§ 6] |
Э Р М И Т О В Ы Ф ОРМ Ы |
351 |
билинейная форма (6.4) приводится к виду
Н (х, у) = І ’Нг) = if Я'£,
где
Я = Г Я 7 \ Я ' = Г*ЯТ.
Если Т — невырожденная матрица, то Я и Я имеют один и тот же ранг. Ранг г матрицы Я называется рангом эрмитовой формы.
Определитель матрицы Я — det Я — называется диск риминантом формы. Эрмитова форма с вырожденной матри
цей называется |
сингулярной. |
|
|
6.2. Закон инерции. Если эрмитова |
форма приведена к |
виду |
|
|
|
|
|
Я (х, х) = 2 КЫі, |
|
|
|
|
і=1 |
|
где Xt Ф 0 (і — 1, 2, |
..., г) — вещественные числа, а |
Іі = |
П |
dikxk |
|
. . . . п) |
2 |
( / = 1 , 2 , |
|
k=1 |
|
|
— независимые комплексные линейные формы от перемен ных хѵ х2, ..., х,„ то, как и для квадратичных форм, число г равно рангу формы Я (х, х).
Для эрмитовых форм справедлива следующая теорема, доказательство которой совершенно аналогично доказатель
ству теоремы 5.1. |
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а 6. 1 ( з а к о н и н е р ц и и э р м и т о |
в ы х |
ф о р м ) . |
При |
представлении |
эрмитовой формы |
Я (х, |
х) в виде суммы квадратов (Е,-£г |
= |
| £,• |2) |
|
|
|
Я (х, X ) |
= % |
|
|
|
|
|
|
|
і=і |
|
|
где |
Кі Ф 0 (і = |
1, 2, |
..., |
г) — вещественные числа, а |
?2 . |
■ |
^ — линейно |
независимые |
комплексные линейные |
формы от переменных хг, х2, ..., хп, число положительных квадратов и число отрицательных квадратов не зависит от способа приведения формы к указанному виду.
6.3. Приведение эрмитовой формы к главным осям. Т е о р е м а 6.2. Эрмитова форма
П
Н (х, х) = 2 hikX(Xk — х'Нх = х*Н'х i,k
3 5 2 КВ АД Р АТИ Ч Н Ы Е И Э Р М И Т О В Ы Ф ОРМ Ы [ГЛ. XIII
всегда может быть приведена посредством унитарного пре образования координат
X = Щ |
(UU* = Е) |
|
к канонической форме |
|
|
Н(х,х) = А & 1 ) = І 1Ч і ѣ |
(6-5) |
|
і= і |
|
где Хѵ Х2....... Хп — собственные значения матрицы Н.
Справедливость теоремы следует из того, что (см. п. 3.4) эрмитова матрица Н' унитарно подобна диагональной мат
рице |
А', по диагонали которой расположены собственные |
значения матрицы Н: |
|
|
Н' = UA'U~X= UAV*. |
|
В |
самом деле, |
|
Н (X, |
х) = X*Н'х = x*UA'U*x = £*A'| |
(| = U~'x = U*x). |
Эрмитова форма Н (х, х) называется |
неотрицательной |
(інеположительной), если при любых значениях переменных
Н (х, х) > |
0 (соответственно < 0). |
Эрмитова форма Н {х, х) называется положительно опре |
деленной |
(отрицательно определенной), если при х Ф 0 |
Н (.*, х) > |
0 (соответственно < 0 ). |
Из (6.5) видно, что эрмитова форма неотрицательна (по ложительно определенна) в том и только в том случае, ког
да все собственные значения эрмитовой |
матрицы Н неотри |
цательны (положительны). |
|
Наконец, из |
(6.5) непосредственно следуют неравенства |
|
п |
гг |
^ m ln |
ИЫ і<х*Н'х< Ä'max 2 |
|
/ = 1 |
|
где Xmln и ^max — соответственно минимальное и макси мальное собственные значения матрицы Н.
