Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

но в такой форме задавать эту область. Постановка задачи устойчивости по Ляпунову допускает довольно широкий произвол в выборе областей предельных отклонений. Так,

в редакции Н. Г. Четаева [58] понятие устойчивости по Ля­ пунову представляется в следующей формулировке:

Если при всяком произвольно заданном положительном числе е, как бы оно мало ни было, может быть выбрано по­ ложительное число 8 (е, /„) так, чтобы при всяких началь­ ных возмущениях х (/0), удовлетворяющих условию

Ng i < ö ,

ипри всяком t, превосходящем ta, выполнялось неравенство

\\x(t)l<B,

то невозмущенное движение (тривиальное решение уравне­ ния (2.5)) называется устойчивым по Ляпунову; в противном случае — неустойчивым.

358 П О С Т А Н О В К А З А Д А Ч И [ГЛ . X I V

удовлетворяющие условию

И 'о )1 < 8 .

обладают свойством

2.2.П онятия устойчивости движения на конечном про

межутке времени. При рассмотрении реальных объектов нас обычно интересует их поведение в течение некоторого конеч­ ного промежутка времени, поэтому естественно желать, что­ бы устойчивость процесса (в частности, устойчивость дви­ жения) как характеристика качества процесса отражала бы его определенные свойства на этом конечном промежутке времени.

В определении устойчивости по Ляпунову ограничение отклонений Хі на бесконечном интервале времени условием (2.8) является существенным моментом. Если перейти к ограничениям на конечном промежутке, даже сколь угодно большом, всякий смысл в определении устойчивости те­ ряется, поскольку при непрерывных правых частях урав­ нений возмущенного движения на любом конечном про­ межутке времени условия (2.7) и (2.8) соблюдаются всегда.

Тем не менее в некоторых случаях, например в случае линейной автономной системы, свойства процесса в течение конечного промежутка и бесконечного (при t ->- оо) нахо­ дятся в тесной взаимосвязи, и поэтому при исследовании таких систем, если даже рассматриваемый промежуток времени конечен, может быть использовано понятие устой­ чивости, введенное для бесконечного промежутка времени,

точным основанием такого соответствия возможно все же в исключительных случаях. В общем случае понятие устой­ чивости, введенное для бесконечного промежутка, не может

.быть использовано для оценки свойств в пределах конечно­ го промежутка времени, и вот почему.

. Задача устойчивости реальных процессов сводится к исследованию решений некоторых систем дифференциаль­ ных, интегро-дифференциальных или другого типа уравне­ ний, поэтому исследование устойчивости процесса путем

5 2] О Н Е К О Т О Р Ы Х П О С Т А Н О В К А Х З А Д А Ч И 359

анализа решений соответствующих уравнений имеет смысл лишь при условии в достаточной мере адекватности мате­ матической модели физической реальности. Часто такая адекватность выполняется в пределах только конечного про­ межутка времени, и тогда свойства решений уравнений при t -э- оо не имеют никакого отношения к свойствам рас­ сматриваемого процесса. Но даже если адекватность со­ блюдается при всех t > t0, это еще не означает, что между понятиями устойчивости на конечном и бесконечном про­ межутках времени возможно установить разумное взаимно однозначное соответствие.

В самом деле, решения двух векторных уравнений

g± (t, x) == g2 (t, x), на этом промежутке совпадают. Вместе с тем может случиться, что, например, тривиальное решение первого уравнения устойчиво по Ляпунову, а тривиаль­ ное решение второго уравнения неустойчиво, поскольку решение задачи устойчивости по Ляпунову определяется

Соображения такого рода определяют необходимость введения самостоятельного понятия устойчивости процесса на конечном промежутке времени.

Определение устойчивости на конечном промежутке вре­ мени, по-видимому, впервые было дано Н. Г. Четаевым [57]. В настоящее время известно несколько отличающихся друг от друга постановок задачи устойчивости на конечном про­ межутке времени. Общим для всех постановок является введение определенной функциональной связи между облас­ тями предельных отклонений в начальный момент t0 и при t > в пределах конечного (наперед заданного или не­ заданного) промежутка времени. Различие же между ними проявляется, во-первых, в характере ограничений, налагае­ мых на отклонения параметров процесса, и, во-вторых, в форме и характере изменения во времени области предель­ ных отклонений.

2.2.1. Т е х н и ч е с к а я у с т о й ч и в о с т ь . Н. Д. Моисеев устойчивость механической системы (так на­ зываемую «техническую устойчивость») определяет так (нижеследующее определение Н. Д. Моисеева приводится

3 6 0 П О С Т А Н О В К А З А Д А Ч И [ГЛ . X IV

в формулировке Г. Н. Дубошина [16] с некоторыми упро­

называется обладающим технической устойчивостью отно­ сительно заданных верхних пределов начальных отклонений

в том и только в том случае, если всякое решение xs — xs (t) системы уравнений (2.9) при всяких начальных значениях Хм — xs (0), удовлетворяющих условиям

для всех t, не превышающих Т.

В приведенном определении устойчивости ps3, ps, ха­ рактеризующие размеры области предельных отклонений, рассматриваются как известные, наперед заданные конкрет­ ные числовые величины (или функции).

К определению устойчивости Н. Д. Моисеева примыкает другое определение [59]:

Невозмущенное движение (или другой процесс) называет­ ся устойчивым относительно заданных г и С на конечном промежутке времени t0 •< t •< Т, если при t = t0 выполняет­ ся неравенство

Иногда вместо знака •< в ограничениях принимается знак строгого неравенства [83].

Здесь е и С, посредством которых вводится ограничение на отклонения xs, также считаются известными, заданными.

В приведенных определениях устойчивости принятый способ задания области предельных отклонений вносит в