Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 84
Скачиваний: 1
определенной в 2.6. Отмеченный элемент в этом случае совпадает с нулевым элементом группы когомологий.
Опять можно определить когомологическое множество с коэф фициентами в произвольном предпучке. Для краткости мы приве дем определение только для случая канонического предпучка, т. е.
для |
случая самого пучка <©. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
К о г о м о л о г и ч е с к о е м н о ж е с т в о |
# ' ( U , © ) |
|
|
|
|||||||||||||||
Пусть |
U = |
{Иі)ШІ |
— |
открытое покрытие |
пространства |
X. |
|
||||||||||||
W-коциклом |
называется |
функция |
/, |
|
сопоставляющая |
упоря |
|||||||||||||
доченной |
паре |
i, j элементов из I элемент |
Іц є |
Г (Ut {] 0/, |
©) |
||||||||||||||
таким образом, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ftiUk^fik |
|
в |
Utr\U,[\Uk |
|
|
|
|
|
|
|||||
для |
всех |
i, |
/, |
k є= I . |
Равенства такого |
типа |
|
всегда |
понимаются |
||||||||||
как |
равенства |
между ограничениями сечений на общую область |
|||||||||||||||||
определения. Из определения |
|
с л е д у е т , |
что |
fu |
|
равняется |
единич |
||||||||||||
ному Э л е м е н т у |
В |
T(Ui, |
© ) |
И |
ЧТО fij |
= |
fji. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Множество U-коциклов будем обозначать через Z1 (II, <5). Ко |
|||||||||||||||||||
циклы f |
и f |
называются эквивалентными, |
если |
для любого |
і є / |
||||||||||||||
найдется |
элемент |
^ , е Г ( ( / ; |
, |
©), такой, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Уц= |
SfftiSt |
в Ulr\Ui |
для всех |
i, |
j є= /. |
|
|
|
|||||||||
Когомологическим |
|
множеством |
Я 1 (U, |
©) |
называется |
множество |
|||||||||||||
классов эквивалентности U-коциклов. Пусть |
23 = { |
V |
— |
покры |
|||||||||||||||
тие, |
вписанное |
в U, и пусть |
т — отображение |
из 7 в I , такое, что |
|||||||||||||||
Vr с Uxr |
для всех |
г є |
/ . Тогда |
U-коцикл / определяет 23-коцикл x*f |
|||||||||||||||
равенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(т*/)г, 5 = fxr, is в |
Уг Л V, |
ДЛЯ ВСЄХ |
Г, S. |
|
|
|
|
Отображение т* индуцирует естественное отображение
й: Я ' ( и , © ) - > Я ! ( 2 3 , <5)
с такими же свойствами, как и в лемме 2.6.1. Если 'х — другое отображение из / в I с Vr с : то сечения gr = fxr,'%r опреде ляют эквивалентность
|
(V/)r _ a = |
g'1 |
(т7)Г і sgs |
в |
Vrr\Vs |
для всех |
r, |
s^J |
|||
между |
4 7 |
и т7- |
Следовательно, отображение |
не зависит от |
|||||||
выбора |
отображения т. |
|
|
|
|
|
|
||||
Когомологическое множество Н1(Х, |
©) представляет собой пря |
||||||||||
мой предел |
множеств |
Я 1 (11,©) |
по' отношению |
к |
отображениям |
||||||
t%, когда |
U пробегает |
все собственные открытые |
покрытия прост |
||||||||
ранства |
X (см. 2.6 |
и начало |
§ 2). Можно показать, что если по |
||||||||
крытие 23 вписано в U, то отображение |
4 взаимно однозначно, т. е. |
||||||||||
Я ' ( и , 6 ) |
можно |
рассматривать |
как |
подмножество |
в Я 1 (23, ©) . |
