Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 145

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 3] Л И Н Е Й Н Ы Е О П Е Р А Т О Р Ы В У Н И Т А Р Н О М П РОСТРАН СТВЕ 3 2 9

Отсюда

%= $ (Е п - Г)

(Еп —-единичная матрица порядка п).

От ортогонального базиса g можно перейти к ортонор­ мированному базису путем умножения g справа на диаго­ нальную матрицу

Таким образом, в унитарном (евклидовом) простран­ стве существует и ортогональный и ортонормированный базис.

§3. Линейные операторы в унитарном пространстве

3.1.Сопряженный оператор. Если для любых векторов X и у из унитарного пространства между линейными опе­ раторами А и В в R выполняется соотношение

(Ах, у) = (х, By),

то оператор В называется сопряженным по отношению к оператору А.

Оператор, сопряженный оператору А, обозначается че­ рез А*.

Каждому линейному оператору А отвечает единствен­

ный сопряженный А*. Покажем это.

(ег е2...еп).

Выберем в R ортогональный базис g =

Если В — линейный оператор в R, то для произвольного

вектора у из R справедливо соотношение

 

П

(3.1)

By = 2 1 {By, ek) ек

Всамом деле, имея в виду, что В — матрица оператора

Вв базисе g, Bv В2, ..., Вп — строки матрицы В, а у — столб­ цовая матрица координат уг, уг, ..., уп вектора у в том же

базисе, получаем

п

п

By = В&у = g By = 2

ekBky = 2 Bkyek (3.2)

fe=i

fc=i

330

К В А Д Р А Т И Ч Н Ы Е И Э Р М И Т О В Ы Ф ОРМ Ы

[ГЛ . X I I I

(так как Bty — скаляр). Но, с другой стороны, так как g — ортонормированный базис,

II

ВкУ= ( S ВіУві, ek) = (By, ek).

(=i

Учитывая последнее соотношение, из (3.2) непосредст­ венно приходим к (3.1).

Теперь легко установить, что оператор В, определенный соотношением

П

 

By = H i(y,A ek)ek,

(3.3)

fc=l

 

является сопряженным по отношению к оператору А. Дей­ ствительно, если А * — оператор, сопряженный оператору А, то для произвольных х и у

П

 

П

 

 

 

( X, By) = ( X ,

(у, А ек) ek) = (х, Е

(А*у, ek) ek) =

 

А= I

 

к—1

 

 

откуда В = А*.

 

 

 

=

(лг, А*у),

 

 

 

 

 

Равенство (3.3) определяет оператор, сопряженный опе­

ратору А, единственным образом.

оператора А*

 

Найдем матрицу сопряженного

в орто-

нормированном

базисе

g.

А

в базисе g. Через В

Пусть А — матрица

оператора

обозначим матрицу сопряженного оператора А* в том же базисе. Имеем

 

 

 

A g = gA,

А*g = gß.

 

Отсюда, так как g — ортонормированный базис и потому

g x g =

Еп, находим

 

 

Далее,

 

А = g x,4g,

ß = g xyl*g.

 

 

 

 

 

 

 

еГ

 

f е?А*е1 ...

é\A*en

В =

I

••• I

(A*exA * e ,... A*en) = .............................

 

 

 

 

. . .

e*A*enj

Так

как А и

A* — взаимно сопряженные операторы,

 

е?А*е] =

(A*ej, et) = (е/} A et) = (Aeit е/) =

efA e^

$ 3] л и н е П н ы е о п е р а т о р ы

в у н и т а р н о м п р о с т р а н с т в е

331

Поэтому

 

 

 

е*Ае 1 .

. впАе 1

еі А ег ... è\ A еп

 

В =

 

=

 

_ е ? А е п .

• еп А е п_

_ е%Аег . . . впАеп__

 

 

 

=

А*.

Таким образом, в ортонормированном базисе сопряжен­ ным операторам А и А* отвечают сопряженные матрицы

Аи А*.

