Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

гладким (соотв. голоморфным)

гомеоморфизмом.

Мы будем говорить о непрерывных, гладких или комплексно-

аналитических

расслоениях

или

G-расслоениях в

соответствии

с тем, какой из пучков

G c , Gb, G m рассматривается.

Пусть

W —

непрерывное,

гладкое

или

комплексно-аналитическое

расслоение

над X с проекцией я. Сечением

для

W над открытым

множеством

U

называется

непрерывное,

гладкое или

голоморфное отображе­

ние

s:-U —> W, такое,

что ns — тождественное

отображение.

Если

существует

сечение над

всем

X,

то

мы будем просто говорить,

что

W обладает

сечением.

З а м е ч а н и е . Общую схему

п. 3.2а

можно

использовать

для

определения

многих других

типов

расслоений

(например, веще­

пучок G c

соответствующим

пучком. Вообще можно говорить о рас­

слоениях

с заданным структурным

пучком ( Г р о т е н д и к

[1],

Х о л ь м а н

[1]). Для целей

этой книги

достаточны пучки

G c , Gi>

и Go).

3.2с. Рассмотрим непрерывное действие топологической

группы

G на топологическом пространстве F, не являющееся эффектив­

ным. Элементы h из G, действующие тривиально

на F (т. е. такие,

что hf =

f

для всех f^F),

образуют замкнутую

нормальную

под­

группу N группы G. Имеется эффективное непрерывное действие

топологической группы G/N на F.

Если

G — вещественная

группа Ли,

то такова

же всякая

замк­

Если

G — комплексная

группа

Ли, то

замкнутая

подгруппа

группы G не обязана быть комплексной группой Ли. Однако, как

легко доказать, замкнутая нормальная подгруппа группы G, опре­

деленная

голоморфным

действием

на комплексном многообразии

F, является комплексной группой Ли. В этом случае имеется эф­

фективное голоморфное

действие

комплексной

группы

Ли G/N

на

F.

Имеют место естественные отображения [см. 3.1(2)]

t:

W(X,

Gc)->Hl{X,

(G/N)c),

если X—топологическое

пространство,

t: Hl{X,

Gi)^Hl[X,

(G/N\),

если X—гладкое

многообразие,

t: Hl(X,

G^-^H^X,

(G/N)a),

если J—комплексное

многообразие.

F,

ассоциированном с

g. Аналогичное

замечание относится к Gb

и

Go,.

3.2d. Следующие замечания равно относятся к непрерывному,

гладкому

и комплексно-аналитическому

случаям.

Пусть

Е — главное

расслоение над

X со структурной группой

ставлении

Е

в

виде

U X G

(т. е. в допустимой карте)

действие

элемента

a^G

задается

формулой

(и X g)a

=

« X go-

Это дей­

ствие

элемента

а є б

на

Е не зависит от выбора

допустимой

карты, так как координатные преобразования

(3),

(3*)

опреде­

ляются левыми

сдвигами.

G

Рассмотрим

действие

(необязательно эффективное)

группы

на F. Мы покажем теперь, как построить расслоение W над X со

слоем F, исходя из главного расслоения Е. Образуем прямое про­

изведение

Е X F

и отождествим

еа X / с e\af

для

всех Й Є О ,

с є £ ,

f є

F.

Факторпространство

UP

естественным

образом

яв­

ляется расслоением над Л' со структурной группой G и

слоем

F.

Расслоения

W

и

Е

ассоциированы

с

одним

и

тем

же

G-pac-

слоением.

3.3. Пусть

X,

У — топологические

пространства,

<р: У

X

—

непрерывное

отображение

и

G — топологическая

группа.

Тогда

имеется естественное

отображение

Ф*: W(X,

Gc)-+Hl(Y,

Ос).

(4)

Если в открытом

покрытии

VL = {Ut}{eI

пространства

X

элемент |

представлен U-коциклом {gij},

то

<р*| представляется

в

открытом

покрытии qp-1U = {ф~"1£//}/<=/

пространства У ф- 1 Ц-коциклом

{g^/ф};

Ф*| называется G-расслоением,

индуцированным

из

G-расслое-

ния | с помощью отображения ф.

