Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 113

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

30

ГЛ.

1. ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО РОДА

где

и — некоторое

положительное число. Так как множество К

компактно, мы можем в соответствии с леммой 1 . 27 отыскать такую-

окрестность

U

точки s, что К

f| TU = 0.

Можно допустить,

что

границей для U служит некоторая окружность, касающаяся веще­

ственной

оси

R.

Покажем, что

V |~| TU = 0.

Пусть

это

не так

и

П

V Ф

0

при некотором у 6 Г. Так

как y(s) Ф

оо, то грани­

цей

для

y(U)

служит

окружность,

касающаяся

R.

Поэтому

если

у(Щ

П УФ

0,

 

то y(U)

П Ьф

0,

п, следовательно,

y(U)

пересе­

кается с множеством, получающимся из множества К сдвигом посред­

ством

какого-либо элемента

из Г<», т. е.

существует

такой

элемент

б

группы Г » ,

что y{U) П й(К) ф

0 .

Но

тогда 8-гу{и)

Л

Кф

 

0,

и

мы

получили

противоречие. Доказательство закопчено.

 

 

 

 

 

 

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1 . 29 . Фактпорпространство

Г\<§*

 

локально

ком­

пактно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Наша

задача состоит в доказательстве-

того,

что если

s — произвольная

параболическая

точка

группы

Г

и

 

я — естественное

отображение

пространства

,<р*

в

Г\§*,

то>

n(s) обладает компактной окрестностью. Можно считать, что

s =

 

оо.

Согласно лемме

1 . 26 и следующему

за ней замечанию, существует

такое положительное с, что для окрестности

V =

{z £ <g* | Im(z) ^

^

 

с)

факторпространство

Гоо\У

отождествляется

с

n(V).

Если

~1

hi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

I

— образующая

группы Г » по модулю

± 1 , то n(V)

совпадает-

образом множества {z £ V \ z = оо или 0 ^ Re(z) ^ | h |} при отображепип я. Последнее множество, очевидно, компактно; сле­ довательно, компактно п n(V), а это и требовалось доказать. (См. также § 1.5, где будет показано, что T\!Q* обладает структурой некоторой римаиовой поверхности.)

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.30. Пусть Г и Г' — соизмеримые дискретныеподгруппы группы SL2 (R) (см. стр. 2 0 ) . Тогда Г и Г' имеют одно- и то же множество параболических точек.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточно рассмотреть случай, когда

Г'

с

Г

и [Г : Г'] < . оо. Если

s — параболическая точка группы

Г',

то,

очевидно, она параболичиа и для Г. Если же s — параболическая

точка для Г, то a(s)

= s при

некотором

параболическом элементе сг

группы

Г. Имеем

а" £ Г' для

некоторого натурального

числа

е.

Но тогда элемент о" параболичен и oe(s)

= s. Поэтому точка s являет­

ся параболической для Г', что и требовалось доказать.

 

 

 

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1 . 3 1 . Пусть

Г и Г ' те же, что и в предложении 1 . 3 0 .

Тогда

факторпространство

T\SQ*

компактно

в том и только

том

случае,

когда компактно Г'\£3*.

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Вновь мы можем предположить, что*

Г'

с : Г,

[Г : Г'] <С оо. Если

Г'\ф* компактно,

то в силу

непрерыв-

§ 1.3. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО r \ j p *

31

ностп естественного проектирования Г'\<д* —>- Г\ф* факторпространство Г\<§* обязано быть компактным. Обратно, еслп ком­ пактно Г\^*, то рассмотрим проектирование я (соответственно л') пространства ig* в факторпростраиство Г\1§* (соответственно в Г'У§: | ! ). Доказательство предложения 1.29 показывает, что каж­ дая точка в T\$Q* имеет окрестность, являющуюся образом при отображении я некоторого компактного подмножества из ,<д*. Так как Г\§* компактно, мы можем найти конечное множество таких компактных подмножеств Uh из <§*, что Г\.£>* = U n(Uk). После

этого

можно

найти конечное

к

что

число таких элементов сс;- из Г,

Г =

у Г'а,-.

Но

тогда Г'\@*

= U я'(а,-£/;,). Следовательно,

про-

 

з

 

компактно.

