Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 91
Скачиваний: 1
З а м е ч а н и е |
1. Всякая |
точка |
хеХ |
обладает |
открытой окре |
||||
стностью U, над |
которой |
W |
изоморфно |
произведению |
U X Сд . |
||||
Этот изоморфизм |
можно |
выбрать |
так, чтобы W |
определялось |
в |
||||
U X С 8 уравнениями |
zr+\ |
= ... |
= zq = 0. Здесь |
Cg — |
векторное |
||||
пространство наборов г ь . . . , zq q комплексных чисел; вид изомор |
|||||||||
физма' следует из теоремы |
3.4.5. |
|
|
|
|
|
|||
Пусть W, W — векторные |
расслоения |
над X. |
Гомоморфизмом |
||||||
W-* № называется |
непрерывное |
(или гладкое, или голоморфное) |
|||||||
отображение из W в W, линейно |
отображающее |
каждый |
слой |
Wx |
в Фх. Последовательность векторных расслоений и гомомор физмов
|
|
0-+W-+W^>W"-+0 |
(3) |
|
называется |
точной, если для всякого |
А ' є Х точна |
соответствую |
|
щая последовательность |
|
|
||
|
|
0 _ > г ; - > 1 Г * - > Щ - > 0 . |
(3*) |
|
В этом случае |
мы будем писать W" — W/W и называть W под- |
|||
расслоением, |
a W" факторрасслоением |
расслоения W. |
||
Пусть W — векторное расслоение над X со слоем |
С,. Сечение s |
|||
расслоения |
WW определяет естественным образом |
точную после |
||
довательность |
(3) с подрасслоением |
W (слой Сг ) |
и факторрас |
слоением W" (слой Cg_r ). Обратно, всякая такая точная последо
вательность определяет сечение в ИW. Если W, |
W и W" ассоции |
||||||||||||||
рованы |
с |
GL(r, С)-расслоением |
|
GL(g, С)-расслоением |
| |
и |
|||||||||
GL(q— |
г, С)-расслоением |
соответственно, |
то точная |
последова |
|||||||||||
тельность |
(3) существует |
тогда и только |
тогда, |
когда £ имеет под- |
|||||||||||
расслоение |
и факторрасслоение |
| " . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
З а м е ч а н и е |
2. Согласно замечанию |
1, точная |
последователь |
||||||||||||
ность (3) |
удовлетворяет |
следующему |
условию: |
для |
каждой |
точки |
|||||||||
х <= X |
найдется |
открытая окрестность |
U, |
над |
которой |
W, |
W и |
||||||||
W" изоморфны |
|
соответственно {У X Cr, |
U X' Cq |
и U X С,-,, и над |
|||||||||||
которой |
точная |
последовательность |
(3) |
соответствует точной |
по |
||||||||||
следовательности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 -> Сг -> С г 0 С,_, -> С,_, -> 0. |
|
|
|
|
|||||||
Следующую теорему предлагается доказать читателю |
(см. 3.6). |
||||||||||||||
Т е о р е м а |
4.1.2. |
Рассмотрим |
точную |
последовательность |
|
век |
|||||||||
торных |
расслоений над X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0-+W-*W-+W"^0. |
|
|
|
|
|
|
(3) |
|||
Пусть |
W — еще' одно |
векторное |
расслоение |
над X. |
Тогда |
имеют |
|||||||||
место точные |
последовательности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 -> Horn (W, W) -> Н о т (W, W) -> Н о т (W, W") -> 0, |
|
(4) |
||||||||||||
|
|
|
Q^W® |
W-+W ® W->W" ® # - * 0 , |
|
|
|
(5) |
получающиеся |
естественным |
образом |
из (3). |
Кроме |
того, |
имеет |
|||||
место точная |
последовательность, |
двойственная |
к (3): |
|
|
||||||
|
|
О —>• (W")* |
|
(W')f -> 0. |
|
|
|
(6) |
|||
Т е о р е м а |
4.1.3. |
Точная |
последовательность |
векторных |
рас |
||||||
