Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

Скачать файл (16,48Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 156

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

$ 3)				ИНТЕГРИРОВАНИЕ				УРАВНЕНИЙ			301
		2с8 d2K (т , в)							exp [— s%a(T, e)] =
----- рг- E S'				dz2		+	+
	О			dz2		+	+
	-	1+1	>		^	L	+	e-	dXa (T, e) ^
	-	1+1	>		^	L	+	e-		di
										di
						S3	d3X0 (г, e)		+ •••	exp[— sa,0	(T,s)],
					Т Г		dT2		+ •••	exp[— sa,0	(T,s)],
					Т Г		dT2
интеграл Ia можно представить в виде
/о =	£оо(Я0>		т) Т (т) Яа (т, е) +
	I R10 (ka, т)			d	[ Т (т) К а		(т, е)]
-)- Е	I R10 (ka, т)					dT	+ Ru (^о,			T (т) /Со (^І в) -j-
где	+ 4	~	^	а>	т) т ( х		) ^т’ е)		dl°dT1 8'	i + е2 •••>	(3-7)
где								со
								со
			/ ? 0	0(^. /) =		/? (К, () =		j	G(.S, 0 e -Xsds

— матрица передаточных функций регулятора (с размера ми / X т) с параметрами, замороженными в момент време ни і,

Ru {К t) =	* +,* b < L в ( - і ) ' Г — і^-0- s ^ d s
'	<jjiw	v	'	J	dt>
	( / , / = 0 , 1 , 2 , .			о
	( / , / = 0 , 1 , 2 , .
Функциональные матрицы				(Ä.0,	т) в силу второго

соотношения (3.4) в свою очередь допускают следующие

разложения	по степеням	е:
Ri 't (^о> Т-) =	R{j (^a, "О"Ь В^сг ^ (т) /?(+] /		т) -j-
2 /-O ^Ri+	1 / (^o. T>) -f-	^ (T)	2 / (Ха, т) -f- 8 3	(3.8)
+ e

Учитывая (3.4), (3.7) и (3.8), приравняем в (3.6) коэф фициенты при одинаковых степенях е:

иКо = КоК,		(3.9)
UKlok] = КІк]Іо +	к Л к] +	(3.9)
Ф = 1 , 2	, . .. ).

3 0 2 п р и б л и ж е н н о е И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е У Р А В Н Е Н И Й [ГЛ. XI

Здесь DÖa’ ~ 11— столбцовая матрица, которая полностью определяется величинами, фигурирующими в равенствах (3.9) с номерами 1 , 2, ..., k — 1. Так, например,

			= S T	-	ßo, T) TKa,
D L1] =	< 1]	+	-	A~]H jfloo ß a, T) TK[']+
	dx
		+	Rio ßo, T)	W T KO +	d ( T K a )	+
		+	Rio ßo, T)	W T KO +	dx	+

H“ Rn ßa, T) TKo H---R2 0 ßa, T) TKo

Поскольку Ko — собственный вектор матрицы U, от вечающий собственному значению А,0, то первое равенство (3.9) выполняется тождественно. Остальные равенства (3.9) также выполняются тождественно, если принять (см. гл. VIII, § 6 )

=	п	(3.10)
L*] _
	D ^ + K o Q [ohl	(3.11)
Ка —

s*o

Рекуррентные соотношения (3.10), (3.11) позволяют последовательно построить члены рядов (3.4), посредством которых представляется решение (3.3) системы (3.1), что и доказывает теорему.

Эта теорема остается справедливой и в случае любого целого положительного ц, только при этом несколько

иными будут' выражения столбцовых матриц D a- 1 1 (k =

=1, 2, ...).

3.2.Приближенное решение системы. Приближенное ре

шение системы (3.1) можно получить на основе приведен ного выше формального решения путем удерживания в формальных рядах (3.4) некоторого конечного числа первых членов При этом решение системы (3.1) т-го приближения будет представлено соотношениями

хт {(, е) = 2 К{ат) (т, б) у{оП),

dyT	= l [om)ß ,e )y T \
di

* 4]	И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е У Р А В Н Е Н И Я ( С Л У Ч А Я Б)								3 0 3
где
	КТ = К0+ У і tkK\k\					IT =	+	2 W	1.
			ft=i				fc=i
	Полагая	в =	1,	получим	приближенные			решения	для
исходной системы (1.4). Так, например,
	* 1	( Т е) —	S	\ К а ( \ 4 " Qad) 4 "			Р оD O	У а \
			0 = I
			*!°L = ß a - M			aDW)ylJ\
				Р о = У	кж
				--	К	Я-
				S = 1	5	СТ
				*+0

§ 4. Приближенное интегрирование уравнений управляемого процесса (случай Б)

Для построения приближенного решения системы (1.4) здесь мы используем систему (1.11) при р = 0. Имеем

А (т)- ^ г = ß (X) X + Н (т) и,

(4.1)

и = J G(t — t',x')vit\x')dt\

V= Т ( х ) х .

4.1.Построение формального решения. Введем в рассмот рение матрицу

U (К, т) == Л- 1 (т) В (т) -f А~'Н (т) Roo (Я, т) Т (т)
и определяющее уравнение
IU ()., т) — ХЕпI = 0	(4.2)

(Еп — единичная матрица порядка /?).

