Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

ческие пространства

и все клеточные разбиения (см. М о р и т а [1]

и [2]).

Т е о р е м а

2.8.3

(теорема сужения, Д ь ё д о н н ё

[1], теорема

6). Для любого точечно конечного

открытого покрытия

U ~{и{}{

є /

нормального

пространства X существует такое открытое покрытие

23 =

{К,-},Є /

с тем же множеством

индексов

I , что Рг- сг U{ для

лю­

бого

і е /.

Носителем

suppcp

непрерывной

функции

ф: X—*R

называется,

функция ф равна

нулю:

supp ф = {х (= X;

ф (х) ф 0}.

О п р е д е л е н и е .

Пусть

U =

{

U

— произвольное открытое

покрытие топологического пространства X. Семейство {фЛг<=/ Дей­

ствительных

непрерывных

функций,

определенных

на простран­

стве X, называется разбиением

единицы,

подчиненным

покрытию U,

если

1) фі(х)^ - 0 для любой

точки

х^Х;

2)

supp ф, сг UІ для любого

і є

/;

3)

каждая

точка х є Х

обладает

открытой окрестностью,

пере­

секающейся

ЛиШЬ С КОНечНЫМ ЧиСЛОМ МНОЖеСТв SUpp фі",

4)

для любой

точки х є

X имеет место

равенство

2 Ф< (*) = і •

(Сумма имеет смысл-в силу условия 3).)

Т е о р е м а

2.8.4. Пространство

X

тогда и только тогда

пара-

компактно,

когда

оно хаусдорфово

и

для

любого

его открытого

покрытия существует

подчиненное

этому

покрытию

разбиение

еди­

ницы.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

пространство X

паракомпактно,

и пусть U =

{£/(}г -є /

— его

произвольное

открытое

покрытие. По

ствуют

такие

открытые

покрытия

23 =

{ К , } г є / и 2В =

{Wi}ieI

про­

странства X,

что W{ а

Vі и Vi а

1]\ для любого

і е

/. Так как

WiCzVi,

то по лемме Урысона на

пространстве

X

существует

такая

вещественная неотрицательная

непрерывная

функция

ф£,

вляет

собой непрерывную функцию,

очевидно,

всюду

отличную

от нуля. Ясно, что функции фг. = ф^/г|5

обладают

всеми

свой­

ствами

1) —4).

Обратно, предположим, что любое открытое покрытие

U = { t / / } . 5 /

пространства X обладает подчиненным разбиением единицы

{ ф Л І Є / .

Пусть

VІ — внутренность

замкнутого

множества

suppqp;. Из свой­

ства 4) немедленно

вытекает,

что семейство

23 — { I / J . ^

открытых

множеств пространства X является его покрытием. Согласно

свойству 2), это покрытие вписано в покрытие U,

а согласно-

свойству 3), оно локально конечно.

Этим

доказана

паракомпакт­

ность

пространства

X.

2.9. Группы когомологий паракомпактных

пространств.

Пусть

© — произвольный

предпучок

над топологическим

пространством X

и © — порожденный

им пучок (см.

2.2).

Пусть,

далее,

© — кано­

нический предпучок

пучка

© и h: © —* © — построенный

в 2.3 есте­

ственный

гомоморфизм.

Для

любого q ^

0

этот

гомоморфизм

определяет

гомоморфизм

/г*: Нч(X,

®)-+Нч(Х,

©) =

НЧ(Х,

©)

со­

ответствующих

групп КОГОМОЛОГИЙ.

Т е о р е м а

2.9.1. Если

пространство

X

паракомпактно,

то

для

любого

предпучка

© над

пространством

X

естественный

гомомор­

физм

А.: Н«(Х,

®)-*Н"(Х,

©)

Л е м м а

2.9.2. Пусть

© — предпучок

над

паракомпактным

про­

странством

X,

порождающий

нулевой

пучок,

и пусть

U =

{Ui}ieI

—

произвольное

открытое

покрытие

пространства

X.

Тогда

для

любой

коцепи

/ є

С4 (11,

©) существуют такое открытое покрытие

23 = {Vi}j(B]

пространства

X, вписанное в

покрытие

U,

и такое ото­

бражение

т: / - > - /

с ViC:Uxj

при / є / ,

что коцепь

т 7 ^ С ? ( 2 3 , ©)

является

нулевой

коцепью.

Д о к а з а т е л ь с т в о

(см.

С е р р [ 2 ] ,

стр. 218).

Пусть

© ==

= [Sv,r^.

Условие, что предпучок © порождает нулевой пучок,

означает,

что

для

любой

открытой

окрестности

U произвольной

точки

х

и

любого

элемента

g e S y существует

такая

открытая

окрестность

V

точки х, что rtyg — Q.

гласно

теореме

2.8.1)

существует

такое

открытое

покрытие

28 = {W;),«=/ пространства

X,

что 1Гг с=[/2 . Пусть

J =

X,

и

пусть

т: X-+I

— отображение, для которого х <= Wxx.

Для каждой

точки

ї є і

выберем

открытую

окрестность

Vх

точки

х ^

X,

удовле­

творяющую следующим условиям:

a) Если х^и{,

то

VxcUi.

Если

х є ? ; ,

то

VxczWi.

b)

Если

Vx

П Wi

непусто,

то

VxczUt.

c)

Если

х є

/7го

Л

•••

П t/<

. то

элемент / ( / 0 , . . . ,

iq),

рассма­

триваемый как элемент из Svx,

равен

нулю.

Условиям а) и Ь) можно удовлетворить,' так как U и 2В—локально

конечные покрытия

и

WiCzUi.

По замечанию, сделанному в на­

чале

доказательства,

Vх

можно

выбрать

настолько

малым,

чтобы

выполнялось с). Пусть % =

{Ух}х(=х-

Покажем,

что

коцепь

т*/ =

С (23,

©)

равна

нулю,

т. е.

что

для всех

(х0,

xq)

элемент

f(rx0,

txq),

рассматриваемый

как элемент из SVx

п ••• n v, ,

равен

нулю.

Если

Vx

П •••

f\Vx

пусто, то доказывать нечего. Если

У хй[\

•••

П VXq

непусто,

то

непусто и VXof]Vxk

для

всех

k, 0 < & < < 7 .

По

a)

VxQ[\WXXk

не­

пусто

и,

следовательно,

по

b),

Vx

czUxxk

для

всех

k.

Из

с)

вытекает

поэтому,

что

элемент

f(xx0,

tx4),

рассматриваемый

как элемент из Syx

,

равен

нулю. Это

же

верно

и

для

меньшего

множества

VXof\ . . .

П Ух-

Лемма

доказана.

З а м е ч а н и е .

В

частном

случае

q = 0

теорема

2.9.2

справед­

лива для произвольного топологического пространства X. Доста­

точно выбрать

такое открытое

покрытие

23 =

{Vx}x^x

и т

а к

о е ото­

бражение т: X-+I,

что

Vx

есть

открытая

окрестность для

х,

Уха

Uхх и \(тх)

как элемент

из

Sy

равен

нулю.

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы

2.9.1.

Используемый

метод

принадлежит Серру.

Пусть

© — канонический

предпучок

для

©

и © —> © — кано­

нический гомоморфизм. Имеет место

точная

последовательность

предпучков

0 - * © ' - ^ ©

—^ © - > © " - > 0 ,

(19)