Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

Скачать файл (16,48Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 125

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

5 I] О Ц Е Н К А Н О РМ Ы Р Е Ш Е Н И Я Л И Н Е Й Н О Й С И С Т Е М Ы

375

	Объединяя (1.14) и (1.15), получаем
				t
~)/~pm1п II		Уо II 6Хр		j (^mln 4” ^m In) d x			\|\| X \|\| ^
				< V p max ll^oll exP ]			ß max 4~ ^max) dx.			(1.16)
	Из (1.14)		имеем			to
	Из (1.14)		имеем
				11*0 II	<	1	ІІ*оII	Ы		<
			1/pmaxW				l^Pmin do)
	Учитывая это, наряду с (1.16)					будем еще иметь неравен
ства
	Ртах '■‘ о)		IIх	о IIexP i (*™іп + Ѵшіп)dx < IIX ( t ) II <
	Ртах '■‘ о)			У‘О
		<		Ртах (О	II х0II exp J (А,тах +			vmax) dx.		(1.17)
				Pmin Ѵ о)
	Последние неравенства можно представить и так:
					t
1*0\|\|ехр		1	I	Prnln W	4" I) (^mln 4" Vmjn)dT			< I U	( 0 i <
		2		Ртах do)	to
					to
				Pmax (0		t
	<11 *oll exP			Pmax (0		I (^max 4 “ v max) d x				(1.18)
	<11 *oll exP				4 “	I (^max 4 “ v max) d x				(1.18)
				Pm In d o )		*0
	При удачном выборе преобразования (1.12), когда Л
«близка» к диагональной матрице, а Н — к нулевой,										оцен
ки	(1.18) могут оказаться существенно лучше,								чем	оцен
ки	(1.3).								п X /г-матриц,
	1.4.		Условия устойчивости.				Класс	/(“	п X /г-матриц,
фигурирующий				в определении		устойчивости на заданном
промежутке			Д ,	определим, приняв CD ( t ) == 1.
	Ясно, что единичная матрица Е принадлежит классу
Кл, так что условия устойчивости будут соблюдены, если
все решения x ( t ) , удовлетворяющие неравенству

ІІ'^о II	< Р ,
удовлетворяют на заданном промежутке U0, Т) неравенству
I U '( 0	I ] < Р-

3 7 6

Н Е К О Т О Р Ы Е У С Л О В И Я У С Т О Й Ч И В О С Т И

[ГЛ. X V

Учитывая это и используя неравенства (1.3) и (1.18), можно сформулировать некоторые достаточные условия устойчивости, соответствующие случаю со (/) = 1.

Как это следует из неравенств (1.3), если

а™, (/) < 0

(/ е [*„, Т)),

то линейный процесс, представленный уравнением (1.1), устойчив на промежутке U0, Т); если

w o = -f>

р е й » «>)).

где b — положительная постоянная, то процесс асимпто тически устойчив на промежутке [/„, с о ) .

Аналогичные условия устойчивости вытекают из нера венств (1.18). Если

	_d_	In	Ртах СО	+	Ä-max (0 Ч -	ѵ т а х (0 0.	t € [*„. °°),
Т	dt		Ртіп «о) _
то	д,.нейцый процесс устойчив на промежутке U„, оо).
	Если
\_ji_			Ртах (0	+	^max (0 +	"Ѵтах	1e i*0, °°).
2	dt		Pmln С^о)

то процесс на промежутке [/„, оо) асимптотически устойчив.

§ 2. О диагонализаиии линейной системы

Т е о р е м а 2.1. Пусть U (і) — квадратная матрица порядка п, непрерывная на |/0, Т). Тогда преобразование

x = K{t)y

(2.1)

сневыроокденной и дифференцируемой на \tQ, Т) матрицей

Кприводит векторно-матричное уравнение

^ T	= V{t)x	(2.2)
к уравнению
^ Г	= Л(і)у	(2.3)

сдиагональной и непрерывной на [t0, Т) матрицей Л тогда

итолько тогда, когда

K(t) = X(t)CZ(t),

(2.4)

