Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 144
Скачиваний: 0
$ 3] Л И Н Е Й Н Ы Е О П Е Р А Т О Р Ы В У Н И Т А Р Н О М П Р О С Т Р А Н С Т В Е 3 3 3
Так как Н* = Н, то |
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
(Нх, X) = (х, Н*х) = |
(л:, Нх). |
|
|||
%(х, х) = |
%{X, X), |
|
||||
|
|
|||||
и, поскольку (х, х) ф О, К = |
X, что и требовалось доказать. |
|||||
Л е м м а |
3.3. Пусть Н — эрмитов оператор в п-мер- |
|||||
ном унитарном пространстве |
R, |
а е — его собственный |
||||
вектор. Тогда совокупность R 1 |
векторов х, |
ортогональных |
||||
к е, есть (п — \)-мерное |
подпространство, |
инвариантное |
||||
относительно |
оператора |
Н. |
|
|
проверить, что R 1есть |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Легко |
||||||
подпространство пространства |
R. |
|
|
|||
Пусть X — произвольный вектор из R. Представим его |
||||||
в виде |
X = X! 4− |
(X — |
Xj), |
|
||
где |
|
|||||
Вектор X} принадлежит одномерному подпространству /, порожденному вектором е. Вектор же х —х х принадлежит подпространству R lt так как
(X — х ѵ е) = {X, е) — (хѵ е) = (х, е) — (х, е) = 0.
Таким образом, произвольный вектор х |
из R представ |
|||
ляется в виде суммы двух векторов: х х £ / |
и х |
— Xj £ R v |
||
Значит, R есть прямая сумма подпространств I |
и R v По |
|||
скольку R |
я-мерно, / одномерно, |
то, значит, размерность |
||
R x равна |
п — 1. |
|
|
|
Покажем, что R ±инвариантно относительно Н. |
||||
Пусть X £ R lt так что (х, е) = |
0. Тогда |
|
|
|
(Нх, е) = (х, Н*е) = (х, Не) = |
(х,Хе) = X (х, е) = 0. |
|||
Это значит, что Н х £ R v т. е. оператор Н переводит век торы из R r в векторы того же подпространства R v что до казывает инвариантность подпространства R 1 относитель но эрмитова оператора Н.
Т е о р е м а 3.1. В п-мерном унитарном пространстве R существует п попарно ортогональных собственных векто ров эрмитова оператора Н. Соответствующие им собствен ные значения вещественны.
334 |
К В А Д Р А Т И Ч Н Ы Е |
И Э Р М И Т О В Ы Ф ОРМ Ы |
[ГЛ. X III |
|
|||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
По лемме 3.1 в R существует |
|
хотя бы один собственный вектор ех оператора Н. Совокуп ность векторов из R, ортогональных вектору еѵ согласно лемме 3.3 образует (п — 1)-мерное подпространство R v инвариантное Н. В этом подпространстве оператор Н имеет хотя бы один собственный вектор е2. Далее, совокупность векторов из R lt ортогональных е2, образует (п — 2)-мерное инвариантное подпространство R z, в котором оператор Н имеет по крайней мере один собственный вектор е3, и т. д. Следуя этим путем, мы получим искомую систему п попарно ортогональных собственных векторов е1г е2....... еп. Соглас но лемме 3.2 соответствующие собственные значения вещест
венны. Теорема |
доказана. |
|
|
|
|
ва |
Ортогональную систему собственных векторов эрмито |
||||
оператора Н |
примем |
в |
качестве базиса в R: g = |
||
= |
(ßi, е2...еп). В данном случае |
|
|||
|
Н ес= |
( і— 1,2, |
. . . , п), |
||
или (в компактной записи) |
|
|
|
||
|
|
//g = |
gA, |
(3.8 |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
Л = diag (X.J, Я2, . . . , |
Х„). |
||
Соотношение (3.8) свидетельствует о том, что в выбран ном базисе матрица эрмитова оператора Н имеет диагональ ную структуру, причем диагональные элементы матрицы вещественны.
Допустим теперь, что матрица некоторого оператора Н в ортогональном базисе имеет вид
где "к-, — вещественные числа. Матрица |
этого оператора не |
||
изменится, |
если предположить, что |
векторы базиса |
еъ |
ег....... еп |
пронормированы. Матрица |
сопряженного |
опе |
ратора Н* в ортонормированном базисе получается из матрицы оператора Н транспонированием и заменою каж дого элемента комплексно сопряженным. Проделав это, убеждаемся, что Л = Л*, т. е. операторам Н и Н *
§ 3] Л И Н Е Й Н Ы Е |
О П Е Р А Т О Р Ы В У Н И Т А Р Н О М П Р О С Т Р А Н С Т В Е |
335 |
|
отвечает |
одна |
и та же матрица. Значит, Н = Н*. Таким |
|
образом, |
имеет место |
|
|
Т е о р е м а |
3.2. Для того чтобы оператор Н е унитар |
||
ном пространстве R был эрмитовым, необходимо и доста |
|||
точно, чтобы в R существовал ортогональный базис, в |
ко |
||
тором матрица оператора диагональна и вещественна.