з, h

 

странство ГД.'д*

 

 

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.32. Если Г\<д* компактно, то множество неэквивалентных относительно Г параболических (соответственно эллиптических) точек конечно.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

С (соответственно

Е) обозначает

множество

всех

параболических

(соответственно

эллиптических)

точек группы Г.

Для каждого z £

выберем окрестность Uz точки z

в полуплоскости

<g так, чтобы пересечение Uz (] Е либо было пустым,

либо содержало

только {z}. Это возможио в силу предложения 1.7.

Согласно

лемме

1.26, для каждого

s £ С можно найти

окрестность

Us точки

s, не

содержащую

ни одной эллиптической

точки. Пусть

я — проектирование пространства

$д* на Г\^*. Если

пространство

Г\$з* компактно, то мы можем отобрать конечное число множеств

вида

n(Uz)

или n(Us),

покрывающих

Г\^*. Но тогда число

точек

в я(С) (соответствеиио

в

л(Е))

не превосходит

числа

множеств

n{Us)

(соответственно я(£/2 )),

которые

обязаны покрывать простран­

ство Г\<§*. Доказательство закончено.

 

 

 

 

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

1.33.

Если

факторпростраиство

ГД.'д

компактно,

то в группе

Г нет параболических

элементов.

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть я — проектирование

простран­

ства

<§ на

Г\*д.

Предположим,

что

оо — параболическая

точка

группы Г. Выберем бесконечную последовательность

{ z n }

точек

полуплоскости

<§,

для

которой Im(z n ) - > - оо.

Согласно лемме

1.26,

существует

такая

окрестность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

=

{z

(Е £ *

| Im(z) >

с}

 

 

 

точки

оо, что

Г »

= {у

£ Г

| y(U)

П

U Ф 0 }. Но

тогда

zn £ U для

достаточно больших 7г. Так как ни один элемент из Г«, не изменяет

Im(z). то две точки последовательности

{zn}, обладающие различными

и достаточно большими мнимыми частями, не являются

Г-эквива-

лентными. Поэтому {я(г п )} содержит

бесконечную

последователь­

ность различных точек из Г\§. Если

пространство

Г\§

компакт­

но, то существует такая точка w в полуплоскости SQ, что

n(w) слу-

32

ГЛ. 1. ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО РОДА

жит предельной точкой для {я(г п )} . Пусть К — компактная окре­ стность точки w. Согласно лемме 1.27, существует такая окрестность У точки оо, что К П ГУ = 0 . Но это противоречит тому, что n(zn ) £ л(А') П п(У) для достаточно больших п.

§1.4. Модулярная группа SL2 (Z)

Вэтом параграфе мы проиллюстрируем предыдущие рассмотре­ ния иа примере модулярной группы SL2 (Z). Очевидно, что SL2 (Z) — дискретная подгруппа группы SL2 (R). Определим ее параболические

иэллиптические точки.

Сначала покажем, что параболические точки группы Г = SL2 (Z)

составляют

множество Q [] {оо}. Очевидно, точка оо

является

неподвижной

относительно параболического элемента

П

1"

груп­

О

1.

 

 

 

пы Г. Если "а Ъ~ — произвольный параболический элемент нз Г,

сd_

то он имеет ровно одну неподвижную точку s. Если эта точка конеч­

на, то справедливо

соотношение

cs2

(d — a)s—b = О, с Ф 0.

Так как дискриминант этого уравнения равен нулю, точка s должна

содержаться в множестве

Q. Обратно, для числа p/q £ Q,

где р £ Z,

q 6 Z, (р, q) =

1, выберем целые числа t и и так, чтобы pt

— qu = 1.

Г р

ы ~|

о(оо)

 

 

Ввиду

того что образ

произ-

Тогда о =

£ Г и

=

piq.

_?

U

 

 

 

 

 

 

 

 

вольной параболической

точки

относительно

любого

элемента

груп­

пы Г — точка

параболическая,

это

показывает, что все

точки из

Q [J {оо} являются параболическими для Г. Кроме того, мы пока­

зали, что все

параболические

точки

эквивалентны

параболической

точке оо. Итак, Г\^§* = (Г\£)) U {оо}.

Далее, опишем эллиптические точки группы SL2 (Z). Если о — эллиптический элемент из SL2 (Z), то | tr(o) | является целым числом, которое, согласно предложению 1.12, меньше 2. Поэтому характе­

ристический многочлен элемента

о совпадает

либо с х2, 4- 1,

либо

с

хг±

х - f

1, так что а4 =

1 или а6 =

1 и а2

ф

1

х ) . Если

а6

= 1,

то

а3 =

±

1. В случае а3 =

— 1

имеем

(—а)3

=

1.

Таким

образом,

для определения эллиптических элементов (или точек) достаточно

рассмотреть случаи а4

=

1 и а3 =

1 2 ) .

1 ) Рассуждать можно

и

так: если

£ — характеристический корень пре­

образования а, то он удовлетворяет некоторому квадратному уравнению с рацио­ нальными коэффициентами, так что [Q(fc) : OJ ^ 2. Поэтому ат = 1, где т =

=2, 4. 3 пли 6. Такое рассуждение проходит и в случае, когда вместо Q рас­

сматриваются поля алгебраических чисел более высокой степени.

2 ) Читатель, которого затруднит приводимое ниже рассуждение, может опустить его, заменив его упражнением 1.34. Мы надеемся, что читателю удастся решить эту несложную задачу, но па всякий случай сообщаем, что это решение можно найти на стр. 127 книги Серра [ 2 * ] . — Прим. ред.

§ 1.4. МОДУЛЯРНАЯ ГРУППА SL.(Z)

33

СЛУЧАЙ 1:

а4 = 1. Пусть

Z 2 — модуль вектор-столбцов

с целыми а и Ь, и пусть Z[a] действует на Z 2 посредством левого умно­

жения. Так как

Z[a] изоморфно

Zli], то кольцо Z[a] является коль­

цом главных идеалов. Модуль Z2 , рассматриваемый над Z[a], без

кручения, ибо из равенства (а +

Ьа)х =

0 вытекает, что (а2 -+- Ь2)х

=

=

0;

следовательно,

х = 0, если

a +

bo Ф

0.

Поэтому

Z 2

должен

быть свободным модулем над Z[a] и иметь ранг

1,

т. е. Z 2

=

Ъ[о]и

при некотором и £ Z2 . Положим у = о"и. Тогда и и у образуют

базис

модуля

Z 2 над

Z. Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а -[и

v]

— [и и]

"0

-

1

"

 

detUi

v]

= ; ' ±

1-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_ 1

 

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

-

 

Если

 

dettit

У] = 1, то

этим показано,

что

 

о"

сопряжен

с

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в группе SL2 (Z). Если же

detlu v]

=

— 1 , то

a =

т

 

0

1"

 

 

1

0

а

при

х

== [и

и].

Таким

образом,

каждый

эллиптический

элемент

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г0

— 1 "

. Поэтому каж-

в SL2 (Z) порядка 4 сопряжен в SL2 (Z) с

±

1

 

0

 

дая

эллиптическая

точка

порядка

эквивалентна

неподвижной

точке элемента

"0

— 1

 

 

 

 

<е i.

^ Элемент

0

 

- -11

не сопря-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

т. е. точке

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

жен

с

в

силу

предложения

1.22.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СЛУЧАЙ

2:

a 3

=

1.

Очевидно,

кольцо

Z[a]

изоморфно

кольцу

Z[e2ni/3],

являющемуся

кольцом

главных

идеалов.

 

Поэтому

снова

Z 2

=

Z[o]u

при

некотором

и.

Положим

v =

ои.

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

а Ли

v] =

[и

v]

0

 

1"

 

dettu

и] = + 1 -

 

 

 

 

 

 

 

1

-

1

 

 

 

 

 

Поэтому элемент о сопряжен либо с т

= "0

- г , либо с

т 2

= " — 1

Г

 

 

- 1 - 1 .

 

 

 

_ -

i о.

ка 3 эквивалентна точке е ^ / з . (Элемент т не является

сопряженным

для элемента

т2 в группе SL 2 (R), согласно предложению

1.22.)

 

Для произвольной дискретной подгруппы Г группы SL 2 (R) мы

будем называть подмножество F полуплоскости

$

фундаменталь­

ной областью

факторпространства

Г\<§

(или

просто

группы

Г),

если: (i) множество F открыто и связно в

<g; (ii) никакие

две точки

из F не являются эквивалентными относительно Г; (iii) каждая

точка полуплоскости <§ эквивалентна

относительно Г некоторой

точке замыкания множества F. Можно показать, что каждая группа

Г обладает фундаментальной областью.

Явное построение фунда-

3—01118

Смотрите также файлы