Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 119
Скачиваний: 0
384 |
Н Е К О Т О Р Ы Е У С Л О В И Я У С Т О Й Ч И В О С Т И |
[Г Л . XV |
устойчивости на промежутке U0, оо): max0 Reѵ0 ■ < 0.
Условие асимптотической устойчивости на І/0, оо):
maXo Re ѵст< — b |
(b > 0). |
§ 6. Об устойчивости на конечном промежутке нелинейного процесса по линейному приближению
Ниже устанавливаются некоторые условия устойчивости на конечном промежутке U0, Т) (Т < оо) процесса, пред ставленного тривиальным решением {х = 0) векторно-мат
ричного уравнения
*!L = U(f)x + h{tt x), |
(6.1) |
где U — квадратная матрица порядка п, |
непрерывная на |
[/0, Т), Іі — столбцовая матрица, элементы которой — не
линейные функции отклонений xs — таковы, что |
равномер |
||
но по t на промежутке [/„, Т) |
|
|
|
lim |
h |
_ о |
( 6 . 2) |
•ѵ-о |
И-VИ |
|
|
6.1. Теоремы об устойчивости по линейному приближ нию. Пусть ш(г!) — заданная функция, порождающая класс
п X п-матриц K t а К (I) == (К1 К2 ... К„) — невырожден ная и дифференцируемая на [/0, Т] матрица преобразования
уравнения линейного приближения
к уравнению
■ |
ч г - М О я |
|
с непрерывной диагональной матрицей |
А = diag (Х1( |
|
Я2, ..., А,„) при условии |
|
|
«*/(01 = 01(0 |
(/=1,2, . . . , |
п), |
где а (0 — положительная функция, непрерывно дифферен цируемая на U0, Т), причем а (t0) = со(/0).
Теорема 6.1. Пусть на промежутке [t0, Т) а (0 < со(0
§ 6] ОБ у с т о й ч и в о с т и н а к о н е ч н о м п р о м е ж у т к е 3 8 5
и
t
р , (/) =3 шаха |
1 |
*0 |
f ReХа dt < — b, |
(6.3) |
|
1 |
У |
|
|
где b — положительное |
число. |
Тогда невозмущенный |
про |
|
цесс (тривиальное решение уравнения (6.1)) устойчив на про межутке U0, Т).
Доказ ательство. Введем в рассмотрение мат рицу
0 ( 0 =
Ясно, что G (t) есть матрица класса /<“. Для доказатель
ства теоремы достаточно показать, что все решения урав нения (6.1), удовлетворяющие условию
|
(д *о, |
к -' (д х0) < |
рз, |
(6.4) |
при Y t £ \ t 0, |
Т ) удовлетворяют условию |
|
||
(G-‘(0 X, |
G~l (0 х) = |
-g - (К~' (t) X, |
K ~ l (t) X) < |
p3. (6.5) |
В уравнении (6.1) произведем замену переменных
Получим |
X = Ку. |
|
|
||
-Цн = |
K {t)y + M {t)h{t, Ку), |
|
где A4 = К—1 |
|
|
Функция |
—1 |
|
V (t,x) = |
||
(K~'(t)x, К~' (t)x) =|[ г/If |
является положительно определенной. Ее производная по і,
вычисленная в силу уравнения возмущенного процесса (6.1), представляется в виде
|
-^Г |
= 2 2 Re^ I уа I* + 2 Re(y*Mh), |
(6.6) |
|
al |
a=l |
|
где |
(o = 1, 2...... я) — элементы столбцовой матрицы у. |
||
Интегрируя |
(6.6) вдоль решения уравнения возмущен |
||
ного |
процесса, |
получим |
|
г і
V (t, X) = V (t0, х0) + j |
S 2 ReXa |ya [2 dt + |
j 2 Re{tfM h) di. |
g |
0 |
f* |
13 К. А. Абгаряя
3 8 6 |
Н Е К О Т О Р Ы Е У С Л О В И Я У С Т О Й Ч И В О С Т И |
[ГЛ . XV |
Преобразуем интеграл
I
/ = f S2Re^|*/<f<#.
Так как А (t) —диагональная матрица, векторно-мат ричное уравнение относительно у можно представить в виде
следующей системы уравнении первого порядка:
= К д а + Mah (ст=1,2, ... , п),
где Ма — строка о матрицы М.
Отсюда, переходя к дифференциальному уравнению от носительно модуля |г/0|и интегрируя это уравнение, полу чим
t |
|
f |
|
J 2Rek0dt Г |
Г ~ |
§ 2Rc}.adx |
Re(y„Mah) dt' , |
I ijo I2 = |
IУао I2 + 2 \ e |
'• |
|
где у оо= y a (t0). |
|
|
|
Тогда |
|
|
|
t’ |
|
|
|
'12Re).adx
/ = 22Re/W,e'. |
\yao fd t' |
+ |
|
|
|||
|
|
f |
|
r |
|
|
N |
‘ |
|
$2Re>.a<tt ft’ |
-$2ReM* |
|
|||
4- J 2 |
2 Re%ae<° |
J 2e '• |
|
Re(y'aMah) dt" dt' = |
|||
|
|
|
|
|
УоО |
t |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
Г |
|
|
i" |
|
|
|
|
£ 2ReAa(ft l' |
— J 2Re Kadx |
|
|
|||
+ |
Je'« |
J 2e |
|
Re{ylM0h) d f |
|
||
|
a |
V |
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
J 2Re?.a rfT |
|
—J2Rehadx |
|
=• |
|
|
|
e1° |
2e |
l° |
R&^ylMah) dt' |
||