Отсюда, так как
П |
= x*UU*x = х*х |
(UU* = Е), |
2 Е,|, = |
/=1 |
|
|
а х*х представляет в свою очередь квадрат эрмитовой нор мы столбцовой матрицы х, получаем
^mjn |
< * * # ' * < Ä-max IIX |а. |
( 6. 6) |
Г л а в а XIV
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПРОЦЕССОВ НА ЗАДАННОМ ПРОМЕЖУТКЕ ВРЕМЕНИ
§ 1. Предварительные замечания
Понятие об устойчивости является одним из наиболее важных понятий, с которыми приходится сталкиваться при изучении различных процессов, происходящих в реаль ной действительности. В самых разнообразных областях че ловеческой деятельности: в физике, технике, экономике и т. п.— возникает потребность в анализе свойств прочности, неподатливости процессов, их способности противодейство вать всякого рода возмущениям, и это определяет то при стальное внимание, которое оказывалось и оказывается проблеме устойчивости исследователями прошлого и настоя щего.
Что такое «устойчивость», что понимать под «устойчи востью», какой математической или иной формулировкой определить это понятие? Эти вопросы, естественно, возни кают в первую очередь перед каждым, изучающим качество процесса.
Интуиция подсказывает, что понятие устойчивости долж но содержать во всяком случае следующую концепцию: процесс устойчив, если малые воздействия на него приводят
к малым эффектам (отклонениям), и неустойчив, |
если это |
(в определенных рамках) имеет место не всегда. |
|
Разумеется, приведенное интуитивное понятие |
устойчи |
вости не может быть использовано при решении каких-либо практических задач. Для этих целей требуется математи чески строгое определение понятия устойчивости, которое, с одной стороны, с наибольшей полнотой характеризо вало бы устойчивость как объективное качество процесса, а с другой стороны, допускало бы возможность построения
354 |
П О С Т А Н О В К А З А Д А Ч И |
[ГЛ. X IV |
|
удобного рабочего аппарата для изучения свойств прочнос ти изучаемого процесса вплоть до установления рабочих критериев устойчивости и неустойчивости процесса.
В настоящее время известно довольно большое число более или менее существенно отличающихся друг от друга определений устойчивости. Это можно объяснить и оправ дать тем, что процессы, с которыми сталкиваются исследо ватели, чрезвычайно разнообразны, они не допускают еди ной абстрактной модели и единой оценки «потребительской стоимости» их свойств и характеристик. В этих условиях, по-видимому, невозможно введение такого понятия устой чивости, которое всегда и полностью удовлетворяло бы потребностям жизни и было бы принято всеми как единст венно верное.
§ 2. О некоторых постановках задачи об устойчивости движения
2.1. Понятие устойчивости по Ляпунову. Рассмотри динамическую систему, движение которой описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, пред ставленными одним векторным уравнением
-5Г = |
/ М . |
(2.1) |
где z — столбцовая матрица, |
составленная из |
элементов |
гі> г2 >•••. гл — некоторых параметров движения, f |
— столб |
цовая функциональная матрица, непрерывная по t и диф ференцируемая по Z.
Каждое решение г (/) уравнения (2.1) представляет не которое частное движение динамической системы. Рассмот рим какое-нибудь частное движение системы, которому от вечает решение z° (t) уравнения (2.1). Это частное движение Ляпунов называет «невозмущенным движением» в отличие от других, «возмущенных движений» системы.
Ляпунов дает следующее определение устойчивости не возмущенного движения [30]:
Пусть Lv L2, ..., Ln суть произвольно задаваемые поло жительные числа. Если при всяких Ls, как бы они малы ни
были, могут быть выбираемы положительные числа Elt Е2, ...
