Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

мологической последовательности,

которые нам

будут нужны

в

гл. IV. Пусть. К —некоторое поле

и © — пучок

К-модулей над

X

ствами

над К. Через

d i m # ? ( X ,

©) будем

обозначать

размерность

над К.

О п р е д е л е н и е .

Пучок

©

К-модулей

над

X

имеет

тип

(F),

если группы когомологий

НЯ{Х,

©) являются конечномерными

век­

торными

пространствами

над

К и если

dim Hq(X,

©) =

0 для

всех

достаточно больших

q.

Если

© имеет тип (F),

то может

быть

определена

характери­

стика Эйлера — Пуанкаре

оо

X (*,•<»)=

2

( - 1 ) * dimH"(X,

©).

<7= 0

Т е о р е м а

2.10.2. Пусть

0 - > © ' - > © - > © " - > - 0 — точная после­

довательность

пучков

над

паракомпактным

пространством

X.

Если

два из

пучков

©', ©,

©"

имеют

тип

(F),

то и третий также имеет

тип (F)

и

%(Х,Є)

=

х(Х,&)

+

1(Х,<В")-

Это доказывается непосредственным применением теоремы

2.10.1.

Т е о р е м а

2.10.3. Пусть

0 - > © ! - > 6 2 - > . . . ^ © „ - ^ 0

— точная

последовательность

пучков

над

паракомпактным

про­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим через

$ г ядро

гомоморфизма

из ©г в © r + i и применим

теорему 2.10.2 к

точной

последователь­

ности

О п р е д е л е н и е . Пучок

©

над паракомпактным

простран­

ством X называется

тонким пучком,

если для всякого локально ко­

нечного

открытого

покрытия

ІІ =

{£Л-}І Є /

пространства

X найдется

система

[НІ)ШІ гомоморфизмов п{:

6 - *

6, такая, что

I) Для

всякого

і

1 найдется

замкнутое

множество

At

є

X,

такое,

что AiCi UІ

и hi(SX)

=

0 для хфАі,

где

SX

— стебель

в <5

над

х.

II)

2

hi

тождественно

равна

единице

(сумма

имеет

смысл,

так как покрытие U локально

конечно).

Т е о р е м а

2.11.1. Пусть © — тонкий пучок

над

паракомпактным

пространством

X. Тогда

группы

Hq (X, ©) = О равны

нулю

для

q ^ 1

Д о к а з а т е л ь с т в о

(см. К а р т а н

[4],

сообщение

XVII). Так

как X паракомпактно, то достаточно доказать, что группы Нч

(Ц, @)

равны

нулю при q~^\

для любого локально

конечного

открытого

покрытия

и =

{ [ / і } г є / . Определим для

q~^\

гомоморфизм

(гомо-

топию)

kq:

Cq(\X, <В)-^С"-1Гй,

@)

следующим образом. Пусть

/ е С ' ( И ,

©). Тогда

коцепь

kqf

сопо­

ставляет каждому

набору (г0,

/„_,)

сечение

(kqf){i0,

/?_,)

пучка

©

над

Uto(] .. . flUt

. Для

всякого

индекса і є

/

пусть

t(i,

г'о, . . . ,

iq-i) совпадает

с

сечением

©

над

Uig П . •. П

Uiq_v

которое

равно

hi(f(i,

i0, ...

iq-\))

на

меньшем

множестве

Ui П Ui0

Л • • • П

и

равно

нулю

вне его.

Здесь ht— гомомор­

физмы,

обладающие свойствами I)

и

I I ) . Положим

(kqf)(i0,

/,_,)= 2

Hi,

io, •••>

кограничный

гомоморфизм Cq(U,

©)—* C ? + 1 ( U , ©). Легко

доказать,

что для

<7 ^

1 гомоморфизм

kq+i6q + б 7 - 1 /е?

совпадает

с тожде­

ственным

отображением, чем

и

завершается

доказательство.

тами) для

симплекса.

Рассмотрим теперь над паракомпактным пространством X пу­

чок Сс (см. 2.5, пример 2). Пусть

U — произвольное

локально

ко­

нечное открытое покрытие X. По теореме 2.8.4 существует подчи­

ненное ему' разбиение еДИНИЦЫ {ф,Ь<=/. С ПОМОЩЬЮ фуНКЦИЙ

ф;

можно следующим образом определить отображения

he

Сс

—> Сс .

Пусть Sv

— С-модуль

комплексных

непрерывных

функций

на

U.

Для / e S u

положим

hi(f) = cfif. Этим определяется

гомоморфизм

hi предпучка

{Sv}

в себя, а следовательно, и гомоморфизм

ht

пучка

Сс в себя. Эти гомоморфизмы ht удовлетворяют условиям

I)

и II)

из определения тонкого пучка. Тем самым

доказана

Т е о р е м а

2.11.2.

