Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

флаг — это последовательность

0 =

Е0

cz Е\

cz ... cz Eq

=

Cq

ли­

нейных подпространств (d\mEk

= k)

в

С,.

Отметим,

что

в

опи­

ходящие

через

начало

координат.

4.1b. Некоторые результаты о расслоениях над топологическим

пространством X зависят от предположения, что X

паракомпактно

(см.

2.8).

Пусть

/ — единичный

интервал

О ^ ^ ^ І .

Два

непре­

рывных отображения /о, ЇГ- X—*Y

называются

гомотопными,

если

существует

непрерывное

отображение

F: Х \ 1 —> У,

такое,

что

F(x,Q)

=

fo(x)

и

F(x,

1) =

/і(х)

для

всех

хєХ.

Клеткой

назы­

вается

пространство,

гомеоморфное

для

некоторого

N.

I)

Пусть

X — паракомпактное

пространство,

W —

непрерывное

расслоение

над

пространством

У и /0 ,

/ь

X-*Y

— гомотопные

ото­

бражения.

Тогда

индуцированные

расслоения

f*0W, f\W

(см.

3.3)

изоморфны.

Доказательство

этого

утверждения

можно

найти

у

Д о л ь

д а

([3],

7.10);

у Х о л ь м а н а

([1], VI.2.3);

у К а р т а н а

([1], сооб­

щение

V I I I ) — в

случае,

когда

X локально

компактно

и параком­

пактно;

у

С т и н р о д а

([1],

11.5) — в

случае,

когда

X

локально

компактно

и

обладает

счетной

базой,

и

у

А т ь и

и

Б о т т а

([1],

предложение

1.3) — в

случае,

когда

X

компактно,

a

W — вектор­

ное

расслоение.

II)

Пусть

X — паракомпактное

пространство

и

А—замкнутое

подпространство

в

X

(возможно

пустое).

Пусть

W —

расслоение

над

X, слоем

которого

является

клетка.

Тогда

всякое

сечение

s

над

А

может быть продолжено

до

сечения

над

X.

Если предположить, что сечение s уже распространено на не­

которую

окрестность

множества

А

в

X

(как это

бывает в

боль­

шинстве приложений), то утверждение II) является частным слу­

чаем

теоремы Д о л ь д а

([3],

2.8).

Другие

доказательства

можно

найти

у Х о л ь м а н а

([1],

VI . 3.1);

у

К а р т а н а

([1], сообще­

ние

VIII) —

для

локально

компактного

и

паракомпактного

X;

у С т и н р о Д а

([1],

12.2)

—для

нормального

X

со

счетной

базой;

у А т ь и

и

Б о т т а

([1], лемма

1.1) — для

векторного

расслоения.

Пусть теперь G— вещественная группа Ли

и

G0

— замкнутая

подгруппа,

для

которой

G/G0

— клетка. Вложением

G° cz G

инду­

цируется

отображение

Н'(Х,

G?)-*#,(X,

Gc ).

(1)

III)

Если

X

паракомпактно,

то отображение

(1)

биективно.

Д о к а з а т е л ь с т в о

( С т и н р о д

[1],

12.7).

В

силу

теорем

3.4.2 и 3.4.5 из свойства продолжимости сечений II)

вытекает,

что

всякое расслоение над X со структурной группой G изоморфно

расслоению W со структурной группой G0 . Следовательно, отобра­

жение

(1)

сюръективно.

Предположим

теперь,

что

W,

W — рас-

-> G° и для

некоторых

непрерывных

функций

hi'.

Ui~>G

ё'ц =

h~ig[jhj

в UiC\Uj

для

всех

і,

/ є= / .

Пусть теперь / — единичный

интервал O s ^ s ^ l и

С/?, il\

— откры­

тые подмножества

в I X A

определенные

равенствами

u°t = {(x, t)<=xxi;

х

^

и

и

о < г < і } ,

и\

=

{{х,

t)(=xxi;

хє=

и І,

о < г < 1 } .

Построим

расслоение

W

над

XXI

со

структурной

группой G и

координатными

преобразованиями

gff-

U\r\U]->G*,

8\r

U\(]U)^G°,

г д е

g«}(x,

t) =

gfil(x),

g\)(x,

t) =

gii{x),

gft(x,

t) =

hi(x)g'tl(x)

=

gtj{x)hl{x).

Тогда W имеет структурную группу G, которая над замкнутым

подмножеством

А =

X X {0} U X X 0 }

в

редуцирована к G0 .

