Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

ИЛИ

л = и ни*,

так как в силу унитарности матрицы U U* = U~l. Разрешая полученные соотношения относительно мат­

рицы Н, имеем

Н= LT'AU = U*AU.

§4. Линейные операторы в евклидовом пространстве

4.1.Транспонированный оператор. Симметрический оп ратор. Рассмотрим /г-мерное евклидово пространство R и линейный оператор А в нем.

Оператор А' называется транспонированным по отно­ шению к А, если для любых векторов х и у пз R

{Ах, у) = (х .А 'у).

Аналогично тому, как это было сделано в п. 3.1 для со­ пряженного оператора, устанавливается существование и единственность транспонированного оператора А'. Если elt е2, •••> еп — ортогональный базис, то транспонированный оператор можно определить формулой (см. (3.3))

П

А 'у = l] ( y ,A e k)ek, fc=i

где у — произвольный вектор из R.

Далее, в ортонормированном базисе транспонированным операторам А я А' отвечают транспонированные матрицы А и А'. Заметим, что матрица линейного оператора в евк­ лидовом пространстве вещественна.

Линейный оператор А называется симметрическим, если А' = А. Исследуем свойства собственных векторов и соб­ ственных значений симметрического оператора А.

При исследовании свойств собственных векторов и соб­ ственных значений эрмитова оператора в п. 3.2 была ис­ пользована лемма 3.1. В случае векторного пространства над полем вещественных чисел, вообще говоря, нельзя утвер­ ждать, что любой линейный оператор в соответствующем инва­ риантном подпространстве имеет хотя бы один собственный вектор. Однако в отношении симметрического оператора

§ 4 ] Л И Н Е Й Н Ы Е О П Е Р А Т О Р Ы В Е В К Л И Д О В О М П Р О С Т Р А Н С Т В Е 339

в евклидовом пространстве такое утверждение справед­ ливо. Докажем это.

Условие того, что x является собственным вектором опе­ ратора, отвечающим собственному значению Х ( А х = 'кх), приводит к однородной системе алгебраических уравнений

Условием существования ненулевого решения однород­ ной системы (4.2) является равенство нулю ее определителя:

Для доказательства леммы нужно показать, что урав­ нение (4.3) (/г-й степени относительно X) имеет вещественный корень А,0 и что этому корню отвечает вещественное решение

х°, х\, ..., х\ системы (4.2).

Умножим первое равенство на вектор g lt а второе на вектор gj. Получим, учитывая, что векторы g lt g 2, ..., g k нор­ мированы и попарно ортогональны:

(gp Agt) = (Ag,, gi) = (gi} Agj)

и

cll — Cij,

что и доказывает соотношение (4.4).

Алгебраическое уравнение степени k с вещественными коэффициентами имеет k корней, среди которых могут быть как вещественные, так и комплексные числа, причем комп­ лексные корни, если таковые имеются, выступают в виде пар комплексно сопряженных чисел.

Покажем, что алгебраическое уравнение (4.3) имеет толь­ ко вещественные корни.

Допустим противное, а именно, пусть уравнение (4.3) имеет комплексный корень ^0. Тогда среди корней этого

уравнения имеется и корень Ä.0, комплексно сопряженный корню Х0.

Систему (4.2) для удобства последующего изложения

$ 4] Л И Н Е Й Н Ы Е О П Е Р А Т О Р Ы В Е В К Л И Д О В О М П Р О С Т Р А Н С Т В Е 341

Тогда решение системы (4.5) при X = Х0 представится столбцовой матрицей

Умножим (4.6) слева на транспонированную матрицу

Хо:

XQ С х 0 = ^ оХо-'-О-

Здесь х0х0 — вещественное число. Вещественным является также скаляр х0Схо, так как

х0Сх0= (х0Сх0У — хоСх0 = ХоСхй

(С — С). Но тогда Х0, как отношение двух вещественных

ского уравнения (4.3) вещественны. Пусть Х0— корень этого уравнения. При X = Х0 система (4.2) имеет ненулевое реше­

ние х°, х°, ..., х°к, которое к тому же, будучи решением алгебраической системы с вещественными коэффициентами, вещественно. Лемма доказана.

Л е м м а 4.2. Пусть А — симметрический оператор в п-мерном евклидовом пространстве R, а е — его собствен­ ный вектор. Тогда совокупность Rx векторов х, ортогональ­ ных к е, есть (п — 1 )-мерное подпространство, инвариант­ ное относительно оператора А.

Д о к а з а т е л ь с т в о леммы 4.2 подобно доказатель­ ству леммы 3.3.

С помощью приведенных лемм легко устанавливаются и следующие теоремы (аналогичные теоремам 3.1 и 3.2).

Т е о р е м а 4.1. В п-мерном евклидовом пространстве R существует п попарно ортогональных собственных векто­ ров симметрического оператора А . Соответствующие собст­ венные значения вещественны.

З а м е ч а н и е . Если ортонормированную систему соб­ ственных векторов симметрического оператора А в евкли­ довом пространстве принять в качестве базиса этого про­ странства, то матрица оператора А будет иметь диагональ­ ный вид, причем диагональными элементами будут служить собственные значения оператора А.