♣ 2]	О Д И А Г О Н А Л И З А Ц И И Л И Н Е Й Н О Й С И С Т Е М Ы					3 7 7
где X — единственное решение матричного уравнения
		^	= UX,	X (t0) — Е,		(2.5)
С — постоянная		невырожденная			матрица порядка	п,	а
Z — непрерывно		дифференцируемая и невырожденная					на
U0, Т) диагональная матрица порядка п.
Д о к а з а т е л ь с т в о .				При замене переменных (2.1),
(2.4)	уравнение	(2.2)	принимает		вид
			d y	г г — I d-2j		/ п
		n r = -		z	ЧТУ-	м
В силу свойств матрицы Z матрица преобразованного
уравнения
			A = - Z - ' ^			(2.7)

непрерывна на [t0, Т) и имеет диагональную структуру. Пусть, далее, К (t)— матрица преобразования (2.1),

приводящего уравнение (2.2) к виду (2.3). Тогда эта матри ца представима в форме (2.4). В самом деле, матрица К пре образования уравнения (2.1) связана с матрицами U и Л соотношением кинематического подобия

= UК - КА.

i' Учитывая это и используя (2.5) и (2.7), легко пока зать, что

A ( X - 1K Z - ' ) = о,

т.е. X~ lKZ~{ = const. Отсюда следует (2.4). Теорема доказана.

Из всего множества матриц К, определенных равенством (2.4) , можно выделить подмножество тех, столбцы которых имеют заданную норму. Имея в виду, что С = (сх с2 ...с„) (са — столбцовые матрицы), a Z в общем случае может быть представлена в виде

Z = diag(/-je1'0-, г2еІѲц ... , гпеіѲД,

где ra (t) и Ѳа (t) — непрерывно дифференцируемые веще ственные скалярные функции, причем ra (t) > 0 (ст = 1, 2, ..., п) при всех t из промежутка [£„, Т), в соответствии с

378 Н Е К О Т О Р Ы Е У С Л О В И Я У С Т О Й Ч И В О С Т И (ГЛ. X V

налагаемым на норму столбцов матрицы К условием

\|\|7 С а \|\| =	с х ( 0 > 0	( С Т = 1, 2, . . . ,	п)		(2.8)
имеем
Z = ct(/)diag		J6,	е	п	(2.9)
Z = ct(/)diag		\Хс.	IХ^п		(2.9)
		\Хс.	IХ^п
Таким образом, может быть сформулирована еще сле
дующая	2.2. В условиях теоремы 2.1		при дополни
Т е о р е м а	2.2. В условиях теоремы 2.1		при дополни

тельном ограничении (2.8), где а (t) — непрерывно диффе ренцируемая положительная функция, общее выражение для матрицы преобразования уравнения (2.2) к виду (2.3) представляется соотношением

		К = XCZ,
где Z	определено	равенством (2.9).
С л	е д с т в и е .	В условиях теоремы 2.2

Re А =	diag	d in № 1 1		’	d )n	l\|Xc„\|\|
Re А =	diag	at	а		dt	а
		at	а		dt	а
			dQn	)		( 2. 10)
			dQn	)	•
			dt	I	•
Эти	соотношения		получаются путем подстановки (2.9)
в (2.7).

§ 3. Пучок решений линейной системы

Построим пучок решений векторно-матричного уравне ния (2.2), берущих начало внутри и на поверхности эллип соида

(Но1х0, #(ГЧ>)<Ра.

(3.1)

где Н0 — постоянная квадратная матрица порядка п, столб цы которой имеют норму, равную со° > 0.

Пусть

х = K(t)у

(К = КгКг ■.. Кп))

(3.2)

— преобразование, приводящее (2.2) к диагональному виду

= А (0 У (А = diag (^ , \ ...........

К))

(3.3)

$ з]	П У Ч О К	Р Е Ш Е Н И Й Л И Н Е Й Н О Й	С И С Т Е М Ы	379
при	условиях
	K(t0) = HQ,	\|j/С/(ОII = а (0	(/ = 1,2, . . . .	я),

где а (t) — непрерывно дифференцируемая положительная функция, причем

a(t0) = со°.

Матрица К (t) с указанными свойствами существует, ибо постоянную матрицу С всегда можно выбрать так, чтобы

K(t0) = x ( t 0) c z ( t0) = H0.

В соответствии с (3.2) и (3.3)

t
X — Кехр \h .d ty ü	(у0 = y(t0)).	(3.4)
to
Совокупность вектор-функций (3.4), ограниченная ус
ловием
ІУо, # о )< Р 2>		(3-5)