Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 162

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 2] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ 297

Здесь

W - K F A W - U IW ,

 

 

 

к

 

 

лИА—1]

 

 

 

 

 

№

=

2

Khk~a]A ^ - U K ^ +

 

п

(k=

1

,

2

, ...)-

 

 

а —О

 

 

 

сіт

 

 

№

=

-

А~ХН *f'

GT ~2 п K ^ h j ^ d t '

(г = 0,1,2,

...).

 

 

 

 

 

cc=О

 

 

са — произвольная

 

Используя (2.7) и учитывая, что

матрица, из (2

.8 ) получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 0]^

0] =

О,

 

 

 

 

 

L „l k ]Y W

+ S

L ^

- “ V [aa ] + / і о -1 1 =

0

(/г = 1 , 2 ,

 

. . . ) ,

 

 

 

а=1

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.9)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ $ = _ А -'Н f GT 2 K ^ Y ^ d t ’.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2 . 10)

 

 

 

 

 

J

a=n

 

 

 

 

 

 

Пусть К = {Kx-.-Kp) — нужное число раз дифферен­ цируемая матрица, преобразующая матрицу U к квазидиа­ гональному виду

 

/Л і

 

 

 

 

 

 

 

А =

•

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(см. гл. V).

V о

 

 

л„

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Положим

К[а0] = Ко,

 

 

 

 

 

 

 

 

Л ™ = Л 0.

 

( 2 . 11)

При таком

выборе /<0О] и Ла0 -1

 

 

 

 

 

7 ^ = 0 ,

 

 

 

 

а остальные равенства (2.9) принимают вид

 

 

W Y ™ + 2

Т[а~а]У^а] + 4

 

о~1] =

0

(k =

1 , 2 ,

.. I ).

а=1

 

 

 

 

 

 

(2. 12)

 

 

 

 

 

 

 

Используя принятые выше обозначения, равенства (2.12)

перепишем так:

 

 

 

 

 

 

ѴК[!1] = /(У'^Ао -(- к Л п + № - "

 

[k= 1,2,

. .. ),

(2.13)

298 П Р И Б Л И Ж Е Н Н О Е И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е У Р А В Н Е Н И Й [ГЛ. X I

где

n [fc-l]

_

к— I

 

 

а іА к — I]

 

 

 

V ^[*-a]Al<xl

!

 

,

 

 

 

U(3

—

Аа

Аа

" 1

-г------ (-

 

 

 

 

 

а= 1

 

 

сп

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ Q s і £ - а'у ы

+ /Й " 1]) у7 1.

Мы пришли к соотношениям, из которых, как было по­

казано в § 2 гл. VIII,

можно

определить

/([f1

и Л ^1, если

Da'- 'і

_

известная

матрица.

 

 

 

 

 

Нам известно значение Л„ 0 1

(см. (2.11)). Поэтому можно

определить / [0°»

по

формуле

(2.10). Тогда

D[a0]

будет из­

вестной

величиной,

что позволит определить

Й

1 и Л‘Ч,

используя (2.13).

И

вообще,

если уже найдены

7Д0], Аа0-1,

/а°0 , ..../(о*-11, Ао*_1], то можно определить

 

используя

для этого (2 .6 ) и (2 .1 0), а затем /ДЧ Л^ 1посредством соот­ ветствующего равенства (2.13).

Итак, приведенная расчетная схема позволяет интегри­ рование уравнения (2 . 1 ) свести к интегрированию расщеп­ ленной системы дифференциальных уравнений (2.3), а точ­ нее, к интегрированию уравнений

—^ - = ЛаД 0] (о = 1 , ..........2

р),

ибо, имея матрицы фундаментальных решений этих уравне­

ний ѴДЧ Y\°\ ..., УДЧ можно определить уа (а = 1 , 2 пользуясь формулами (2.6) н (2.7).

§ 3. Приближенное интегрирование уравнений управляемого процесса при малом воздействии регулятора на процесс (случай А)

Для построения приближенного решения системы (1.4) используем систему (1.11), полагая р. = 1. Итак, имеем

Ау

1

А (т) = В (т) X + е/7 (т) и,

u = J G(t — t',x')v{l',x')dt'„ '

(ЗЛ)

—

 

V ~ Т (х) X.