Пучок С с ростков

комплексных

непрерыв­

ных функций

над

паракомпактным

пространством

X

тонок.

0 - > & p - * © p - > t f p + 1 - > 0 ,

(26)

р ^ О .

Так как группы

когомологий

Hq(X,

6 Р ) равны 0 для q > О,

точная

когомологическая

последовательность

для (26) дает

есте­

ственные

изоморфизмы

Н«-1(Х,

9lp+l)^Hq(X,

Лр )

для

<7>2.

(27)

Так

как $о — ©, повторное применение

формулы (27) дает

H ' ^ . J I J a f f ' ^ S )

для

<7>1 .

(28)

Выпишем

отрезок

точной

когомологической

последовательности

для

(26) (с р замененным

на q — 1)

Я"(X, ©

,

_

,

)

• Я 0

(X, Я,) - > Я 1

(J , V i ) -> о.

<2 9 >

Так

как

Я°(Х,

совпадает

с

ядром

гомоморфизма

hq

и

Я°(Х,

©,_]) =

Г (X,

то теорема следует

из (28) и (29).

Пусть

X — гладкое

многообразие

(см. 2.5, пример

3),

и пусть

W — пучок

ростков

гладких

р-форм

над X (см. конец

п.

2.11).

Если

U — открытое

множество в X, то Г (U,

%р) — это

R-модуль

гладких р-форм, определенных на U. Внешняя

производная

является

гомоморфизмом

из Г ( [ / , % р ) в Г (U',

Шр+1).

В

терминах

локальных

координат внешняя производная р-формы

со =

2

U

,

dx,

А

• • • Л dx.

it<...<ip

'і- ••- 1Р

'і

1P

есть

p +

1-форма

2

rff,

dco =

,

A dx,

A

• • • Л dx. .

/,<...<fp

'p

'i

'p

Пусть

R —

постоянный

пучок

вещественных

чисел, h — вложение

R в пучок

$ 0

ростков

вещественных

гладких

функций

и № : % Р - *

_>

— гомоморфизм,

определяемый

внешней производной.

Т е о р е м а

2.12.2

(лемма Пуанкаре).

Последовательность

0 -> R—^

%° — > %1 —•>

. . . —>• а р

— - > . . .

точна.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так как

=

0, то hP+lhv =

0 для р ^ О .

Поэтому

достаточно

доказать

следующее.

Пусть

ю —р-форма

( р ^ 1 ) ,

определенная

на

открытом

множестве V. Если

(/со ~

О,

Т е о р е м а

2.12.3

(де

Рам) . Пусть X —

гладкое

многообразие,

и пусть

АР, / 7

^ 0 , —

R-модуль гладких р-форм,

определенных

на

всем X.

Пусть

Z P —

ядро

R-гомоморфизма

d:

АР-^-АР+К

Тогда

dAP-1 a ZP для

р ^ 1 и

Н° ( I , R ) a Z ° ,

Нр (X, R) & Zp/dAp~1

для

р > 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Точная последовательность, построенная

З а м е ч а н и е .

Точно

так

же

доказывается

соответствующий

результат

для

комплексных гладких

р-форм. Пусть А Р

— С-модуль

р-форм, определенных на всем X с гладкими комплексными функ­

циями в качестве

коэффициентов. Пусть ZP — ядро

С-гомоморфиз-

ма d: AP-+AP+1.

Тогда имеют место

изоморфизмы

H°(X,C)^Z°,

НР(Х,

C )

s Z

W

для

р > 1 .

§ 3.

Расслоения

3.1.

Пусть

X — топологическое

пространство.

Пучок

групп

© = ( S ,

я, X)

(не обязательно

абелевых)

определяется,

как и в 2.1,

свойствами

I ) — I I I ) ,

последним из

них в

следующей слегка

видо­

измененной

форме:

III)

Всякий

стебель

является

группой.

Групповые

операции

сопоставляют

точкам

а и р из Sx

элементы

сф

и а р - 1

из Sx,

при­

чем а р -

1

непрерывно

зависит

от а

и р. (Отсюда

следует, что

\ х

не­

прерывно

зависит

от

j

и что оф

и ог'р

непрерывно

зависят

от

а и р . )

лены группы Г (£/,©)

сечений пучка © над открытым множеством

U и гомоморфизмы

ограничения rty. Единичным элементом груп­

пы T(U,©)

служит сечение х~*\х.

(Если

U пусто, то по определе­

нию Г(£Д©)

состоит

из одного единичного

элемента.)