 

 

 

Gp(t,t,B)=

 

i , B kGl0kH t ,t

е).

(7-15)

 

 

 

 

 

/г=0

 

 

 

 

При е =

1

из (7.15) получаем

 

 

 

 

 

 

G(or>{t,l) =

Ѣ

G\>k]

 

 

(7.16)

 

 

 

 

 

 

k=0

 

 

 

Здесь Go'1(t,

£)

представляет

собой

коэффициент

при ek

в правой части соотношения

(7.14) при е = 1. Так,

 

Glo0] (t, Ъ) =

£• К0 (/) Н 01 (/) Z™ (I) /Иа (g)

 

§ Г] П О С Т Р О Е Н И Е И М П У Л Ь С Н О Й П Е Р Е Х О Д Н О Й Ф У Н К Ц И И 275

и

с!>,] (і, ѳ = 2 [ К а (t) no] (0 40] а ) M al] (g) +

<J =1

 

 

+ Ko (t) v^0] (t) 4 ' ] (g) M a (g) + Ko (0 Y p (0 4 0] (5)

(g) +

+ 4 1]w ^

0] (O 4 0] ® м а®

И T. Д.

 

 

Наконец, еще один способ построения

G0, который мож­

но трактовать как промежуточный по сравнению с первыми двумя способами.

3. Примем G0 (t, g, е) в форме

 

 

G0 (t, I, е) =

X (t, е) X~l (g, e) =

 

 

 

 

=

Уі Ko (т, с) Y a {t, e) Yö' (£, e) Ma (ть e).

 

 

 

a=l

 

 

 

Подставляя сюда

вместо

Ко и М асоответствующие раз­

ложения (7.7)

и (7.13) и группируя члены,

содержащие е

в одинаковых

степенях

(без

участия

произведения

Y о (t, е)Уа'

(Ъ е)), получаем

 

 

 

G0 (t, £, е) =

S

S S

eW

(т)

(/, е) У7* (g, е) М[к~п (т ).

 

(J = l f t = 0 / = 0

 

 

s

Ряд (7.17) можно записать так:

(7.17)

 

G0 (*, g, е) = Gor) (*, g, е) +

2

[GfP (/, g, e) -

Gofe_1) (t, g, e)]-

 

 

 

/!=Г+1

 

 

Здесь Go\ рассматриваемая как r-e приближение матрицы

G0, определена

формулой

GP(t, g,e)=

S

І

£

^

1(т)П ', М К < Г 1(£, е) Л # - ,](т6)І

 

 

СТ=1 /г =

0 /= 0

I

(

4 0]=

 

 

 

M Mo),0]=

где Y (o

(t,

 

 

 

 

(7.18)

e),

как

и

выше,— фундаментальная матрица

уравнения

(7.9).

 

 

 

Полагая е =

1, из (7.18) получаем

СГ (*.£)=

£

І

І

^

] (0 П Г)( 0 П ,_ ,( 0 М Й" 1](0.(7.19)

0=1 А = 0 / = 0

276

Д И Н А М И Ч Е С К И Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И С И С Т Е М

[ГЛ X

Итак, для G(or>(/, £) получены три выражения: (7.11), (7.16) и (7.19). Все эти выражения, в принципе, должны быть признаны эквивалентными, поскольку предшествую­ щие им соотношения (7.10), (7.15) и (7.18) определяют такие

значения матрицы Glor) (t, е), которые с точностью до чле­ нов, содержащих гк (к >- г + 1), совпадают друг с другом. Но если говорить об удобстве практического применения приведенных формул, то, по-видимому, предпочтение сле­ дует отдавать формулам (7.11) и (7.19).

П р и м е ч а й и е. При интегрировании по t величины, содержащей степень efc, происходит умножение среднего значения этой величины на t, поэтому результат фактически

будет

содержать

в качестве

множителя

степень

гк~ '.

По этой причине,

если

в выражения

Ка] (т,

е) и М аг)(

(т, е)

входят степени

е°, е1,

...,

ег, то

(1,

е) содержит факти­

чески

только

степени

е°,

в’,

.... ел_1.

Это

обстоятельство

позволяет в целях упрощения отбросить из выражений

матриц /Со' (т, е) и М(а (т,

е),

фигурирующих в формулах

для

Gо\

члены,

содержащие

е'. В этом

случае

вместо

(7.11)

и (7.19) будем

иметь соответственно

 

 

 

 

(t, I) -

Кіг) it) Y {r+11(0 7<'+I)_1 (I)

(I)

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

G{0r) (t, l)

= V- 2

2

K ak]l (t) Ka+I) (0 Y ar+l)

‘ (Ю

(£).