Если U и 23 |
конфинальны, то |
Н1(\Х, ©) |
естественным |
образом |
|
отождествляется с Я 1 (23, 6 ) . Отсюда следует, |
что Н1(Х, <5) |
можно |
|||
рассматривать |
как объединение |
множеств |
Я 1 |
(11,6), когда |
U про |
бегает все собственные открытые покрытия X. Отмеченный эле
мент 1 є Я ' ( І , 6 ) |
представим- |
коциклом |
= 1 е |
Г(^/4 иf/j,<5) |
для любого открытого покрытия |
U = {[/f}i e =7 . |
|
|
|
Рассмотрим теперь частный случай, когда G— топологическая |
||||
группа, а © — пучок |
ростков функций со значениями |
в G. Функ |
ции могут быть непрерывными, гладкими или голоморфными в за висимости от структур на X и G. Мы будем отмечать эти случаи
символами Gc , Gb, |
Gm , |
что согласуется |
с обозначениями |
из |
2.5. |
|||||||||||
Если |
X — топологическое |
пространство |
и |
G — топологическая |
||||||||||||
группа, то |
Gc |
есть |
пучок, |
для которого |
Г(£/, Gc ) |
совпадает с груп |
||||||||||
пой непрерывных отображений из 0 в G. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Если |
X — гладкое многообразие |
(см. 2.5) |
и G — вещественная |
|||||||||||||
группа Ли, |
то |
Gb |
есть |
пучок, для |
которого |
T(U,Gb) |
совпадает |
|||||||||
с группой |
гладких |
(т. е. дифференцируемых |
класса |
С°°, см. 2.5) |
||||||||||||
отображений U в G. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если X — комплексное |
многообразие |
(см. 2.5), |
a |
G — комплекс |
||||||||||||
ная группа Ли, то GM есть пучок, для |
которого |
Г (С/, бщ) |
совпа |
|||||||||||||
дает с группой |
голоморфных |
отображений из U в G. |
|
|
|
|
||||||||||
С о г л а ш е н и е . |
Если |
речь идет |
о пучке |
Gb над |
пространством |
|||||||||||
X, то мы будем молчаливо предполагать, что |
X — гладкое |
много |
||||||||||||||
образие, |
a |
G — группа |
Ли. Если речь идет |
о |
пучке |
|
Ga |
над |
X, то |
|||||||
X предполагается комплексным многообразием, a |
G — комплекс |
|||||||||||||||
ной группой Ли. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пучок GiHap, X есть подпучок пучка Gc . Пучок GM над X есть |
||||||||||||||||
подпучок пучка Gb. Имеем естественные отображения |
|
|
|
|||||||||||||
|
Н\Х, |
Gb)^Hl(X, |
|
Gc ), W(X, |
G e |
) |
G |
b |
) |
, |
|
(1) |
||||
а также |
их композицию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
W{X, |
Ga)-*Hl(X, |
Gc). |
|
|
|
|
|
|
Если G'-> G — непрерывный (или гладкий, или голоморфный) го моморфизм топологических групп (или групп Ли, или комплекс ных групп Ли), то имеем гомоморфизмы пучков
|
|
Gc->GC , |
б ь -> Gb, |
G b - > G o j |
|
|||
и естественные |
отображения |
|
|
|
|
|
||
Я'(Х, G't)-*Hl(X, |
Gc ), |
W(X, |
GO-* |
|
|
|
||
|
|
|
->Hl(X, |
Gb), |
Hl(X, |
0'ш)^Н1(Х, |
G(o). (2) |
|
Если |
G'=G |
и /г является |
внутренним |
автоморфизмом, |
||||
/г (g) = |
a~lga |
(g є |
G), определяемым элементом а є |
G, то |
||||
все естественные отображения (2) — тождественные ото |
||||||||
бражения. |
|
|
|
|
|
|
(2*) |
3.2а. Пусть X — топологическое |
пространство и G— топологиче |
