Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 152

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

310 К А Н О Н И Ч Е С К И Е Ф ОРМ Ы У Р А В Н Е Н И Й [ГЛ. X I I

с субматрицами ха, сса, р0

типа соответственно

п х ко,

ко X ка, кс X it такие, что

 

 

 

 

и =

XCtp =

2 «оССаМ-о

 

(1.4)

 

 

0=1

 

s = а,

 

хр = рх =

Еп,

МаХ5

 

(1.5)

о

s =£ а.

 

 

 

 

Предполагая, что собственные значения матрицы и раз­ биты на р групп при условии (1.3), произведем замену пе­ ременных

 

(

 

 

q = xz,

г =

 

(1.6)

 

V

 

 

Тогда однородная система

 

 

L0^

+ L « = 0

 

(1.7)

преобразуется в расщепленную систему

 

 

d-zn

 

 

( 1.8)

dt- 4 - ctoZo = 0

(а = 1 , 2 , . . . ,

р).

Здесь а0 и za — матрицы

соответственно

типа

ka X k0

иАа X 1.

Всамом деле, подставим (1.6) в (1.7), предварительно

умножив обе части этого равенства слева на

Получим

dh

uxz — 0 .

(1.9)

X dt2

Но, как это следует из (1.4) и (1.5),

 

их = ха.

 

Поэтому, умножив (1.9) слева на р, будем иметь

d2z

п

 

ж + аг = 0.

 

В силу квазидиагональной структуры матрицы а последнее равенство распадается на р не связанных друг с другом со­ отношений (1 .8 ).

Если матрица и имеет простую структуру, то указанным путем можно реализовать полное расщепление системы,

§ и

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ У Р А В Н Е Н И И

311

разбивая

собственные значения матрицы и на п групп (по

одному собственному значению в каждой группе). При

этом

расщепленная система (1 .8

) имеет вид

 

 

d?“2

(a = 1 , 2 , . . . , n).

(1 .1 0)

 

~t~ vazo — 0

В частности, и имеет простую структуру, если L0 и L2 — симметрические матрицы. В этом случае, можно показать *),

собственные значения ѵа (а —

1 , 2 ,

...,

п) — вещественные

числа. В соответствии с этим, если

ѵа >• 0,

то координата

z0 совершает гармонические

колебания

с

частотой V ѵст;

при ѵ0 = 0 координата za изменяется по линейному зако­ ну. Наконец, при ѵа < 0 za представляется в виде линей­

ной комбинации функций ехр (і7 ѵ0/) и ехр (— (/ѵ„/). Уравнением вида (1.7) описываются и малые собствен­

ные колебания механической системы без трения. При этом L0 и L2 — симметрические матрицы, а все собственные зна­

чения л>0 матрицы L(r'L2 — положительные числа (см., на­ пример, [47]). Элементами матрицы q служат некоторые об­ общенные координаты системы qv q2, ..., qn. Согласно (1.6) каждая из обобщенных координат qa есть линейная комби­ нация координат z0 (a = 1 , .......2 /г), именуемых в механике

нормальными координатами механической системы. В отли­ чие от других обобщенных координат, каждая из нормаль­ ных координат удовлетворяет отдельному уравнению вто­

рого порядка

fczn

---Н VCJZO — 0 .

Как отмечалось выше, при ѵ„ > 0 координата za совер­

шает гармонические колебания с частотой V ѵа. Эта часто­ та колебания нормальной координаты называется нормаль­ ной или собственной частотой. В связи с этим операцию приведения уравнения (1.7) к виду (1.10) называют преобра­ зованием системы к нормальным координатам.

1.2.

Неоднородная

система. Замена переменных (1.6)

в предположении, что собственные значения матрицы и

разбиты на р групп при условии (1.3), приводит неоднород­

ную систему

 

 

 

Lo

-Ь І-гЯ = Ф W

*) См. гл . X III .

312 К А Н О Н И Ч Е С К И Е Ф ОРМ Ы У Р А В Н Е Н И Й [ГЛ. X II

к расщепленному виду:

_1

 

d?zö

 

- f i r - + a ° z° = М

* ф (ст =

1, 2, . .. , р ) .

Если все собственные значения матрицы и просты, то,

разбивая

их на п групп (по одному собственному значению

в каждой

группе), будем

иметь а

в форме диагональной

матрицы, по диагонали которой расположены собственные

значения ѵх,

ѵ„. В соответствии

с этим расщепленная

система примет вид

 

 

d'-za

_ |

(а =

1 , 2 , . . . , п).

- ^ Г +

VaZo = Цаіо ф

§ 2. Формальные преобразования нестационарной системы

Взамен системы (0.1) рассмотрим систему более общего вида:

Lo(т>е) "тр" + eLi (т>е) ^ “ + L 2К

е) q = Ф

(т = si).