слоений над X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в которой |
F— |
одномерное |
векторное |
расслоение, |
определяет |
есте |
|||||
ственным |
образом точную |
|
последовательность |
|
|
|
|
||||
|
|
О ^ А р _ У |
® F~>XPW |
- + k " |
W |
" |
' |
(7) |
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Имеются |
естественные |
гомоморфизмы |
||||||||
№W-*ЯРW" |
|
и №~lW ® F-+%PW. |
Последний равен |
нулю на |
ядре |
||||||
естественного |
гомоморфизма |
из %p-LW <8> F в №-LW" |
|
<S) F и, следо |
|||||||
вательно, индуцирует |
гомоморфизм Я Р - 1 W" ® F-*%PW. |
|
ЭТИМ |
опре |
деляются гомоморфизмы в (7). Легко проверить, что последова тельность (7) точна. Переходя в этой теореме к двойственным рас
слоениям, получаем утверждение теоремы. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Т е о р е м а |
4.1.3*. Точная |
последовательность |
векторных |
рас |
|||||||||||
слоений |
над X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0->W'^W-*F->0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в которой F — одномерное |
векторное |
расслоение, |
определяет |
есте |
||||||||||||
ственным |
образом |
точную |
|
последовательность |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 - * А Р № , |
- > Я р и 7 - * Я р _ |
У ® F->0. |
|
|
|
(7*) |
|||||||
- 4.1 е. Следующие |
результаты |
опять |
справедливы |
в непрерыв |
||||||||||||
ном, гладком и комплексно-аналитическом |
случаях. |
|
|
|
||||||||||||
|
Рассмотрим |
ситуацию, |
изучавшуюся |
в |
начале п. |
4.Id, и, ис |
||||||||||
ходя из |
векторного |
расслоения |
W (со слоем |
С 9 ) , построим |
рас |
|||||||||||
слоение AW = |
E/A(q, |
С) над X |
со структурной |
группой |
GL(q, С) |
|||||||||||
и многообразием |
флагов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
v |
|
|
|
F(<?) = |
GL(<7, С)/Д(<7, С) |
|
|
|
|
|
|||||
в качестве слоя. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Слоем AWX |
является многообразие флагов в комплексном |
век |
|||||||||||||
торном пространстве Wx. Расслоения |
W и AW ассоциированы |
с од |
||||||||||||||
ним и тем ж е GL(q, С) -расслоением |
| . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Предположим |
теперь, |
что AW имеет |
сечение |
s. Тогда |
s |
сопо |
|||||||||
ставляет |
каждой |
точке Ї |
Є |
Х флаг |
s(x) |
в Wx, |
который |
зависит |
||||||||
непрерывно (или гладко, |
или комплексно-аналитично) |
от х. |
Флаг |
|||||||||||||
s(x) |
представляет |
собой возрастающую |
последовательность |
xLQcz |
||||||||||||
axL\CZ |
...czxLq |
|
= Wx подпространств в Wx с |
dimxLr |
= r (см. |
|||||||||||
4.1а). Дл я каждого |
г объединение |
( J xLr, |
согласно 4.Id, ЯВЛЯЄТ- |
|||||||||||||
ся |
векторным |
расслоением |
W&) над X со слоем |
Сг . Имеет |
место |
точная последовательность
|
0^W(r)->W{r+l)-+Ar+l-+0, |
|
|
|
|
|
где Аг— одномерное векторное |
расслоение и А\ — Wm. |
Мы |
будем |
|||
н-азывать Аи |
Aq диагональными |
одномерными |
векторными |
|||
расслоениями, |
определяемыми |
сечением |
s. Согласно 3.4.5, сечение |
|||
s определяет |
A (q, С)-расслоение, отображающееся в £ при |
вложе |
||||
нии A(q, С) cz GL(q, С). Одномерные расслоения |
А\, |
Aq |
ассо |
|||
циированы с |
диагональными |
С*-расслоениями |
этого |
A (q, С) -рас |
слоения.