|||||||||||||||||||||
ская группа с единичным элементом |
е ЄЕ G. |
Рассмотрим |
эффек |
|||||||||||||||||||
тивное |
непрерывное |
действие |
группы |
|
G на |
топологическом |
прост |
|||||||||||||||
ранстве |
F. Здесь |
непрерывное |
действие |
означает непрерывное |
ото |
|||||||||||||||||
бражение |
G XF-*F, |
переводящее |
g Xf |
^= G X F |
в |
gf |
є F, |
такое, |
||||||||||||||
что gi(g2f) |
— (gig2)f |
и ef = |
f |
для |
всех |
f e f . |
Эффективность |
|
озна |
|||||||||||||
чает, что если gf = / для некоторого g |
|
и всех f, то g = |
е. |
|
|
|
||||||||||||||||
О п р е д е л е н и е . |
Топологическое |
пространство |
W |
вместе |
с |
не |
||||||||||||||||
прерывным отображением |
|
(проекцией) |
|
|
я: W—>Х |
называется |
рас |
|||||||||||||||
слоением |
над |
X |
со |
структурной |
группой |
G |
и |
слоем |
F, если |
суще |
||||||||||||
ствует |
система |
координатных |
преобразований, |
т. е. если |
|
|
|
|||||||||||||||
I) |
имеются |
открытое |
покрытие |
и = |
{ £ / г } . є / пространства |
X |
и |
|||||||||||||||
гомеоморфизмы |
/г,-: я - 1 (Ut) |
|
-> {]t |
X |
Л |
|
которые |
отображают |
„слой11 |
|||||||||||||
я~' (ы) |
на |
и У, F; |
|
/ є= I |
имеются |
элементы |
gtj є Г |
|
|
|
|
|
||||||||||
II) |
для |
всех |
г, |
(£/,• f) t 7 G c ) , |
||||||||||||||||||
такие, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{hihj1) |
(uXf) |
= |
uXgu |
|
(и) f |
для |
всех иє= |
Ut()U |
h |
f є= F. |
|
(3) |
||||||||||
З а м е ч а н и е . |
Так как |
действие |
G |
на |
F |
эффективно, то |
эле |
мент gij однозначно определяется отображениями /г,- и hj. Эле менты gij определяют коцикл ^ є Z 1 (11, Gc ) последовательно, эле мент когомологического множества //'(U.Gc). Например, рассмот
рим тривиальное расслоение с W = X X F, |
где |
я — проекция про |
|||||
изведения на сомножитель. Всякое открытое покрытие |
U = {Ui}l |
є ; |
|||||
удовлетворяет условию I ) , а функции |
gn |
= |
1 є |
Г (Ui f) |
Ge) |
||
удовлетворяют |
условию I I ) . В этом случае |
g |
совпадает |
с отмечен |
|||
ным элементом в когомологическом множестве Я'(Ц, |
Gc ). |
|
|||||
Чтобы завершить определение расслоения над X, надо еще |
|||||||
указать, при |
каких условиях различные |
системы |
координатных |
преобразований определяют одно и то же расслоение. Гомеомор
физм |
hv: я - 1 |
(£/)-> V X |
F, где С/ — открытое множество |
в X, назы |
|||||||
вается |
допустимой |
картой |
для системы |
координатных |
преобразо |
||||||
ваний |
I ) , I I ) , если |
для каждого |
г ' е / |
найдутся |
элементы |
gu |
t є= |
||||
є Г(£/ П С/р |
Gc ), такие, |
что |
|
|
|
|
|
|
|||
(Лс/ЛГ1) (и X /) = " X |
& ы |
(") / |
Для всех и є= С/ П |
/ є |
F. |
(З*) |
|||||
О п р е д е л е н и е . |
Две |
системы координатных |
преобразований |
||||||||
превращают |
W в одно |
и то же расслоение W над X со структур |
|||||||||
ной группой |
G и слоем |
F тогда |
и только тогда, |
когда |
всякая |
до |
пустимая карта для одной системы является допустимой картой и для другой системы.