.... Еп так, чтобы при всяких вещественных г1й — zt (t0), удовлетворяющих условиям
I2« — zio\<Et (і = 1,2, .. . , л), |
(2.2) |
§ 2] О Н Е К О Т О Р Ы Х П О С Т А Н О В К А Х З А Д А Ч И 355
и при всяком t, превосходящем ta, выполнялись неравенства
\гі — |
(£ = 1 ,2 , |
, п), |
(2.3) |
то невозмущенное |
движение по отношению к |
величинам |
zt — zi устойчиво', |
в противном случае — неустойчиво. |
Определение устойчивости по Ляпунову не содержит |
каких-либо конкретных количественных |
ограничений на |
величины Zi — Zi. Устойчивость движения является неко торой характеристикой прочности и неподатливости движе ния к действиям возмущений. В этом заключается механи ческий смысл понятия устойчивости, который вкладывает
внего Ляпунов.
Вуравнении (2.1) произведем замену переменных
x = z — z°(t). |
(2.4) |
Придем к векторному уравнению относительно возму |
щения (или отклонения) х: |
|
где
Очевидно, g (t, 0) = 0.
Каждому частному решению уравнения (2.1), в соответ ствии с соотношением (2.4), отвечает определенное частное решение уравнения (2.5), и обратно. В частности, частному решению z° (і), которое представляет невозмущенное дви жение, отвечает тривиальное решение (х = 0) уравнения (2.5). Таким образом, переходом от уравнения (2.1) к урав нению (2.5) задача об устойчивости невозмущенного движе ния (частного решения z° (t) уравнения (2.1)) сводится к за даче об устойчивости тривиального решения уравнения (2.5).
Выделим из векторной функции g (t, х) ее линейную
dg(t. X)
часть. С этой целью введем в рассмотрение символ дх
(,производной от столбцовой матрицы g по столбцовой ма трице х), определяемый соотношениями
|
|
|
|
dgi \ |
dg{t, X) |
( dg dg |
dg |
dg |
dxk |
|
дх |
\ дхг дхг |
дхп |
dxk |
dgn |
|
|
|
|
dxk |
(§i> Sn ■ ■ ■ ’ S n |
— элементы столбцовой матрицы g). |
356 |
П О С Т А Н О В К А З А Д А Ч И |
[ГЛ . X IV |
Полагая |
|
|
/I(/, X ) |
= f (t, z° + x ) - f (t, z°) - |
dntQ p -x |
|
( df(t, z°) |
|
\dx ~
вместо (2.5) будем иметь
или, обозначая для удобства —~ г- == U (t), |
= U(t)x + h (t, x). |
( 2.6) |
По построению h (t, x) — нелинейная |
вектор-функция, |
непрерывная no t и дифференцируемая |
по х, причем |
h (t, 0) = 0. |
|
Следуя терминологии, введенной Ляпуновым, уравнение (2.6) будем называть уравнением возмущенного ' движения.
Применительно к уравнению возмущенного движения усло вия устойчивости невозмущенного движения (2.2) и (2.3) в определении Ляпунова приобретают соответственно вид:
|
|
|
|
|
хі01С Еі |
(г = |
1 , 2 , . . . , л) |
(2.7) |
Uf I С Li |
(г = |
1 ,2 ...........л). |
(2.8) |
Устойчивости |
по Ляпунову |
можно дать |
следующую |
геометрическую |
интерпретацию. |
|
|
В /г-мерном пространстве векторов х с введенной в нем системой координат х1г х2, ..., хп задается параллелепипед с центром в начале координат (х = 0) и с гранями, параллель ными координатным плоскостям (рис. 14.1). Величина гра ней определяется числами 2Lv 2L2, ..., 2L„. Эти числа за даются произвольным образом и могут быть как угодно малыми (но не равными нулю). Если для данного паралле лепипеда возможно построить другой параллелепипед с гранями, определенными положительными числами 2Ех, 2Е2, ..., 2Еп, такими, что, начиная с некоторого момента t0, функции Xi (t) остаются при всех t > t0 внутри первого параллелепипеда, если их начальные значения, т. е. хі0, находились внутри второго параллелепипеда, то невозму щенное движение по отношению к величинам х( устойчиво.
Область предельных отклонений х( определена здесь в форме л-мерного параллелепипеда. Но не обязательно имен