Пусть

W — расслоение

над X со структурной

группой

G, слоем

F и проекцией я, ассоциированное с §. Следующая

конструкция

дает

расслоение

q>*W над

У,

ассоциированное

с

ф*|

и

имеющее

слой

F.

(p*W — подпространство

Yy(W,

Пусть

в

состоящее

из

точек

у X w є

У X

U7, таких, что

Ф ( # ) = я (до). Оно

будет

расслоением

над У с проекцией, индуцированной

проекцией

на

первый множи­

тель в произведении.

Пусть ф: Y—*X-—гладкое

или

голоморфное

отображение

глад­

ких или

комплексных

многообразий

X

и У. Пусть

G — веществен­

Ф*: Hl(X, Gb)-*Hl(Y,

Gb) или Ф *: Я 1 (X, GJ-+H1 (У,

GJ.

(4')

Определение ф* и построение расслоения cp*W таковы

же,

как и

в непрерывном случае.

3.4а.

Пусть

G'

— замкнутая

подгруппа

топологической

груп­

пы G . Рассмотрим пространство G/G'

левых классов

смежности

xG', X G E G ,

и

естественное отображение

о: G - + G / G ' .

Обозначим

через е ЄЕ G —

единичный

элемент. Утверждение

о:

G — > G / G '

допускает

локальное

сечение

(5)

означает,

что

имеются открытая окрестность V элемента 0(e) в

GIG'

и

непрерывное

отображение

~s: U - > G ,

для

которых

as —

тождественное

отображение

Т е о р е м а

3.4.1

(С т и н р о д

[1], 7.4). Если

имеет

место

(5),

то G

можно

естественным

образом

рассматривать

как

главное

расслоение

над

G/G'

со структурной

группой

и

слоем

G'

и

с про­

екцией

а.

Т е о р е м а

3.4.2.

Пусть

G' — замкнутая

подгруппа

веществен­

ной

группы

Ли

G. Тогда

G' является вещественной

группой

Ли и

a: G—*GjG'

допускает локальное

гладкое

(даже

вещественно-ана­

литическое)

сечение.

Можно естественным

образом

рассматри­

вать

G как

гладкое

главное

расслоение

над

GIG'

со

структурной

группой

и слоем

G' и проекцией

о.

Т е о р е м а

3.4.3.

Пусть

G' — замкнутая

подгруппа

комплекс*

ной

группы

Ли

G. Тогда

о: G—+G/G'

допускает

локальное

голо­

морфное

сечение.

Можно

естественным

образом

рассматривать

G

как

комплексно-аналитическое

главное

расслоение

над

G/G'

со

структурной

группой

и слоем

G' и проекцией

о.

Существование

гладкого

(голоморфного)

локального

сечения s

в теоремах

3.4.2 и 3.4.3 можно доказать

с помощью

канонических

координат

в окрестности

точки

е є

G .

В

частных

случаях,

встре­

ное многообразие, смотря по тому, какой

случай рассматривается.

Пусть G' — замкнутая подгруппа

группы

G . В непрерывном хлу-

чае будем предполагать, что выполнено

(5). В комплексно-анали­

тическом

случае предполагаем,

что G'', G — комплексные

груп­

пы Ли.

С о г л а ш е н и е .

Пусть

W — расслоение со структурной

груп­

пой G и слоем F, ассоциированное с G-расслоением |

над X

(см.

3.2а и 3.2с). Обозначим через h естественное вложение

множества

G'-расслоений над X в

множество G-расслоений над

X, индуци­

рованное

вложением

G'

в

G (см. 3.1). Если найдется

G'-расслое-

ние І над X, такое, что

Л.| =

| , то мы будем говорить,

что

структурную группу

расслоения |

можно

редуцировать

к G''. Если

Т е о р е м а

3.4.4.