З а м е ч а н и е . Всякая точка Ї Є Х обладает открытой окрест ностью U, над которой W изоморфно произведению U X С, и над которой W(r) определено уравнениями zr+\ — ... — zq = 0 (см.
3.4.5и 4.Id).
4.If. Следующие две теоремы имеют место только в непрерыв ном и гладком случаях. Предполагается, что X паракомпактно (в гладком случае это не является ограничением, так как всякое гладкое многообразие паракомпактно, согласно 2.8.2).
Т е о р е м а |
4.1.4. |
Если |
GL(q, С)-расслоение |
£ над |
X |
имеет |
||||||||
ЪЬ(г,С)-подрасслоение |
£' |
и GL(<?— г,С)-факторрасслоение |
|
£", то |
||||||||||
£ есть сумма |
Уитни £' |
и £". |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Т е о р е м а |
4.1.5. Если |
GL(q, |
С)-расслоение |
£ над X |
имеет диа |
|||||||||
гональные |
С*-расслоения |
£ь £2, |
. . . , |
£д, то |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
£ = |
£ і Є £ 2 0 ••• 0 £ q . |
|
|
|
|
|
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Обе теоремы следуют из свойств |
I I I ) и |
||||||||||||
IV) п. 4.lb. Множество GL(r,q |
— г; С)-расслоений |
можно |
отожде |
|||||||||||
ствить |
с |
множеством |
U(r)XlJ(<7 — г) -расслоений |
и, следователь |
||||||||||
но, с множеством GL(r, С)Х GL(q — г, С)-расслоений. Этим |
дока |
|||||||||||||
зана теорема |
4.1.4. Множество |
A (q, С) -расслоений |
можно |
отожде |
||||||||||
ствить с множеством Т^-расслоений |
и, |
следовательно, |
с |
множе |
||||||||||
ством |
С* X С* X |
• • -X С*-расслоений |
(q |
сомножителей). Этим до |
||||||||||
казана |
теорема |
4.1.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
З а м е ч а н и е . Приводимое |
ниже |
другое |
доказательство |
прояс |
няет, почему теоремы 4.1.4 и 4.1.5 неверны в комплексно-аналити ческом случае (А т ь я [3]). Рассмотрим точную последовательность
(3) непрерывных, гладких или комплексно-аналитических |
вектор |
ных расслоений над X. Точная последовательность (4) с |
W — W" |
определяет точную последовательность пучков ростков |
сечений |
(см. 3.5 и 16.1). Рассмотрим соответствующую точную когомоло гическую последовательность
Ид(Х, Horn (W", W'))->H°(X, Н о т (W", №))->
*
-> Я 0 (X, Н о т (W", W")) —°> Я 1 (X, Н о т {W", W%
Тождественный |
гомоморфизм |
W" -» W" |
определяет |
элемент / |
Є |
|||||||||||||||||
є |
Н° (X, Н о т (W", W")) |
|
и, |
следовательно, |
элемент |
|
6°(/) є= Я 1 |
(Я, |
||||||||||||||
Н о т (IF", W')). Из |
ТОЧНОСТИ последовательности |
вытекает, |
что по |
|||||||||||||||||||
следовательность |
(3) |
расщепляется |
тогда |
и |
только |
тогда, |
когда |
|||||||||||||||
д°(/) = |
0, |
значит, |
W изоморфно |
W'QW", |
если |
о°(/) = 0. |
В не |
|||||||||||||||
прерывном |
|
и |
гладком |
|
случаях |
пучки |
|
Є (Нот(ft?", W')) |
и |
|||||||||||||
%(\\om(W",W')), |
|
определенные в 3.5, являются тонкими и по |
||||||||||||||||||||
тому Я 1 (X, Horn(W", W)) |
~ 0. Этим доказана теорема |
4.1.4. По |
||||||||||||||||||||
вторное применение этого результата доказывает теорему 4.1.5. |
|
|||||||||||||||||||||
|