Каждый корень Яа (т) уравнения (4.2) является в то же время собственным значением матрицы ІІ{а) (т) == 1) (Яст, т), так что если р;а) (т) (j = 1 , 2 , ..., п) — собственные значе ния матрицы и (°\ то по крайней мере одна из этих скаляр

3 0 4 П Р И Б Л И Ж Е Н Н О Е И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е У Р А В Н Е Н И Й [ГЛ. ХГ

ных функций совпадает с А0 (т). Мы ограничимся рассмот рением простейшего случая, когда с функцией А0 (т) при любом т £ [0 , L ] совпадает одно и то же изолированное

собственное значение матрицы U{a) (т), например |х)ст>(т). Через Ко и М0 обозначим соответственно столбцовую и

строчную матрицы, определенные равенствами

и {а} (т) /Са (Т) =	/Со (Т) РІ° (т),	(4.3)
А40 (т) і/(а1 (т)=Л4а(т)р(,0) (т),		(4.3)
Ма(т) Кп(т) =	1 .

Будем считать, что в качестве Ко и Л40 приняты те ре шения уравнений (4.3), которые дифференцируемы столь

ко же раз, сколько раз дифференцируема матрица Uw . Обозначим

5 (Я,/) = A~'(t) HRl0(X, t) Т (t).

Т е о р е м а	4.1.	Пусть	А0 — корень		определяющего
уравнения (4.2) и при всех т £ [0, L]
1) р Г ( г ) = Аа (т ),		г іа) (т )	ф pSa) (т)	(/	= 2 , 3 ............ п );
2 ) MaSaKa Ф 1		(Sa = S(Xa,t)).
Тогда соответствующее этому корню формальное решение
системы (4.1) можно представить в виде
Ха (/, е) =	Ко (Ч е) уа,		~^L = Xa(x,г)уа,			(4.4)
где Ко и Ха — соответственно столбцовая матрица и						ска
лярная функция, имеющие формальные разложения
Ко (т, е) = Ка (т) +	2	^Как] (т),
	/te1	_		оо
		Аа (Ч е) = Ха (г) +		2	ЕкХ ^ (т).	(4.5)
				fe=i
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Подставим	в уравнения		(4.1)

значение вектора х, определенное равенствами (4.4). Полу чим

dK„ (т, в)

Л ( т ) е ----- ^ -------1- Ко (Ч е) Ао (X, е) = В (т)/<0 (т,е) + НІа,

(4.6)

S 4]	И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е У Р А В Н Е Н И Я (С Л У Ч А Й Б)			3 0 5
где	по-прежнему
	I
ІО =	j G(t —	т') Т(т') 7(а (т', е) exp [Ѳа(<!', g) — Ѳо^, e)]dt' ,
a Ѳст — функция,		удовлетворяющая	соотношению	■ 0 =•■
= К (т, е)-			(3.7) и (3.8), приравня
Имея в виду соотношения (4.5),			(3.7) и (3.8), приравня

ем в равенстве (4.6) коэффициенты при одинаковых степе

нях	е. Получим			Uw Ko =
				Uw Ko =		К а К ,			(4.7)
	U(0)Klok] =		Ф	к + (Ка -			SaKo) 4 *	3+ D[k- 1]
				( Ä = l , 2 ,		...).			(4.8)
Здесь D^a~		13 — столбцовая			матрица, известная				приизвест
ных	Ко, К .......Kla~l\			A.ff—‘-1.	Так,		например,
	= dK°	■A	lH R 10(Xa, т)			d(TKa)
	= dK°	■A	lH R 10(Xa, т)				dx
	dx						dx
			+	^			1 dkn		’s
			+	7?n (A-cj,T) -f				R z o i ^ a ,	T ) T K a j ■

В силу (4.3) и условия 1) теоремы равенство (4.7) выпол няется тождественно. Покажем, что при соответствующем

выборе К1а] и X,„AJ равенства (4.8) также обращаются в тождества.

Предварительно проведем некоторые дополнительные построения.

Квадратная матрица Р а = КоМа является проекцион

ной, соответствующей	собственному значению piö) = Я0
матрицы U(a). В силу	условия 1) теоремы проекционная

матрица, соответствующая всем остальным собственным зна

чениям матрицы	и {а), равна	Р _ а = Еп — Р а■ Ранг квад
ратной матрицы	равен п — 1 , и потому она может быть
разложена на множители К-о		и А4_а (Р -а = К-a М_а) —
матрицы типа соответственно п X п — I и п — 1 х п, как

и матрица Р—а, дифференцируемые по т столько же раз. сколько раз дифференцируема U(a\

Смотрите также файлы

Занятие 1 Технологии в составе беспилотного транспортного средства.docx

Дипломной работы выступают анализ общественных отношений в сфере защиты прав граждан в области социального обеспечения.doc

Grow. Опишите этапы и соответствующие вопросы, которые применяются в коучинге. Пример заполнения таблицы смотрите ниже.docx

Зюзя Евгения Викторовна Практическое занятие.doc

.docx

Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно