Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

§ 9.2. ФУКСОВЫ ГРУППЫ

299

содержащийся

(соответственно

не содер>кащийся) в Рв,

называется

разветвленным

(соответственно

неразветвленным) в В.

Справедливы

следующие утверждения:

(9.2.4) Множество Рв конечно

и состоит из четного числа простых

дивизоров.

числа

архимедовых

или

неархимедовых

простых

дивизоров

поля

F,

существует

кватернионная

алгебра

В над

F,

един­

ственная

с

точностью

до

F-линейных

изоморфизмов,

для

которой Р =

Рв.

(9.2.6) Квадратичное

расширение

К

поля F

погружается

F-линейно

в алгебру

В

тогда

и

только

тогда,

когда

К ®FFV

—

поле

для каждого

простого

дивизора

v £

Рв.

например, А. Вейль [10]). Заметим,

что множество Рв

содержит

ровно

g — г

архимедовых

простых

дивизоров,

соответствующих

сомножителям

В <*Т+\ =

• • • =

В *,g

= Н.

Множество

Рв

может

быть пустым; в этом случае В = M2{F).

Поэтому В

— алгебра с деле­

нием, если РБ

непусто и, в частности, если g >

г.

Рассмотрим теперь случай г =

1. Здесь алгебра В либо

является

алгеброй с делением, либо изоморфна алгебре M 2 ( Q ) . Поэтому группа

Г' из

предложения 9.3 всегда есть фуксова

группа первого

рода,

а факторпространство Г'\^

компактно, если

алгебра В не изоморф­

что проектирование поля F на первый сомножитель

G L ^ R ) группы

<?оо+ (т. е.

%i

в прежних

обозначениях)

является

тождественным

отобрая{ением

поля

F.

Это

предположение

не

так

уж необходимо,

но благодаря нему рассуждения становятся проще.

Пусть К,

q и w те же, что в предложении 9.4. В силу сделанного

предположения

w~

= р

или q (р)

~w '

= р

~w'

1

1

1

1

для всех u. £ К. (Мы рассматриваем поле К как поле

алгебраических

чисел в смысле пункта 0.4, так что К — подполе поля

С.) Отображе­

ние q мы называем нормализованным, если q(\i)

W

=

р.

для

_ 1 -

всех р £ К. Если g нормализовано, то и отображение q ,

«комплексно

сопряженное» с ним п определяемое равенством g'(u-) =

ff'(n),

нор­

мализовано. Таким образом, нетривиальные неподвижные

точки

группы GQ* на полуплоскости <Q находятся во взаимно

однозначном

которые там рассматривались.

В любом случае нас будут интересо­

вать значения автоморфных функций в этих точках.

Прежде чем обратиться к дальнейшему,

рассмотрим один пример

представления Ч ;

пз

§ 8.2.

Пусть

рг — проектирование группы GQ

в £-й сомножитель группы Goo. Заметим, что отображение pt

инъек-

тивно. Предположим, что g >

1, и пусть Г и Г'

те же, что в предло­

жении 9.3. Тогда

Pi — изоморфизм группы Г

в группу Г'.

Если

£>•

1, то Pi

отображает

Г в пространство Н". Хорошо

известно, что

существует

гомоморфизм / группы Н" на

SO(3)

=

{X

6 GL 3 (R) IгХХ

=

13 },

для

которого Кег(/)

=

{ ± 1 } -

Поэтому отображение

/ о р г о р ^ 1

для

i >

1 переводит

Г'

в

некоторую

компактную

подгруппу

группы

G L 3 ( R ) . Это

дает пример представления ХУ,

рассмотренного

в § 8.2.

Далее, можно получить интересные примеры Г'-модулей D,

удовле­

творяющих

условию

(8.4.3),

пз

модулей,

связанных с

f°Pi°PiX,

построения

таких

модулей.

Отождествим

FA

с некоторой

подгруппой

группы

GA

и

обозна­

чим через

Fc замыкание произведения F"F^+

в

FA.

Легко

прове­

рить,

что

FcGoo+

— замыкание

группы F*Gco+

в GA.

Обозначим

через

% множество

всех открытых подгрупп

S

группы

GA+,

содер­

S/F°Goo+ компактно. Для каждой группы S £ S

положим

(9.2.7)

Г 5

= 5 П

GQ+.

Заметим,

что F* cz Ts.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 9.5. Для каждой

группы S

группа

Ts/F* как

группа преобразований полуплоскости

<д является

фуксовой

группой

первого

рода.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

как

группы Г в

u Ts- соизмеримы

для любых двух элементов S и S'

множества %, достаточно

доказать

§ 9.2. ФУКСОВЫ ГРУППЫ

301

где

о р =

о ® z Z p

и

Т =

R

[\ GA,

S =

Р*Я,

Г л

=

Л f ^ Q * ,

Г г =

Т П GQ. Тогда

5 £ S и

Г 5

=

Р Т Н .

Пусть £

— группа всех единиц в F. Тогда

v{x)

6 £ ,

если х

£ Г д .

Положим

£<2> =

{е2

| е £ £ }

и

Г'

== {у

£ Г л

| v(-y) 6 #<2 >}.

Тогда

число

[Г н

: Г']

конечно,

так

как

конечно

[Е : 2?<2 > ].