4.1g. Результаты п. 4.Id, а |
также |
теорема |
4.1.4 |
справедливы и |
|||||||||||||||||
в вещественном |
случае. А именно, верна |
следующая |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Т е о р е м а |
4.1.6. Пусть |
g |
есть GL(#, R)-расслоение |
над |
X |
и |
|||||||||||||||
W — ассоциированное |
векторное |
расслоение |
со слоем |
R9. |
Рассмот |
|||||||||||||||||
рим главное |
расслоение |
|
Е |
(со |
слоем |
GL(<7, R)) |
изоморфизмов |
|
R<? |
|||||||||||||
в |
W. Расслоение |
МW — E/,GL (г, q— |
г; R) имеет |
в |
|
качестве |
слоя |
|||||||||||||||
над х е |
X |
|
грассманово |
|
многообразие |
линейных |
|
(неориентирован |
||||||||||||||
ных) r-мерных подпространств пространства Wx. |
Если |
M W имеет |
||||||||||||||||||||
сечение |
s, |
то объединение |
подпространств |
s(x) |
образует |
векторное |
||||||||||||||||
расслоение |
|
W |
над |
X, |
ассоциированное |
с |
GL(r, R) |
-расслоением |
|
|||||||||||||
Объединение |
Wx/s |
(х) |
образует |
|
векторное |
|
расслоение |
W" |
над |
X, |
||||||||||||
ассоциированное |
с |
GL(q— |
г, R) -расслоением |
\". |
При |
этом |
£ со |
|||||||||||||||
впадает |
с |
суммой |
Уитни |
£' ф |
|
другими |
|
словами, |
|
W |
изоморфно |
|||||||||||
W |
© W". |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема |
остается |
верной, |
если |
везде |
GL заменить |
на |
GL*, |
а слово «неориентированное» заменить на «ориентированное». Тео рема верна также в гладком случае.
4.2. В этом пункте мы определим классы Чженя для непрерыв ного U (q) -расслоения над «допустимым» пространством X. Прост ранство X будем называть допустимым, если оно локально ком пактно, является объединением счетного числа компактных под множеств и конечномерно. Из первых двух условий следует, что X
паракомпактно |
(см. 2.8.2). В третьем условии мы используем сле |
||||||
дующее определение размерности: пространство X имеет |
размер |
||||||
ность |
^.п, |
если во всякое открытое покрытие it пространства X |
|||||
можно |
вписать |
покрытие S3, такое, что каждая точка |
из X лежит |
||||
не более |
чем |
в п + 1 |
открытых |
подмножествах из |
S3. |
Гладкое |
|
«-мерное |
многообразие |
,(см. 2.5) |
имеет размерность пив |
смысле |
этого определения. |
|
|
|
|
||
В |
дальнейшем |
мы будем |
предполагать, |
что все |
рассматривае |
|
мые |
расслоения |
определены |
над допустимыми |
пространствами. |
||
Классы Чженя будут определены как |
некоторые |
целочислен |
||||
ные классы когомологий пространства -X. Если явно не оговорено |
||||||
противное, то под группами |
когомологий |
пространства X с коэф |
фициентами в аддитивной группе А понимаются группы когомо логий пространства X с коэффициентами в постоянном пучке А
(см. 2.5, пример 1). В |
этом случа-е Н'(Х,А) |
совпадает |
с і-мерной |
|||
группой когомологий |
пространства X в смысле Чеха |
(с |
произволь |
|||
ными носителями) с |
коэффициентами в А. Если |
А—коммутатив |
||||
ное кольцо, то прямая |
сумма ^Н1(Х, |
А) |
является |
градуирован- |
||
|
|
і |
|
|
|
|
ным кольцом по отношению к w-произведению. Группы когомоло