Можно

естественным

образом

рассматривать

Е как

главное

расслоение

над

E/G'

со

структурной

группой

и

слоем G'

и

проекцией

о.

Пусть

І — соответствующее

G'-расслое­

ние над

E/G'.

Далее,

E/G'

можно

естественным

образом

рассматривать

как

расслоение

над

X со

структурной

группой

G,

слоем

GIG' и

проек­

цией р {при этом G действует на G/G' слева, см.

3.2с).

Расслоение

E/G' ассоциировано

с

G-расслоением

|.

Пусть

h

—

отображение

множества

G'-расслоений

над

E/G'

в множество

G-расслоений

над E/G',

введенное

выше. Тогда

hi =

р%

(6)

т. е. после

«поднятия»

с

помощью

р структурную

группу

для

|

можно

естественным

образом

редуцировать

к

G'.

Д о к а з а т е л ь с т в о

следует

из

теорем

3.4.1,

3.4.2

или

3.4.3

чить

(6). Пусть

W — подпространство

в

E/G'XE,

состоящее

из

точек CX.d

в EIG'y^E,

таких,

что

р (с) =

я (d).

Согласно сказан­

ному

в 3.3,

W

есть

главное

расслоение

над

EJG'

со

слоем

G,

ассоциированное

с р*£. Согласно 3.2d,

имеется

расслоение ^

над

E/G',

получающееся

из

Ey^G

отождествлениями daXa^g

— d~Xg

для

всех а є С ,

d є

£,

g e G ;

ffl

имеет

в качестве

структурной

группы С и в

качестве слоя G. Действие G'

на

G

задается

ле­

выми переносами, и поэтому ^

можно

рассматривать

как главное

расслоение

над

E/G'

со структурной

группой

и

слоем

G, ассо­

циированное с hi. Формула

k(dXg)=

o(d)y(Ldg

задает

корректно

определенное отображение

k: W—+W, являющееся

изоморфизмом

главных расслоений, чем завершается доказательство формулы

(6).

Т е о р е м а

3.4.5.

Структурную

группу

для

|

можно

редуциро­

вать к G' тогда и

только

тогда,

когда

расслоение

E/G'

над

X

имеет сечение

s. Если

сечение

s расслоения

E/G'

задано,

то

G'-рас­

слоение

Т| =

5*(1)

отображается в | при вложении

G' —> G. В

этом

случае

имеются

открытое

покрытие

VL = {Ui}i^I

пространства

X

и

система

допу­

стимых карт

UІ X G

для

Е,

такие,

что координатные

преобразо­

вания

gti-

UidUi-^G

отображают

U{ f]Uj

в

G'

и

в

каждой

карте

Ui\G

сечение

s

задается

отображением

u^Ui

в

точку

и \ е

из

E/G',

где е

є

б

—

единичный

элемент.

Коцикл

{gij}

представляет

G-расслоение

|,

если gij

рассматривать

как

отображение

в

G,

и

представляет

G'-расслоение

г\,

если

gtj

рассматривать

как

отображения

в

G',

Д о к а з а т е л ь с т в а

теорем

этого

пункта

можно

найти

у С т и н р о д а

[1] и Х о л ь м а н а

[1]. Существенным

фактом

в

непрерывном

случае

является

предположение

(5)

о том, что

G/G'

допускает локальное

сечение. В остальных

двух

случаях

аналогич­

всегда

существует.

3.5.

Естественное

действие комплексной

группы

Ли

GL(q,

С)

на

комплексном

векторном

пространстве

С„

(см.

0.9)

непрерывно

и

эффективно.

Векторным

расслоением

над X

называется

рас­

слоение

W над

X со

структурной группой

GL(q,

С)

и

слоем

С„.

пологическим пространством

X, гладкие

векторные

расслоения

над гладким многообразием X и комплексно-аналитические век­

торные расслоения над комплексным многообразием X (см. 3.2Ь).

Если q = 1, то W

называется

расслоением

на прямые

или одно­

мерным векторным

расслоением.