Если у 6 Г',

то V(Y) =

е2

при е 6 Е, так что г(е_ 1 у)

= 1 . Так как е £ R,

то элемент

e - 1 Y

содержится в Г т . Этим доказано

включение Г' сг ЕТТ.

Из

опре­

деления групп

Г'

и

Г т

следует,

что

ETTcz

Г',

откуда

Г' =

ЕТТ.

Поэтому

[ Г в

: F T r

] =

IFXTR

: FT]

< [ Г я

: Г']

< со.

Как мы видели выше, согласно предложению 9 . 3 , группа

Г т —

фуксова группа первого рода. Предложение доказано.

Определим гомоморфизм а из GA в группу

Gzd(Fab/F)

равенством

а(х) =

[v(x)~\

F]

(х

6

GA).

(По

поводу

обозначения

[s,

F]

при

s £ FA

см. § 5 . 2 . ) Очевидно,

Fx -v(S)

— открытая

подгруппа

в ~FA

конечного индекса

для

любой

группы 5

6 S.

Согласно

теории полей классов, этой группе соответ­

мы обозначаем его через ks.

В

такой

ситуации справедливы

лем­

мы 6 . 1 6 и 6 . 1 7 . Следует отметить, что лемма

6 . 1 5 остается

справедли­

вой, если заменить в ее формулировке SL2 (^4)

на GA,

что

обеспечи­

вается

аппроксимационной

теоремой

Эйхлера

[ 1 ] и

Кнезера [ 1 ] .

Теперь мы имеем все необходимое для формулировки первой

•основной

теоремы

этого параграфа,

обобщающей результаты

§ 6 . 7

и теорему 6 . 3 1 .

ТЕОРЕМА

9 . 6 . Существует

система

{Vs,

ф в , / Г 8 ( ж )

(5,

Т

£Z;

x£GA+)},

образованная

объектами,

удовлетворяющими

следующим

условиям:

( 1 )

для

каждой

группы

S £ Е пара

(Vs,

cps) представляет

собой

модель

факторпространства

$Q*/TS

в смысле

§ 6 . 7 , где

<Q* —

полу­

плоскость

<Q или

объединение

SQ I) Q U {СО} в зависимости от того,

является

алгебра

В

алгеброй

с

делением или

нет;

(2)

кривая

Vs

определена

над

ks;

( 3 )

отображение

JTs(x),

определенное

тогда

и только тогда,

когда

xSx'1

а

Т,

является морфизмом

кривой

Vs

на кривую

Vpx\

рацио­

нальным

над

ks

и

таким,

что

(За)

JTs(x)

— тождественное

отображение,

если х 6

S,

( 3 6 )

JTS(x)°(v)°JsR(y)

=

J T

R M

,

302

ГЛ. 9. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ФУКСОВЫ ГРУППЫ

(Зв) J T s i a )

Ws(z)}

= Фг(а (2 ))

для каждого

а £ GQ+ и

каждого

z £ <р

(если

а 5 а _ 1 с г Г);

( 4 )

если

К — чисто мнимое

квадратичное расширение

поля F,

q — нормализованный

F-линейный

изоморфизм

поля

К в В и w —

неподвижная

точка

группы

q{Kx) на полуплоскости

<§ (см. предло­

жение

9 . 4 ) , то для каждой

группы

S 6 % точка <ps(w)

рациональна

над Каъ,

кроме

того,

для каждого

и £ КА

сргИ [ и ' Щ

= JTsiqiu)-1)

WsHl,

где Т =

q{u)-xSq(u).

Такая

система единственна в следующем

смысле.

ТЕОРЕМА 9 . 7 . Если

две системы

{VS, cps , JTs(x)}

И {V's,

фя,

J'TS{X)}

фё =

Ps ° <Ps>

J'TS{X)

° Ps = PfX)

°JTS(X)

при всех S, T из % и всех таких х £ GA+, что xSx^a

Т.

Легко

сформулировать обобщение

предложения

6 . 3 3 ; мы остав­

ляем это читателю в качестве

упражнения.

Далее,

чтобы

обобщить

теорему

6 . 2 3 , введем

в рассмотрение

множества

%s=

if-4>s\feks(Vs)},

% = U %s-

Кроме

того, /cs = Fab

Л %s и

^аь = С П

Для

каждого х £ GA+ можно

определить

автоморфизм х(х) поля

% над полем F равенством

( 9 . 2 . 8 )

(/ о Ф т

) « * >

=

f*

°

JTS(X)

О Ф

В

(/ е

ЫУт),

s

=

х-гтх).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 9 . 8 . Символ х(х) обладает

следующими

свойствами:

(i) х(ху) =

х(х)х(у),

т. е.

х

определяет

гомоморфизм

группы

GA+

в группу

Aul(%/F);

(ii)

х{х) =

а(х) на

Fab;

( i i i)

/гт<а> (z) = h(d(z))

для каждого

h £

каждого

ос £ (?Q+

и

каждого z £ |3-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Свойство

(ii) вытекает прямо

из опре­

деления ( 9 . 2 . 8 ) ; (i) следует

из равенства

( 3 6 ) теоремы

9 . 6 ; (iii) —

из равенства (Зв) теоремы 9 . 6 .

Теперь теоремы 6 . 2 3 и 6 . 3 1 можно обобщить следующим

образом.