О п р е д е л е н и е . |
Пусть W с проекцией я и W |
с |
проекцией |
я' —два расслоения |
над X со структурной группой |
G |
и слоем F. |
Изоморфизмом |
k |
расслоения |
W на |
расслоение W |
называется |
го |
||||||||||
меоморфизм k: |
W-+W, |
такой, |
что для |
каждой точки |
х^Х- |
|||||||||||
|
I) слой л~1(х) |
|
отображается |
на |
слой |
л'~1(х); |
|
|
|
|
|
|||||
|
II) найдутся |
окрестность |
U точки х, |
элемент § „ є Г ( У , |
Gc) и |
|||||||||||
допустимые карты пи: л'1 |
(C/)-» U X |
F для W и Н'ц. я ' - 1 |
(£/)->£/ |
X F |
||||||||||||
для |
W, |
такие, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
h'ukhu1 (" X f) — и X ёи (и) f |
|
для |
всех |
u<=U, |
f ^ |
F. |
|
|
|||||||
|
Если |
задано |
открытое покрытие |
ll = |
{Ut}lsl |
пространства |
X и |
|||||||||
U-коцикл g = |
fei)}eZl(U, |
Gc ), то можно |
построить |
расслоение |
We |
|||||||||||
над X со структурной |
группой |
G и слоем |
F. Достаточно |
рас |
||||||||||||
смотреть дизъюнктное объединение произведений UI'XFH |
|
ото |
||||||||||||||
ждествить точку « X / ^ |
U jX |
F с точкой |
иХ |
ёц(и)! |
^ |
UtX |
F для |
|||||||||
всех и ^ |
U ((] U j . |
Полученное |
пространство |
будет |
расслоением |
|||||||||||
с |
проекцией, |
индуцированной |
|
проекцией |
UiXF—>Ui. |
|
Если |
|||||||||
J E Z 1 (И, Gc ) и / і е Z 1 (It, Gc ), то Wg |
изоморфно Wh |
тогда |
и только |
тогда, когда g я h представляют один и тот же элемент в кого
мологическом |
множестве |
Я 1 |
(X, |
Gc ). |
Всякое |
расслоение |
над |
X |
|||||
со структурной группой G и слоем F |
изоморфно расслоению |
Wg |
|||||||||||
для некоторого |
Тем самым |
получена |
|
|
|
|
|
||||||
Т е о р е м а |
3.2.1. |
Классы |
изоморфизмов |
расслоений над X |
со |
||||||||
структурной |
группой |
G и слоем |
F |
(с |
заданным |
эффективным |
не |
||||||
прерывным |
действием G на |
F) |
находятся |
в |
естественном |
взаимно |
|||||||
однозначном |
|
соответствии |
с |
элементами |
когомологического |
мно |
|||||||
жества Hl(X, |
Gc ). |
Тривиальное |
расслоение |
W = XXF |
соответ |
||||||||
ствует отмеченному |
элементу |
І є Я 1 (X, |
Gc ). |
|
|
|
|
Расслоения, находящиеся в классе изоморфизмов, соответ- • ствующем элементу | є Я ' (X, Gc), называются ассоциированными с £. Если F = G и действие G на себе осуществляется левыми пе реносами, то расслоения со структурной группой и слоем G назы ваются главными.
С о г л а ш е н и е . Элементы |
из |
Я 1 |
(X, Gc ) |
будем |
называть |
|||||||
G-расслоениями. |
С другой стороны, |
слова расслоение |
или |
главное |
||||||||
расслоение |
будут относиться |
к индивидуальным |
расслоениям, а не |
|||||||||
к классу |
изоморфных |
расслоений. |
|
|
|
|
|
|
||||
3.2b. Определение |
и результаты |
п. 3.2а переносятся |
на |
диффе |
||||||||
ренцируемый |
и |
голоморфный |
случаи. Пусть X — гладкое |
(соотв. |
||||||||
комплексное) |
многообразие, |
a |
G — вещественная |
(соотв. комплекс |
||||||||
ная) группа Ли. [По |
поводу |
групп |
Ли |
см., например, |
П о н т р я - |
|||||||
ги н [1].] Рассматривается эффективное |
гладкое |
(соотв. голоморф |
||||||||||
ное) действие GX.F-+F |
группы G на |
гладком |
(соотв. комплекс |
|||||||||
ном) многообразии F. В остальных определениях нужно только |
||||||||||||
заменить |
всюду |
і.учок |
Gc на пучок |
Gb (соотв. на Gffl) |
над X. Рас |
|||||||
слоение Сбудет |
тогда автоматически гладким (соотв. комплексным) |