Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

§ 2] О Н Е К О Т О Р Ы Х П О С Т А Н О В К А Х З А Д А Ч И 361

понятие устойчивости на конечном промежутке времени элемент произвольности.

В самом деле, как известно, выбор системы обобщенных координат механической системы, относительно которых записываются уравнения возмущенного движения, допус­ кает определенный произвол. Если уѵ уг, ..., уп — другая система обобщенных координат, как и система хѵ х2.......хп, представляющая собой состояние изучаемого объекта, то с тем же успехом можно было бы задать область предель­ ных отклонений неравенствами

( 2. 12)

Но условия устойчивости движения относительно обла­ сти (2.10)— (2.11), как правило,не будут совпадать сусловиями устойчивости движения относительно области (2.12) (совпадение может быть лишь случайное, когда замена в (2.10) — (2.11) координат xs их выражениями через у5 при­ водит к неравенствам (2.12), и обратно). Таким образом, получается, что одна и та же механическая система в одной

итой же постановке задачи может оказаться при одном на­ боре обобщенных координат устойчивой, а при другом — неустойчивой.

Вопределении устойчивости Н. Д. Моисеева область предельных отклонений задана в форме и-мерного парал­ лелепипеда, в последнем определении — в форме п-мерного шара. И в том и в другом случае области предельных откло­ нений выступают с конкретными размерами. Такое предна­ меренное предопределение формы и размеров области предель­ ных отклонений усиливает субъективный характер понятия устойчивости на конечном промежутке.

То, что априорное задание области предельных отклоне­ ний в форме п-мерного параллелепипеда или шара неудач­ но, видно, в частности, из следующего.

Как отмечалось выше, в некоторых случаях характер возмущенного процесса на конечном промежутке времени

ибесконечном взаимосвязаны, и естественно желать в этих случаях согласия между условиями устойчивости процесса на конечном промежутке и условиями устойчивости по Ля­ пунову. В рассматриваемых выше постановках такого со­ гласия нет. Легко построить примеры линейных автономных систем, когда на конечном промежутке времени будет иметь

даже тогда, когда все корни характеристического многочле­ на системы имеют отрицательные вещественные части, т. е. когда выполняются условия асимптотической устойчивости по Ляпунову.

другой подход к задаче устойчивости на конечном промежут­ ке времени. Сохраняя механический смысл понятия устой­ чивости, который вкладывает в него Ляпунов, Г. В. Камен­ ков в работе [18] понятие об устойчивости на конечном про­ межутке времени сформулировал следующим образом:

Если дифференциальное уравнение возмущенного движе­ ния таково, что при достаточно малом положительном числе с величины х{, рассматриваемые как функции времени, удовлетворяют условию

П

то невозмущенное движение будет устойчиво на промежут­ ке времени At\ в противном случае — неустойчиво, т. е.

At = 0.

Здесь, как видим, величина с, посредством которой вво­ дится ограничение на область предельных отклонений, уже не предполагается наперед заданной: для устойчивости тре­ буется лишь выполнение неравенств (2.13), (2.14) при до­ статочно малых с.

Само определение не содержит конкретных рекоменда­ ций по выбору постоянных ац. Но в процессе построения

теории эти величины выбираются так, чтобы А-1 была мат­ рицей, преобразующей матрицу линейной части уравнений возмущенного движения в момент t0 к каноническому виду, а именно к квазидиагональной матрице, каждый диагональ­ ный блок которой отвечает нерасщепляемому циклическому

$2] О НЕКОТОРЫХ П О СТАН ОВ КАХ ЗАДАЧИ 363

подпространству векторного пространства с введенным в

нем линейным оператором (оператором, матрица которого в некотором базисе совпадает с матрицей линейной части уравнений возмущенного движения).

Определение устойчивости Г. В. Каменкова допускает следующую геометрическую интерпретацию.

Пусть в момент времени t0 (рис. 14.2) система получила некоторые отличные от нуля произвольно малые отклоне­

к априорному заданию промежутка времени в определении устойчивости и ослаблению чрезмерно жесткого условия выбора области предельных отклонений. А. А. Лебедев [27] ввел в определение устойчивости заданный промежуток времени, а вместо неизменной области предельных откло­ нений (2.13) — изменяемую во времени область.

После этого определение устойчивости на конечном про­ межутке Г. В. Каменковым и А. А. Лебедевым было пред­ ставлено в следующей формулировке [19]:

Невозмущенное движение устойчиво на конечном интер­ вале времени П0І /0 + АП, если в пространстве (jq, ..., хп) может быть указан цикл V (і, хѵ ..., хп) = с*), обладаю­ щий на этом интервсиіе следующими свойствами:

S 4] Г Е О М Е Т Р И Ч Е С К И Й С М Ы С Л 3 6 5

(столбцовой матрицей типа п х 1), понятие устойчивости процесса на промежутке U0, Т) введем следующим образом.

то невозмущенный процесс устойчив на промежутке U0,T). В противном случае — неустойчив.

Отметим, что в предлагаемом определении устойчивости G (0 не предполагается заданной матрицей и, значит, не является заданной и область (3.2). Для устойчивости про­ цесса на промежутке Д = [t0, Т) требуется лишь существо­

вание в классе K t такой матрицы G (t), что при достаточно малом р условия (3.1), (3.2) соблюдаются.

О п р е д е л е н и е 2. Невозмущенный процесс назовем равномерно устойчивым на промежутке Іа, Т), если он устой­

асимптотически устойчивым на промежутке [а, оо), если

а) он устойчив на [а,оо) (в смысле определения 1) и б) для любого t0 £ [а, оо) существует такое р = р (t0) > 0, что все возмущения х (і) процесса, удовлетворяющие условию

(G~l (t0)x(t0), G - '( g x ( g ) < р2,

обладают свойством

lim|х (01= 0.

/-►со

§ 4. Геометрический смысл понятия устойчивости на заданном промежутке

В левой части неравенства (3.2) стоит эрмитова форма координат хг, х2, ..., хп (элементов столбцовой матрицы х), которая при любом х принимает только вещественное неотрицательное значение. Геометрически соотношение (3.2) в пространстве координат хъ х2, ..., хп при каждом