По теореме

3.4.5

и

утверждению

I I ) ,

примененным

к

параком-

пактному

пространству XXI

и замкнутому

подпространству

А,

расслоение

изоморфно

расслоению

со

структурной

группой

G0 ,

ограничения

которого

на

X X {0},

- ^ Х О )

совпадают

с W,

W

соответственно.

Рассмотрим

отображения

/о, /і : X -> X X /

с

fo(x) = х Х М ,

Ы * ) =

*Х{1}-

Согласно

I ) ,

W

изоморфно

W.

Если

X — гладкое

многообразие,

то X

паракомпактно

(см.

2.8.2). Пусть

G — вещественная

группа

Ли,

G0 — замкнутая

под­

группа,

для

которой

G/G0 — клетка.

Тогда

имеет

место

[см.

3.1(1),

(2)] коммутативная

диаграмма

Hl{X,

G§->Hl(X,

Gb)

I

I

(Г)

Н\Х,

G?)->tf'(*,

Gc ).

IV)

Каждое из отображений

в

(1*)

биективно.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Нижняя

горизонтальная

строка

биек­

тивна,

согласно I I I ) . Прямое доказательство

биективности

верти­

кальных

отображений

приведено

у

Х о л ь м а н а

([1],

V I . 1.1).

GL(r, q — г; C ) c G L ( a , С),

которое имеет

подрасслоение

%' и

фак-

торрасслоение

k-\i

Пусть

ф&: А(д, С) — *С* — гомоморфизм,

выделяющий

диа­

гональный элемент aftft в треугольной матрице

Л є Д ( й , С ) .

Со­

гласно

3.1(2),

гомоморфизм

щ сопоставляет всякому

А (о, С)-рас­

слоению g С*-расслоение

Упорядоченное

множество

g b

| 2 , . . . ,

£,

называется множеством диагональных

С*-расслоений

для

g.

С о г л а ш е н и е .

Утверждение

«GL(^, С)-расслоение g. имеет

в

качестве диагональных С*-расслоений расслоения

g b

. . . ,

g,»

озна­

чает,

что

имеется А (о, С)-расслоение,

которое

при

вложении

Д(а, С)cz GL(o, С)

отображается

на g и для которого

упорядочен­

ное

множество

диагональных С*-расслоений есть gi, . . . ,

g,.

Т е о р е м а

4.1.1. Предположим,

что GL (q, С)-рассло;ние

g н,иеег

в

качестве

диагональных

С-расслоений

gt ,

. . . ,

g9 ,

a GL(<7', С)-рас-

слоение

g'

имеет

в

качестве

диагональных

С-расслоений

\\,

\'q.

Тогда

|*

имеет

в

качестве

диагональных

С-расслоений

g~',

g["',

|

ф

\ г

имеет

q -\- qr диагональных

С-расслоений

g p

g , | j

g£,,

І

®

І '

имеет

qq'

диагональных

С-расслоений

^<8>|у,

A,pg

имеет

J

диагональных

С-расслоений

.. . <8>g^

< . . . <

/р <<7).

4.1 d. Дальнейшее также

справедливо в непрерывном,

гладком

и комплексно-аналитическом

случаях.

Пусть W — векторное

расслоение

со

слоем

С,

над X,

и пусть

Е — состоящее из изоморфизмов Сд

в

W главное

расслоение (со

слоем GL(q, С)) над X, построенное

в 3.5. По теореме 3.4.4

имеется

расслоение WW = E/GL(r,

q — г; С)

над

X, слоем

которого

служит

многообразие Грассмана

®(r,q — г; С). Слой

WWX

можно

отожде­

плексного

векторного пространства

Wx.

Расслоения W, Е, МЦ7

все

ассоциированы с одним и тем же GL(q,

С)-расслоением | .

Предположим теперь,

что W W

имеет сечение «.Тогда s каж­

дому х^Х

сопоставляет

г-мерное

линейное подпространство

W

тично)

от х. По

теореме

3.4.5

сечение

s

определяет

некоторое

GL(r,q

— г; С)-расслоение

с

подрасслоением

g' и факторрасслое-

нием g

. Объединение

всех

Wx

является

векторным расслоением

W' над

X, ассоциированным с GL(r, С)-расслоением g'. Объедине­

ние всех W'x — Wx/Wx

образует

векторное расслоение

W" над X,

ассоциированное

с GL(q

— г, С) -расслоением

| " .