 

 

a=l fe=0 i=0

 

 

 

 

 

7.2.3.

С л у ч а й

п р о с т ы х

с о б с т в е н н ы х

з н а ч е н и й . Если все собственные значения А,х, Х2, ..., Кп матрицы U на рассматриваемом промежутке изменения аргу­ мента остаются простыми, то их можно разделить на п «групп», сохраняя в каждой «группе» по одному собствен­ ному значению. При этом расщепленная система будет со­ стоять из скалярных уравнений:

d y n

~

(а = 1,2, .. . , п),

~^Г

= Ха(х,е)у0

где -

 

 

 

К (т, е) = Ха +

2

 

 

/ь=і

§ 7] П О С Т Р О Е Н И Е И М П У Л Ь С Н О Й П Е Р Е Х О Д Н О Й Ф У Н К Ц И И 277

В силу этого

 

 

 

 

*

~

~

/ ~

е) dt.

с 0 {t, I, е) = 2

/сст (т, е) УИ0 (т~., е) ехр

\ Ка К

ст=1

 

 

t

 

Члены разложений матриц Ко, Ма и скалярных функ­

ций Ка определяются в данном случае формулами

 

И

 

k n . . .

1 I . , г ь _ п

V1

«

nt*- ч

2 J

\s- x a

u°

’

s^cr

 

>* Q2

 

 

 

II

«s,4

у у

Ч -

 

s+a

 

 

- MaD^'\

В соответствии с этим соотношения (7.11), (7.16) и (7.19) принимают вид

 

Gp (t, g) =

п

K (ar) (t) M [a

I

(t) dt,

 

(7.20)

 

2

(g) exp j w

 

 

 

 

a=l

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

л-1

 

 

 

— строка ст матрицы K{r)

, а

 

 

 

 

 

 

 

^ =

Ь«т +

k=\

 

 

 

где

 

OPV, g) =

φχ= 0

 

È

 

 

 

 

 

 

 

 

2

GS4] (<, g),

 

 

 

 

{t, 6)

=

2

 

 

 

( 0

(t)(I)dt,e x p

J

 

 

 

<J=l

 

 

I

 

 

 

öS”(*. 5) = 2’ /(a (0 M

a ©

I

(0 dt + Ko (t)

(g) +

 

(7=1

 

 

Б

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

TCa ^ (t) M-о(£) exp

^

(/) dt

ит. п.

Итретья формула:

Glor) (t, g) = 2 2 2/СУ1(*) м У ' “ 1](g) ехр '1

(/) dt. (7.21!

сг= 1 fc=o t = 0

£

2 7 8

Д И Н А М И Ч Е С К И Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И

СИ СТЕМ

[ГЛ. X

 

7.2.4.

П р и м е р .

О д н о м е р н а я

с и с т е м а

в т о р о г о

п о р я д к а .

Рассмотрим

линейную систему

с одним входом и одним выходом, представленную скаляр­ ным уравнением

-^ г + О і(0 -§ - + Й2 {t)q = u-

Записав это уравнение в векторно-матричной форме, имеем

^ = U ( t ) x + H(t)u,

где

» - ( л

- 0-

 

-

о

- ( ; .

 

Будем предполагать, что на рассматриваемом промежут­

ке изменения аргумента

а\ — 4аг Ф О,

так что

A,j Ф Я,а.

Имея в виду,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

к ? 1= ( * ; ’ ),

 

«

у

=

 

(а =

1,2),

1*20

 

 

 

 

 

 

 

 

находим, используя формулу (7.21),

 

 

 

g\r>iß, ö '

 

= Gf' (f, t) H =

 

 

 

Gw (/, l)

 

 

 

 

 

gir) (t, ö

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2

2

2

 

/e[a] (0

/] (i) exp I ißa iß)dt.

 

 

mos

 

о=10 1

*=o*=0 /=o/=0 '

/e^a] (/)

 

 

 

Отсюда искомая импульсная переходная функция

 

2

г

k

 

 

 

*

 

 

g\r) it, 9=2 22 М

it) т й _<] (Ö exp] ^

(t) dt.

0=1 A=0(=0

 

 

 

 

 

 

Построим gjr) (^, 0

при г = 0,

1,2.

 

 

 

Имеем

 

1

1

 

 

 

 

 

 

К = ( / < Д 2) =

 

 

^[l] _

/Ct-A/f

 

dKj

 

Я,

 

 

~

Я/ — Ä./

dt

ь42]

_

7C(/VIt-

 

dt

 

 

 

 

А/

_ h - h

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы