Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 138

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 5]

КВАДРАТИ ЧНЫ Е ФОРМЫ

3 4 7

квадратичной формы А (х, х) в виде суммы квадратов:

 

Г

 

 

А(х, х)= 2 ^

-

 

і=і

 

где Х[ Ф 0 (г = 1, 2,

г), а £х, 12,

%г — линейно неза­

висимые линейные формы от переменных хг, х2, ..., хп, число положительных квадратов и число отрицательных квадра­ тов не зависит от способа приведения формы к указанному виду.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

Пусть имеет место и

другое

представление формы А

 

{х, х)

в виде суммы квадратов:

 

 

 

 

А (х, х) =

 

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

ИД1?.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і=Д

 

п

 

 

 

 

где р,( ф О

(і =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,

2,

 

г),

 

 

а

TJ,- =

2

С;А — независи-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*=і

 

 

 

мые линейные формы от переменных хѵ х2, ..., хп.

 

Пусть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Хг >

О,

Х2^>0, . . . ,

ХЛ> 0 ,

 

< 0 ...........\г <с0,

| Д > 0 ,

р2> 0 ,

. . . ,

(Лг> 0 ,

 

р,/+ 1<

О, . . .

, рг < 0.

Предположим,

что h Ф

I,

 

например,

h <

/.

удовлетво­

Переменным л'х, х2, ..., хп дадим

значения,

ряющие системе г — (/ — /г) уравнений

 

 

 

 

h — 0

(г = 1,

2, . . . .

 

/г),

 

 

ту = 0

(/ = /

+

1.......... г)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.12)

и не обращающие в нуль хотя бы

одну

из

форм

lh+2 i

Ъ-

Такие

значения

 

существуют, так

как

в про­

тивном

случае

из

 

 

=

0,

 

..., Ъ,г =

0

следовало

бы, что

все г уравнений

£(- = 0

(і

=

 

1,

..., г)

являются следствием

г — (I — h)

уравнений

 

(5.12),

 

но

это

невозможно

в силу

линейной независимости форм

 

£v

g2,

Ir- При таким обра­

зом выбранных значениях хѵ х2, .... хп в тождестве

 

 

 

 

 

У

i t ?

=

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IЛ;ы

—

 

~ і

 

 

 

 

 

левая часть

равна

i=i

 

 

 

 

i=i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 K é < o ,

А-Н

3 4 8

К В А Д Р А Т И Ч Н Ы Е

И Э Р М И Т О В Ы Ф ОРМ Ы

[ГЛ. X I I I

а правая равна

 

 

 

I

 

 

 

2

іѵі* > о.

 

 

*=і

 

 

Предположение h Ф I привело к противоречию. Теоре­ ма доказана.

5.3. Приведение квадратичной формы к главным осям. Рассмотрим произвольную вещественную квадратичную форму

П

 

А (X, х) = 2 aikXiXy = х'Ах

(А = А').

/.*=1

 

Так как матрица квадратичной формы А является ве­ щественной симметрической, то существует такая вещест­ венная ортогональная матрица О, что

0~ ‘Л0 = А —- diag(^1, Хй..........

Хп).

Здесь Хѵ Хг, ..., Хп — собственные значения матрицы А. Учитывая, что О-1 = О', при замене переменных

X — 0^

(5.13)

получаем следующее выражение для квадратичной формы:

А(х, *) = Г А £ = S U ? -

(5-14)

і=і

 

Таким образом, справедлива

форма

Т е о р е м а 5.2. Вещественная квадратичная

А (х, х) ~ х’Ах всегда может быть приведена посредством ортогонального преобразования координат к канонической форме (5.14), где Хх, Хг, ..., Хп — собственные значения мат­ рицы А.

Рассмотрим гиперповерхность второго порядка, задан­ ную с помощью квадратичной формы:

П

 

х'Ах = 2 üikXiXb = с

(с — const Ф 0). (5.15)

i.k= 1

 

При ортогональном преобразовании координат (5.13) уравнение (5.15) принимает вид

1,

§ 5]

КВ АДРАТИ Ч Н Ы Е

ФОРМЫ

349

где

 

 

 

~~Г = ~Т ,

8і = sign

(&1= 0 при

Xt = 0).

Будем рассматривать матрицу А как матрицу некоторо­ го симметрического оператора А в некотором ортонорми­

рованием базисе $ = (ffi g 2 ••• gn) евклидова

пространства

R; при этом хѵ х2, ..., хп представляют собой координаты

вектора х в базисе $ . Тогда Л = diag (Xlt ...,

Хп) есть мат­

рица

оператора

А в новом ортонормированном базисе g =

= (ег

е2 ■■■еп),

а £lt £2,

\п — координаты

вектора х в

базисе g. Векторы базиса определяют направления осей координат в пространстве R. Поворот осей координат опре­ деляется ортогональным преобразованием

g = $0-

Новые оси являются осями симметрии центральной по­ верхности (5.15). Оси симметрии поверхности обычно назы­ ваются главными осями.

В связи с этим приведение квадратичной формы А (х,х) посредством ортогонального преобразования к канониче­ ской форме (5.14) называется приведением к главным осям.

Из (5.14) следует, что ранг г формы А (х, х) равен числу не равных нулю собственных значений матрицы А.

Вещественная квадратичная форма А (х, х) называется

неотрицательной (положительно определенной), если при любых значениях переменных А (х, х) >• 0 (А (х, х) > 0, X =5^ 0). Аналогичным образом определяются неположитель­ ные (отрицательно определенные) квадратичные формы.

Из (5.14) видно, что вещественная квадратичная форма А (х, х) является неотрицательной (положительно опреде­ ленной) в том и только в том случае, когда все собственные значения матрицы неотрицательны (положительны).

Наконец, соотношение (5.14) позволяет получить сле­ дующие важные неравенства. Обозначим через А,тах и Я,тіп

соответственно

максимальное и минимальное собственные

значения матрицы А квадратичной формы А (х, х).

Тогда

п

п

 

 

2 М < 2 Х а * Й = Я т . * 2 &

 

f = l

/ = I

I

 

n

n 2

Ä-mln 2 I £/•

/2- 1

> 2/-1 ?ЧтіІп£?=

3 5 0

К ВАДРАТИ ЧНЫ Е И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ

[ГЛ. X III

Но, так как О — ортогональная матрица,

 

 

2)5? = 5'5 =

х'ОО'х = х'х =

21*1

 

 

/*=1

П

/»I

 

Поэтому,

учитывая еще,

что 21 х] есть

не что

иное, как

 

 

>=і

 

 

квадрат евклидовой нормы столбцовой матрицы х, из (5.14) получаем

Ä-min II x f < х'Ах < Xmex IIJCІі2.

(5.16)

§ 6. Эрмитовы формы

Все результаты § 5, установленные для вещественных квадратичных форм, могут быть перенесены на эрмитовы формы

П

Н (х , х ) =

21 hikX{xk (htk = Tiki,

i, k = 1,2 .......... n).

(6.1)

 

 

t,k=\

 

 

 

 

 

Эрмитовой форме (6.1) соответствует билинейная эрми­

това форма

 

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.2)

 

 

н (х, у) =

21 ІикХіУк.

 

 

 

 

/,*=і

 

 

 

Формы (6.1) и (6.2) можно представить в матричной

записи

так:

 

 

 

 

 

 

 

Н(х, х) = X

Н X — х*Н'х,

 

(6.3)

 

 

Н(х, у) = х’ Н у =

у*Н'х.

 

(6-4)

Здесь

Н — эрмитова матрица,

составленная

из комплекс­

ных чисел hik (i, k = 1, 2, .... /г).

 

 

 

Если Н

' рассматривать как матрицу некоторого эрмито­

ва оператора Н' в унитарном пространстве R в некотором

ортонормированном базисе % =

(е1 е2... еп), так что

 

то

 

Я 'ё

=

W ,

 

 

 

 

hik = (Н’е{, ek)

(i, k =

1, 2, . . .

, п)

 

и

 

 

 

И{х, у) = (Н'х, у) =

(л-, Н'у).

 

 

 

 

 

 

6.1.

Замена переменных. При замене переменных

 

 

 

х = Т1,

 

у = Тц

 

 

Смотрите также файлы