Файл: Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf

Здесь

t

М 9 = т = г^ j t e b ° V ) d t . tо

Легко видеть, что

®о(^о) = а (^о) = ® >

H(t0) = K(t0) = H0.

Таким образом, пучок решений уравнения (2.2), беру­ щих начало внутри и на поверхности эллипсоида (3.1), представляется соотношением

§ 4. Теоремы об устойчивости линейной системы

Класс Яд — матриц в п. 1.4 настоящей главы был опре­ делен условием со (t) == 1. В данном параграфе, исполь­ зуя соотношение (3.8), выясним условия устойчивости линейной системы на заданном промежутке времени, рассмат­

ривая Яд как класс, определенный заданной положитель­ ной функцией со (t) (не обязательно постоянной).

Если

«о (0 0 ( 0 (t£[t0,T)),

то всегда можно построить рш-трубку, пределы которой не покидает ни одно из тех решений уравнения (2.2), которые

а это означает, что решение х° (t) в пределах промежутка [/», Л не покидает пределов рш-трубки (4.1).

то невозмущенный процесс {решение уравнения (2.2)) устой­ чив на промежутке [/0, Т).

Те о р е м а 4.2. Пусть на промежутке [tü, Т)

а(0 ■< ш (t)

и

р (0 < 0 (р (0 = гпахаРа (0)-

Тогда невозмущенный процесс (решение уравнения (2.2)) ус­ тойчив на (t0, Т).

Те о р е м а 4.3. Пусть на промежутке [t0, Т)

а(t) С со (/)

и

процесс (решение уравнения (2.2)) асимптотически устойчив на U0,oo ).

Наконец, приведем еще одну теорему, определяющую условие существования конечного промежутка времени, на котором процесс устойчив.

Те о р е м а 4.5. Если на промежутке [/0, 4)

а(t) С со (t)

на котором невозмущенный процесс (решение уравнения (2.2)) устойчив.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Условие (4.2) эквивалентно неравенству

М(to) ^

а последнее соотношение влечет за собой, в силу непрерыв­ ности функции р, (t), выполнение неравенства

р(0 < О

впределах некоторого конечного промежутка U0> Т), и по­ тому, согласно теореме 4.2, невозмущенный процесс (реше­

ние уравнения (2.2) устойчив.

§ 5. Случай стационарной системы

Рассмотрим процесс, представленный уравнением

где U — постоянная квадратная матрица порядка п. Для простоты ограничимся случаем, когда U — матрица прос­ той структуры. В этом случае фундаментальную матрицу системы (5.1) можно представить в виде

непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая

В формуле (2.4), представляющей матрицу преобразова­ ния уравнения (5.1) к уравнению с диагональной матрицей

*) Если ш(/) — сама непрерывно дифференцируемая функция, то в качестве a(t), которая определяет норму столбцов матрицы преобразо­ вания уравнения (5.1) к уравнению с диагональной матрицей, можно принять заданную функцию u>{t).

то невозмущенный процесс (решение уравнения (5.1)) устой­ чив на промежутке Н0, Т).

Условие асимптотической устойчивости на [tQ} оо), как это следует из теоремы 4.4, имеет вид

В зависимости от вида заданной функции со (і!) и проме­ жутка [г“0, Т) условия (5.2) и (5.3) приобретают ту или иную форму. Рассмотрим некоторые частные случаи.

1) со (t) == const. Полагая а = со, условие устойчивости получаем в виде

ные постоянные. Принимая в качестве а (t) произвольную непрерывно дифференцируемую функцию, заключенную между теми же числами coLи со2, получаем следующее условие