§ 3]

И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е У Р А В Н Е Н И Й

299

 

Формальное решение системы (3.1)

существенно зависит

от

поведения собственных значений

матрицы U — А

]В

на рассматриваемом промежутке 0 < т < L. Мы здесь огра­ ничимся изложением процесса построения формального решения в простейшем случае, когда на [О, L] все собствен­ ные значения матрицы U простые.

3.1. Построение формального решения. Собственные значения квадратной матрицы U порядка п обозначим че­

рез A,lt Х2....... Х,„ а собственный

вектор

этой матрицы, от­

вечающий собственному значению Ха,— через

Ко-

Т е о р е м а

3.1. Если

 

і ф /;

 

(г) — Я/(г) I >

0

(і, / = 1 , 2 ,

. . . , п;

г € [О, L]),

 

 

 

 

 

(3.2)

то формальное решение системы (3.1) на промежутке 0 •< •< X-< L можно представить в виде

где Ко и Я0 — соответственно столбцовая матрица и ска­ лярная функция, имеющие формальные разложения

 

СО

 

 

 

 

Ко И, е) = Ко (т) + 2

£kK ok][

(т),

 

 

 

 

?Та (т, е) = Ха (т) +

со

 

 

 

2

(т). (3.4)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Подставим

(3.3) в систему

уравнений

(3.1). Получим

 

 

 

П

 

 

 

 

 

= 2

И- sH

\ G

V - f ’ т') Т (т')

0 е' • £) УоМ .

Выбор Ко и Х0 ограничим требованием выполнения ра­ венств

+ еЯ ] G{i — i ' , x ' ) T { i ' ) K o ^ ' , E ) y adt' (а = 1 ,2 , . . . , /г).

—со

(3.5)

ЗОО

П Р И Б Л И Ж Е Н Н О Е И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е

У Р А В Н Е Н И Й

[ГЛ

X I

Из (3.5) следуют равенства

 

 

 

 

,

.

dK„(т, е)

~

~

 

 

 

 

 

4 ( т ) | е -----^ -------1- Ко (т, е)К (г, е)

 

 

 

 

 

 

 

 

=

В (т)Ка(т, е ) + е (х)Я

І„

( 3 . 6 )

 

 

 

(ст=

1 , 2

, . . . .

п),

 

 

 

где столбцовая матрица /

0 типа I х

1

имеет вид

 

 

 

/

 

 

 

 

 

 

 

 

/<т=

]

G(/ — 1',х')Т (х')Ка(х', е)ехр[0ст(/',е) — Qa(t, &)]dt',

—оо

аѲ„ - функция, удовлетворяющая соотношению

дѳ_

 

 

 

 

 

~0Г =

(т> б)-

 

 

 

 

После замены переменных t

— f

=

s

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/о =

I G (s, т — es) Т (т — es) Ка (т — es, е) ехр [Ѳа (/ — s, е) —

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— 0 а (/“, е)] e(s.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя разложения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G ( S ,

т -

es) =

G(s, т) -

es -

^

т )

+

- 1

eV

Дт3

____________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т (т —

E S ) — Т (т) — es

 

(Т)

,

1

г2

„ 2

 

Я)

 

Яа (т — es, е) = Ка (т, е) — es

 

(t, в)

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

]

„ _ d2/(a (т, 8)

 

-

ехР

 

(І — S ,

е) — Ѳа ( ( , е)] =

~ 2 “ е s --------------- 5^5-------------------------• • •

 

 

 

 

 

 

~

 

 

I

 

ДА._ (т, е)

 

 

 

 

ехр

— sXa(т, е) -J—

 

ES~ ■

 

dr

 

 

 

1

e2s3

d 2 X g (

Т , 6 )

 

 

 

 

 

 

1

,

d X a (т, е)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

Дт3

 

 

=

' .

1 +

 

2

ËS

Дт

 

-- '

„2„3

d2 M

T. e)

 

+ 4

1

 

,

<^а (т- е)

 

 

 

 

dt*

+

 

T

es-

dt

 

Смотрите также файлы