Наконец, отметим еще одно свойство собственных векто ров эрмитова оператора: собственные векторы эрмитова оператора, отвечающие различным собственным значениям, взаимно ортогональны. В самом деле, пусть
Тогда |
Н е1 = Х1е, |
Не2 = Х2е2 |
(к1ф Х2). |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(Н |
в2)= |
{ві, |
|
(&1*Н в2)~ |
^ 2 (^1> ß2)* |
||
Отсюда, так как (Нег, е2) = |
(е1г Не2), то |
|
|||||
|
|
(^і — Ю (ßv е2) = |
О, |
|
|||
и, значит, |
(еѵ е2) = 0. |
|
|
|
|
|
|
3.3. |
Унитарный оператор. Линейный оператор U называ |
||||||
ется унитарным, если |
|
|
|
|
|
||
|
|
U U* = |
U* U = Е |
|
|
||
(Е — единичный оператор). |
унитарного |
пространства R. |
|||||
Пусть |
х и у |
— векторы |
|||||
Тогда |
( U x , Uy) = |
(X, U *U y) = |
(л г,з і). |
||||
|
|||||||
Значит, унитарный оператор сохраняет скалярное про |
|||||||
изведение |
векторов. |
|
|
|
|
|
|
И обратно, оператор, сохраняющий скалярное произве |
|||||||
дение векторов, унитарен. В самом деле, пусть для любых |
|||||||
векторов X и у |
(Ux, Uy) = |
(*,}>). |
|
||||
Тогда |
|
|
|||||
|
(U*Ux,y) = |
(Ex, у), |
|
||||
|
|
|
|||||
и, следовательно,
((U*U— E )x ,y ) = 0.
Но это равенство выполняется для любых х и у только тог да, когда U*U = Е, т. е. когда U унитарен.
При X = у имеем
(Ux, Ux) = (х, х).
336 |
К В А Д Р А Т И Ч Н Ы Е И Э Р М И Т О В Ы ФОРМЫ |
ІГЛ. X II I |
Значит, унитарный оператор сохраняет длину векторов. Выберем в R ортонормированный базис g = (eh e2... e„), и пусть U — матрица унитарного оператора U в этом ба
зисе. Тогда
t/'g = W - |
(3.9) |
Сопряженному оператору U* соответствует в ортонормированном базисе сопряженная матрица ІІ*\
U*g = g<7*. |
(3.10) |
В силу унитарности U |
|
{ /* ig = t/t/*g = |
g£, |
где E — единичная матрица. С другой стороны, принимая во внимание (3.9) и (3.10), имеем
и и *g = |
и%и* = |
%ии*, |
|
и*и% = |
и*%и = |
g и*и. |
|
Следовательно, |
|
|
|
UU* = U*U = E. |
(3.11) |
||
Матрица U, обладающая свойством (3.11), называется унитарной матрицей. Таким образом, унитарному опера тору в ортонормированном базисе отвечает унитарная мат рица.
Пусть U — унитарный оператор в R, а g = (ег, е2...е„) — ортонормированный базис в R. Оператор U переводит си стему векторов ех, е2, ..., еп в новую систему g lt g 2.......g n, так что если & = (g1 g 2 ... g„), то
# = g£/. |
(3.12) |
Принимая во внимание (3.9), из (3.12) находим |
|
= £/*gxg£/. |
(3.13) |
В силу ортонормированности базиса g g xg = |
Е. Учиты |
вая также и соотношение U*U = Е, получаем |
|
= Е. |
|
Значит, |
унитарный оператор переводит ортонормирован- |
|
пый базис |
снова в ортонормированный базис. Из (3.13) |
|
видно, что справедливо и обратное утверждение: |
оператор, |
|
переводящий ортонормированный базис g (gxg = |
Е) в орто |
|
нормированный базис $ ( $ х$ = Е), унитарен: U*U = Е.
§ 3] |
Л И НЕЙНЫ Е ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ |
3 3 7 |
|
Итак, для того чтобы оператор |
U был унитарным, |
необ |
|
ходимо |
и достаточно, чтобы он |
переводил какой-нибудь |
|
ортонормированный базис в ортонормированный базис. Так как матрица унитарного оператора в ортонормиро-
ванном базисе является унитарной, а переход от ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису совершается унитарным преобразованием, то матрица пе рехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису является унитарной.
З а м е ч а н и е . Пусть g и $ — заданные ортонорми рованные базисы. Тогда матрица перехода от базиса g к базису $ в соответствии с равенством
& = &
определяется |
формулой |
|
|
|
|
|
f ( g v ß i ) • • • |
( g n , e i ) \ |
|
|
U |
= g x# = ....................................... |
(3.14) |
|
|
|
W o e„) ... |
(gn, en)J |
|
3.4. |
Преобразование эрмитовой матрицы |
к диагональ |
||
ному виду |
с |
помощью унитарной |
матрицы. |
Рассмотрим |
эрмитову матрицу Н порядка п. Будем рассматривать Н как матрицу эрмитова оператора Н в ортонормированном ба
зисе $ |
= (g1 g 2 ■.. g n) «-мерного унитарного пространства |
/?, так |
что |
|
(3.15) |
В пространстве R существует ортонормированный базис g = (ег, е2...еп), в котором матрица оператора Н диагональна и вещественна (см. п.3.2). Обозначим эту матрицу через Л. Тогда
Н g = gA. |
(3.16) |
Далее, существует унитарная матрица U, которая пре образует ортонормированный базис gß ортонормированный базис $■:
$ = W - |
(3.17) |
Подставляя (3.17) в (3.15), получаем
Щ = g и н и ~ \
Отсюда, сравнивая с (3.16), находим
Л = и н і г \