324 |
КВАДРАТИЧНЫ Е И ЭРМИТОВЫ Ф ОРМ Ы |
[ГЛ . X I I I |
Под длиной вектора х подразумевают арифметическое (неотрицательное) значение корня квадратного из скаляр ного произведения (л:, л:):
\ х \ = У (х, х).
Из 2) и 5) следует, что каждый вектор унитарного про странства, отличный от нуля, имеет положительную длину, а длина нулевого вектора равна нулю. Вектор х называется нормированным, если ) JC | = I. Любой вектор х можно про
нормировать, умножив его на какое-нибудь комплексное
1 число, модуль которого равен -j—г.
Два вектора х и у называются ортогональными (лгД. _|_з>), если (л:, у) = 0.
В случае численного пространства, элементами которого служат столбцовые матрицы, скалярное произведение опре деляется так:
(а, Ь) = Ь*а.
По аналогии с этим, наряду с общепринятым обозна чением скалярного произведения векторов пространства R — (лг, уі), мы будем пользоваться и другим условным обо
значением—у хх, |
полагая, что |
|
|
|
|
|
Здесь у х |
|
(х,у) = у хх. |
|
|
|
|
|
выступает |
в |
роли вектора, |
«сопряженного» |
вектору у. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства 1)—5) при этом представляются так: |
|
1) |
|
у хх |
= (х,у) = |
(у Je) = х ху, |
|
|
|
2) |
|
у х (а х ) = (а х , у) = а (х, у) = |
ау хх, |
|
|
|
2') |
|
(ауі)хд; = |
(л:, а_у) = |
а(л:, _у) = |
а_ух.ѵ, |
|
|
|
3) |
z x |
( X + 31) = |
(х + y ,z ) |
= (х, z) + |
(у, Z) |
= |
2 Х ЛГ + |
z xy, |
3') |
(31 |
+ z)xx = |
{ X , у + |
z) = (лг, у) + (х, z) = |
у хх 4- |
г хл:, |
4) |
|
х хх |
= (х, х) > |
0, |
|
|
|
|
5) |
|
X х X |
= |
(лг, л:) > |
0 |
( X ф |
0). |
|
|
|
Длина вектора х равна
§ п |
М Е Т Р И З А Ц И Я В Е К Т О Р Н О Г О П Р О С Т Р А Н С Т В А |
325 |
а условие ортогональности векторов х и у принимает вид
у хх = Xху = 0.
Обозначая звездочкой переход к эрмитово сопряженной величине, отметим еще такое свойство:
|
(_ухлг)* = у хх |
= л:х_у. |
|
|
|
|
Пусть R — п-мерное унитарное пространство |
и |
g = |
= (ех |
е2...еп) — какой-нибудь |
базис в нем. |
Обозначим |
через X столбцовую матрицу, составленную |
из |
координат |
х2, |
..., хп вектора х, а через у — столбцовую матрицу, |
составленную из координат уѵ у2, ..., уп вектора у |
в этом |
базисе. |
Тогда |
у = %у. |
|
|
|
|
|
х = %х, |
|
|
|
(1.1) |
В силу свойств 1) — 4) |
|
|
|
|
|
|
У хх =(&у)хх =(I]eßi j л: =(JjУівх ^ X, |
|
|
или |
у хх = у*$хх, |
|
|
|
(1.2) |
|
|
|
|
где у* |
= (уху2 ...уп) — строчная |
матрица, |
эрмитово |
со |
пряженная столбцовой матрице у, а |
|
|
|
|
g x* =
Учитывая еще первое соотношение (1.1), из (1.2) находим
Здесь
tf' = g x g =
ех ех |
ех е2 .. |
ех еп |
— |
(«і. ех) |
= ехех |
ех е2 . .. |
ех еп |
(ех, е2) |
_ех ех |
ех е2 . |
|
- |
Леѵ еп) |
(е2, ех) .
(^2* ’
(^9> ^я) ■
■(е„, ех)
• (е„, е2)
>
■{еп, еп) _
3 2 6 |
К В А Д Р А Т И Ч Н Ы Е И Э Р М И Т О В Ы Ф ОРМ Ы |
[ГЛ . X I I I |
так что скалярное произведение (1.3) можно записать и в форме
|
|
П |
|
|
|
|
у хх |
= |
1] hikxiyk |
|
(hik = (et, ek) — ex et). |
(1.4) |
|
|
i,k=\ |
|
|
|
|
В частности, имеем |
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
лгхл' = |
2 |
к!кх(хк. |
(1.5) |
|
|
|
|
і,к=1 |
|
На основании свойства 1) эрмитовой метрики |
|
|
П |
Ын = |
ex eL= |
ex ek = hki. |
(1.6) |
|
|
|
hik = hkl (i,k = 1 , 2, |
|
Форма |
2 |
V * . |
еде |
..., n), |
i,k=[ |
|
|
|
|
|
называется эрмитовой формой; выражение, стоящее в правой части равенства (1.4), называется билинейной эр митовой формой. Таким образом, квадрат длины вектора
унитарного |
|
пространства представляется в виде эрмитовой |
формы его координат. |
|
|
Матрица |
|
Н эрмитовой (билинейной эрмитовой) формы |
в силу (1.6) |
является |
эрмитово сопряженной (эрмитовой), |
т. е. Н* = |
Н. |
|
|
|
Если базис g в R составлен из ортонормированных век |
торов elt е2, |
еп, т. е. таких, что |
|
|
|
|
I 0 при і Ф k, |
|
(е„ ek) |
8ik |
j j |
I — р |
(і, k = 1,2, . . . , /г), |
то в этом случае |
Н — диагональная |
(единичная) матрица |
и формы (1.4), (1.5) принимают вид |
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
у хх |
= (дг, у) = 2 |
Х (Уі, |
|
|
|
|
і=\ |
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
XхX ~ (X, х) = 2 |
I хі I2- |
|
|
|
|
;=і |
|
В следующем параграфе будет показано, что ортонорми рованный базис существует в каждом унитарном простран стве.