3.2.Собственные векторы и собственные значения эрми­

това оператора. Линейный оператор Н называется эрмито­ вым, если он совпадает со своим сопряженным: Н = Н*.

Для изучения свойств собственных значений и собствен­ ных векторов эрмитова оператора Н нам понадобится

Л е м м а 3.1. Пусть А — линейный оператор в вектор­ ном пространстве R надполем комплексных чисел дъ, а I — инвариантное подпространство пространства R. Тогда оператор А имеет в подпространстве / хотя бы один соб­ ственный вектор.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

Пусть

размерность

подпро­

странства /

равна

k

и

& =

{g1

g 2 --gk) — какой-нибудь

базис этого

подпространства.

 

представляется

в

виде

Произвольный

вектор

х

из /

 

* = X\g\ +

4g2 +

• • •

+ xkg k.

 

 

(3-4)

Так как / — инвариантное

подпространство, то A g& I,

и потому

 

 

 

 

 

 

 

(i= 1, 2,

 

 

 

A g t = с1(§Т + c2ig 2+

• • •

+

ckig k

. . . ,

k).

Учитывая

это,

получаем

 

 

 

 

 

 

 

k

 

к

 

 

 

к

к

2Cjigf =

 

 

 

А X = А 2xtgt =

2xtA gl =

2

 

 

 

 

i=i

 

i=i

 

 

 

;=i

і=і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

è ( è x , - c p ) g p

(3.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

;=1 \t'=l

/

 

 

Условие того, что л: является собственным вектором опе­ ратора А , отвечающим собственному значению X, т. е. ра­ венство

А х = Хх,

3 3 2 К В А Д Р А Т И Ч Н Ы Е И Э Р М И Т О В Ы Ф ОРМ Ы [ГЛ . X II I

в силу (3.4) и (3.5) можно записать в виде

к / к \ п

 

S

2

СцхЛ «7 = Ь 2

Xjgj.

 

 

 

/=1v=i

/

 

J=1

 

 

 

Так как векторы gj {j — 1,2,..., k) линейно независимы,

то последнее равенство возможно, если только

 

к

срх{

hxj

U ~

 

 

п),

 

2

П 2, . . .

 

і=і

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

( С 1 1 —

^ ) Х 1 +

С12Х 2 “ Ь

• • ■

+

С1кХк

~

 

С21Х1

(с22 —

х 2 +

' - '

+

С2кХк — 0»

^ 0^

с к1Х 1 +

С к2Х 2 +

-

+ {С/ік — ^) X k

— О-

 

Для доказательства леммы достаточно показать, что су­

ществует число Я £ Ж.и числа хѵ лг2, ..., хк, не

все равные

нулю и удовлетворяющие системе (3.6).

 

 

Условием существования ненулевого решения однород­ ной системы (3.6) является равенство нулю его определи­ теля:

£ ц

X

'

*

C l k

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.7)

 

Ck l

CkZ ’

’ ‘

C k k - Ь

Но (3.7) представляет собой уравнение степени k отно­

сительно Я с коэффициентами

из поля комплексных чисел

и потому имеет по крайней мере один (вообще говоря, комп­

лексный) корень

Я0.

 

 

 

Значит,

существует такое

число Я0, что

при Я =

Я0 си­

стема (3.6)

имеет

ненулевое

решение х°и

х°, ..., х\.

Чис­

ло Я0 является собственным значением, а вектор

 

 

*о =

x°igi + 4 g 2 + • • ■ + xlg k

 

—собственным вектором оператора Д.так как А х 0 = Я0л:0. Лемма доказана.

Ле м м а 3.2. Собственные значения эрмитова операто­ ра вещественны.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть х — собственный век­ тор, а Я — соответствующее собственное значение эрмитова оператора Н, так что

Н х = Хх (х Ф 0).

Смотрите также файлы