гий пространства |
X |
с коэффициентами |
в |
пучке <5 |
могут быть |
||||||
также |
определены |
с |
помощью |
знакопеременных коцепей (С е р р |
|||||||
[2]), следовательно, |
НЦХ, |
©) = |
0 для і > |
п = |
dimX. |
В |
частности, |
||||
Н*(Х,А) |
= |
0 для і > |
п. |
Если |
X — локально |
|
конечный |
полиэдр, в |
|||
частности |
если X — гладкое многообразие, |
то Н{(Х,А) |
|
естествен |
ным образом изоморфны соответствующим симплициальным груп
пам когомологий ( С т и н р о д |
и Э й л е н б е р г |
[1], |
стр. |
250). |
|
|||||||||||||
Унитарная группа |
V(N)= |
|
1 ХЩА?) |
является нормальной |
под |
|||||||||||||
группой |
в V(q)XV(N). |
|
Следовательно, |
U (q + |
N)/U |
(N) |
есть |
глав |
||||||||||
ное расслоение со структурной группой V(q) |
|
над |
|
многообразием |
||||||||||||||
Грассмана |
®(q,N;C). |
Однородное |
|
пространство |
U (q + |
iV)/U (М) |
||||||||||||
является |
многообразием |
Штифеля |
унитарно |
ортогональных q-pe- |
||||||||||||||
перов |
в |
|
пространстве Сч+к- |
Гомотопические |
группы |
|
m{\J{q-\- |
|||||||||||
+ N)/U(N)) |
равны |
нулю |
для |
1 < |
|
і ^ |
2N |
( С т и н р о д |
[1], |
25.7). |
||||||||
Расслоение U ( q - \ - N)/U(N) |
ассоциировано с |
некоторым -i){q)-рас |
||||||||||||||||
слоением |
|
над |
®(q, |
N;C), |
которое |
называется |
|
универсальным |
||||||||||
U (q) |
-расслоением. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть |
X — допустимое пространство |
с dim A'sg: 2./V. Классифи |
||||||||||||||||
кационная |
теорема (см. С т и н р о д |
[1], |
19.4; |
К а р т а н [1], сообще |
||||||||||||||
ние VIII) |
утверждает, |
что |
U (q)-расслоения |
над |
X |
находятся во |
||||||||||||
взаимно однозначном соответствии с гомотопическими |
классами |
|||||||||||||||||
непрерывных отображений |
из |
X в |
©(<?, N;C). |
|
Более |
точно, |
всякое |
|||||||||||
U (q) -расслоение |
над |
X |
может |
быть |
индуцировано |
таким |
отобра |
|||||||||||
жением |
из универсального |
U (q) -расслоения |
|
и два |
отображения |
гомотопны тогда и только тогда, когда они индуцируют одно и то
же U (q) -расслоение. |
|
|
|
Для того чтобы определить |
классы Чженя |
для произвольного |
|
U (q) -расслоения над X, достаточно определить |
классы Чженя |
для |
|
универсального U (q)-расслоения |
над ®(q,N;C). |
Мы изберем |
не |
сколько иной подход, который дает «аксиомы» для классов Чженя вместе с доказательством единственности и существования. Этот
подход |
позволяет |
избежать |
путаницы |
со |
знаками |
(сравнение |
||||||
с другими |
определениями |
классов |
Чженя |
можно найти у |
Б о - |
|||||||
р е л я |
и |
Х и р ц е б р у х а [1]). |
|
|
|
|
|
|
||||
Аксиомы классов Чженя |
таковы. |
|
|
|
|
|
||||||
А к с и о м а I . Для |
всякого |
непрерывного |
U(q)-расслоения £ |
|||||||||
-над |
допустимым |
пространством X |
и для |
всякого |
целого |
і ^ 0 |
||||||
определены |
классы |
Чженя |
с,-(£)<= H2i(X, |
Z). Класс |
с0 (§) |
равен |
||||||
единичному |
элементу, |
с 0 ( | ) = |
1. |
|
|
|
|
|