 

 

(2 . 1)

Поскольку система (2.1) при е =

1 совпадает с системой

(0 .1 ), то всякие формальные преобразования системы (2 .1 ), тождественные по е, можно немедленно перенести на систе­ му (0.1), придав параметру е значение 1. Присутствие мно­

жителя е при слагаемом L

X(T ,

е)

в левой части системы

(2 .1 )

не мешает построению этим

путем формального реше­

ния

системы (0 .1 ), какова

бы

ни

была матрица Lx (т, е).

Иное дело, если речь идет о приближенном решении системы,

построенном по формальному решению. В этом случае

при­

ближенное решение

будет представлять

точное с погреш­

ностью тем меньшей,

чем «меньше» матрица Lx (т,

е)

(т. е.

чем меньше по модулю элементы матрицы

Lx (т,

е)).

Если

Lx (т, е) нельзя рассматривать как «малую матрицу, то для построения соответствующего приближенного решения сле­ довало бы использовать формальное решение системы

Lo (т, е) + Lx(т, е) + U (т, е) q = ф. (2 .2 )

Построение формального решения системы (2.2), как и ее преобразование к расщепленному виду,— задача более сложная, чем для системы (2.1). Мы здесь ограничимся

§ 2] Ф О Р М А Л Ь Н Ы Е П Р Е О Б Р А З О В А Н И Я 3 1 3

указанием лишь путей расщепления уравнения (2 .2 ), не вда­ ваясь в детали.

Прежде всего, подобно системе с постоянными коэффи­ циентами, здесь тоже можно исключить слагаете, содер­ жащее dq/dt. Так, замена переменных

q = Vz,

где квадратная матрица V — невырожденное

решение

матричного уравнения

 

 

 

-4P

= - 4 - L 0- V .

 

(2.3)

преобразует систему (2 .2 ) к виду

 

 

dH

-j-w z= V 'Lо‘cp,

 

(2.4)

dd

 

где

 

diLö'LJ

 

w = V— 1 L ^ L . - ^ i L ö 'L , ) 2

V.

dt

К системе (2.4) применим тот алгоритм, который будет изложен ниже. Правда, переход к этой системе можно осу­

ществить только после построения

матрицы

w, которая

в свою очередь определяется через

матрицу

V — фунда­

ментальную матрицу системы (2.3).

 

 

Системы типа (2.3) были рассмотрены в гл. VIII. В слу­

чае, когда все собственные значения матрицы простые, материалы гл. VIII позволяют легко построить фундамен­ тальную матрицу V этой системы.

Расщепление уравнения (2.2) можно осуществить и ме­ тодом гл. IX, предварительно заменив это уравнение экви­ валентным векторно-матричным уравнением

dx

 

 

(2.5)

S T

= и

(т, е) *>

 

где

— Lö'Li - L ö-'L1 )

U =

Вернемся к системе (2.1). Мы будем далее считать, что матрицы Lü (т, е) и L2 (т, е) представлены в виде

L0 (т, е) = тп(т) + emx (т),

L2 (x,e) = /0 (т) + е/х (т).

314

К А Н О Н И Ч Е С К И Е Ф ОРМ Ы

У Р А В Н Е Н И И

[ Г Л . X I I

Такое

представление матриц

L0 и / _ 2 в некоторых слу­

чаях может значительно упростить реализацию предла­ гаемой расчетной схемы, например, если эти матрицы близ­ ки к симметрическим.

В целях общности и правую часть уравнения (2.1) при­ мем в виде

Ф — Ф о + е Фі-

Отметим еще, что алгоритм, который приводится ниже, без труда может быть распространен и на более общий слу­ чай, когда матрицы L0 (т, е), La (т, е) и ср представлены в виде рядов (конечных или бесконечных) по степеням пара­ метра е.

2.1. Однородная система. Расщепление однородной си­

стемы

 

 

К (т) + Е' » 1 (т)]

+ ЕГ (т)

+ [ / 0(т) + e/j (т)] q = 0*)

 

 

(2.6)

и условия, при которых это возможно, определяются сле­ дующей теоремой.

Т е о р е м а 2.1. Если на сегменте 0 •< т <; L матрицы т0, т 1, г, /0, /j имеют производные по т всех порядков, а т0, кроме того, является невырожденной матрицей, то,

предполагая,

что собственные

значения матрицы и (т) =

=

m öl (т) /„ (т)

разбиты на р групп ѵ\а), ...,

(ст = 1 ,...

 

р

 

 

 

 

...,

р;

=

п) при условии,

что

 

I ѵ*а> (т)

v/s) (т) I > 0

(2.7)

(а, s = 1 , . . . , р; вфо; і =

1 ..........

ka\

j = l , . . . , k s\

т е [о, ц ),

систему (2 .6 ) посредством подстановки

рdz

 

 

С7=1

Ию (Т, е)

dt

Я.2С (Т, б)Za

(2 .8)

мооісно привести к виду

 

 

 

 

 

dp + « 1

0

(т, е) -jj- -f а 2ст (Т, е) 2 о =

о

(0 = 1 , .. .,

р).

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.9)

*) Для

удобства записи

вместо

/^(т)

будем

пользоваться

также

обозначением

г(х), считая,

что

LJ(T) ее г (т ) .

 

 

 

Смотрите также файлы