Если в качестве числового поля Зг принято поле вещест венных чисел, то метрика, удовлетворяющая условиям 1) — 5), называется евклидовой.
5 2] О Р Т О Н О Р М И Р О В А Н Н Ы Е БА ЗИ С Ы 3 2 7
Векторное пространство R над полем вещественных чичел с положительно определенной евклидовой метрикой на
зывается |
евклидовым пространством. |
|
|
В евклидовом пространстве скалярное произведение век |
торов X |
и у с координатами соответственно xt и yt (і = 1, |
2, |
п) |
представляется |
равенством |
|
|
|
|
П |
|
|
|
(х, у) = у хх = |
у'%х &х = 2 |
SikXilJk. |
|
|
|
i , k = |
I |
Здесь y' — строчная матрица, полученная из у транспониро
ванием, sik = ski (i, k = |
1, |
2, ..., n) — вещественные |
числа. |
В частности, |
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
(х, х ) = |
х хх |
= |
х '$ Х%Х = 2 |
SikXcXk. |
|
|
п |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
называется квадратичной формой |
Выражение |
2 |
|
|
i , k = \ |
|
|
|
п |
|
относительно х1г |
х2, |
|
|
|
sibXcxk |
..., х,г |
Квадратичной |
форме 2 |
а
отвечает билинейная форма 2 s,7;x,T/fc.
/,&=1
Квадрат длины вектора евклидова пространства пред ставляется в виде квадратичной формы его координат.
3 а м е ч а н и е. Из положительной определенности мет рик, введенных в унитарном и евклидовом пространствах, вытекает положительная определенность соответствующих эрмитовых и квадратичных форм, т. е.
**gx g x > 0 |
и |
* 'g x g * > 0 |
(знаки равенств имеют место только при х — 0).
§2. Ортонормированные базисы в унитарном
иевклидовом пространствах
Здесь мы покажем, что как в унитарном, так и в евкли довом пространстве имеется ортогональный базис, т. е. та кая система векторов elt е2, еп (п — размерность прост ранства), что
|
(ß(i вк) |
— 0 |
при |
і Ф k, |
(2 . 1) |
|
Ф 0 |
при |
і — k. |
|
|
|
3 2 8 К В А Д Р А Т И Ч Н Ы Е И Э Р М И Т О В Ы Ф ОРМ Ы [ГЛ. X I I I
Заметим, что векторы, обладающие свойством (2.1), линей но независимы. В самом деле, равенство
а і^ і |
+ |
• • • “f- |
~ О |
|
возможно только тогда, когда |
а х = |
а2 = ... = |
а„ = 0, так |
как по умножении этого |
равенства |
скалярію, |
например, |
на ек получаем в силу (2.1) ак(ек, ек) — 0, откуда ак = 0. Доказательством существования ортогонального базиса в рассматриваемых пространствах может служить приво
димый ниже процесс ортогонализации*), который позволяет из данных п линейно независимых векторов построить п попарно ортогональных векторов.
Пусть g = (gv g 2, |
g n) — какой-нибудь базис в про |
странстве (унитарном или евклидовом). |
.... е„, |
Построим систему ненулевых векторов еѵ е2, |
удовлетворяющих условию (2.1). Положим |
|
«1 = Sv |
|
|
ег — S* + Уи^ѵ |
|
/су |
е п — S n + Yln^l + ••• + У п — \п&п—1-
Условие (2.1) приводит к следующим выражениям для чи
|
сел |
уа: |
|
|
|
У Ч |
(gj,еі) |
(i= 1,2, |
1; / = 2, 3, . . ., n). |
|
(е>. ei) |
|
|
|
(2.3) |
|
|
|
|
Соотношения (2.2), (2.3) позволяют последовательно строить взаимно ортогональные векторы еѵ е2, ..., еп, что и подтверждает существование в R ортогонального базиса.
Равенства (2.2) можно записать в виде матричного соот ношения
g = & + |
g r, |
|
|
где |
|
|
|
0 712 Yis ••• Ym |
0 |
0 |
723 •.•• |
72п |
g ( & 1 & Я • • ■ & п ) > |
|
|
|
0 |
0 |
0 ..• |
У п — \п |
0 |
0 |
0 ... |
0 |
*) Этот |
процесс ортогонализации в иных обозначениях приведен |
и в § б гл. |
VIII. |
