Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 157
Скачиваний: 0
3 0 6 П Р И Б Л И Ж Е Н Н О Е |
И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е |
У Р А В Н Е Н И Й [ГЛ. |
XI |
Матрицы К —а и Л1_ |
0 друг с другом |
и с матрицами |
Ко, |
Ма связаны соотношениями
М- аК -о = Е п_ 1, М__оКа = М оК-о = 0.
Далее, |
если К (а) ^ (КоК-о), /И№ = |
( |
), а |
Л(а) = |
|
" ( 0° Л_ |
) ’ Где Л_а ^ |
M-°U{a)K-o, |
то |
|
|
Д(а) = /С(а)А(а)УИ(а), |
Л4(а К{а) = |
/С<а)М(а) == £„ |
(4.9) |
||
(см. гл. V). Заметим еще, что собственными значениями мат
рицы Л _а служат собственные значения ц/0) (/ = |
2, 3, ..., п) |
|||||||||||
матрицы и іа). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Умножим теперь Іг-е равенство (4.8) |
слева на М (а), за |
|||||||||||
менив в нем U(0) выражением (4.9). Получим |
|
|
|
|||||||||
A{a)Qok] = Qlok]Xo + |
Л4(0) (Ko-SoKo) |
+ |
M[a)Dlo ~ '\ (4.10) |
|||||||||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
лін |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f М о К [ок] |
|
|
|
|
||
|
|
Q[k] |
Л4іа)К ок][ |
|
Vao |
|
|
|
||||
|
|
= |
|
|
o [ft] |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
,M _0Klok] |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Ч—ас |
|
|
|
||
Так |
как Л(<7) — квазидиагональная |
матрица, |
равенство |
|||||||||
(4.10) |
распадается на следующие два: |
|
|
|
|
|
||||||
М о (Ко - |
SoK o ) 4 * ] + |
M 0D lok- ' ] = 0 , |
|
|
|
|
I |
|||||
A_0Q1*I„ = QL^ |
+ м_а (Ко - |
SoKo) № + м_ао[а"-1]. |
) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.11) |
|
В силу условия 2) теоремы первое равенство (4.11) раз |
||||||||||||
решимо относительно A/а] и для любого с[ко получаем |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
W |
= |
- |
|
|
|
|
(4.12) |
|
|
|
|
|
|
|
і - Ч А Л т |
|
|
|
|
|
|
Матрица Л_а не имеет собственных значений, равных Хст. |
||||||||||||
Значит, |
Л_ 0 — \оЕп—\ — невырожденная |
матрица и |
из |
|||||||||
второго |
равенства |
(4.11) |
можно |
определить Q ^ a: |
|
|
||||||
|
Q-aa = |
(КЕп_ |
|
•Л.. |
M_o^o^o^oDlo~ n |
(4.13) |
||||||
|
|
1~ |
MaSaKa |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Последняя формула представляет субматрицу |
|
мат |
||||||||||
рицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
С*1 |
|
|
|
Qo*1- В качестве другой субматрицы QLoo этой матрицы |
||||||||||||
§ 4] |
И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е У Р А В Н Е Н И Й (СЛУЧАЙ Б) |
3 0 7 |
может быть принята произвольная, нужное число раз диф ференцируемая скалярная функция.
Зная фаЧ легко определить и искомую столбцовую мат рицу /Со]:
к т = K mQm = KaQw + |
(4 .1 4) |
Рекуррентные соотношения (4.12) — (4.14) позволяют по следовательно определить члены рядов (4.5), посредством которых представляется частное решение (4.4) системы (4.1). Теорема доказана.
Эта теорема, так же как и теорема 3.1, легко обобщается на случай, когда матрицы А и В — функции от т и е, до пускающие на [0 , L ] разложения (сходящиеся или по край ней мере асимптотические) по степеням е.
4.2. Приближенное решение системы. Используя постро енные формальные решения, решение системы (4.1) т-ѵо приближения можно представить соотношениями
х(ат)(t, е) = |
Кат) (т, е) уТ \ |
|
|
- ^ - = |
С ) (т,е)і/Г , |
где |
|
|
т |
|
т |
к (пт) = Ко + 2 |
ekK[k), |
?4т) = К + 2 |
k=\ |
|
fc=l |
которые при е = |
1 служат приближенным решением и для |
|
исходной системы (1.4).
Для примера приведем простейшие приближенные ре шения системы (1.4).
При т = 0 |
|
|
|
|
*?' = |
|
= K f i . |
|
|
При т = 1 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= { * а (1 + Q & ) + К —а ( № - і - А - с Г ’ |
^ |
^ |
||
О) |
|
М°°Ь0] |
b l ) |
|
dyа |
К — |
|
||
dt |
\ -M as aKn |
rjQ ■ |
|
|
Глава XII
НЕКОТОРЫЕ КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Математическая модель многих процессов, происходя щих в реальной действительности, представляется дифферен циальной системой, которая в векторно-матричной записи имеет вид
|
|
М 0 |
- ^ |
+ М 0 - щ- + |
М*)<7 = ф. |
(0 -1 ) |
где |
<7 — столбцовая матрица параметров процесса glt |
q2, ... |
||||
..., |
qn (например, |
обобщенных координат механической |
||||
системы); |
L0, |
La, |
L2 — некоторые |
квадратные матрицы |
||
порядка п |
(матрицы динамических |
коэффициентов |
систе |
|||
мы); ер — столбцовая матрица, элементы которой являются, вообще говоря, функциями от t и, быть может, управляю щих функций, которые в свою очередь определяются зна чениями <7 j, q2, ..., qn. Уравнениями такого типа описывают ся, в частности, малые колебания механических систем, поведение линейных объектов управления в системах авто матического управления и т. п.
Анализ и синтез процессов, описываемых системой диф ференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами, особенно если дифференциальная систе ма имеет высокий порядок, связаны с преодолением немалых трудностей. Эти затруднения в значительной мере могут быть сняты, если предварительно произвести «диагонализацию» исходной системы, т. е. соответствующей заменой пе ременных преобразовать эту систему к системе, матрицы коэффициентов которой имеют диагональную или по край ней мере квазидиагональную форму. Настоящая глава по священа изложению некоторых алгоритмов таких канони ческих преобразований.