Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

Мы

будем

писать

с ( | ) = 2

ci

(%)• Так как X конечномерно,

то

г=о

H*(X,Z)

это конечная сумма. Элемент с(|)

из кольца

когомологий

называется (полным)

классом

Чженя для |. Непрерывное отобра­

жение

/:

YX

индуцирует

отображение

l*:Hl(X,

U ((?) с ) —>-

-*Hl

(У,

U (<7)с) и

гомоморфизм

Z)-*H*(Y,

Z).

/*: 1Г(Х,

А к с и о м а

I I

(естественность),

с(/*£) =

/*с(g).

А к с и о м а

I I I . £с/ш

| ь

| 9

— непрерывные

U(1)-расслое­

ния

над

X, то

с ( S i © ••• 0 Е , ) = = с ( | , ) . . .

c(g,).

Пусть

( г 0 ' 2] : . . .

.' zn)

— однородные координаты

в комплекс

ном

проективном

пространстве

Р„(С). Открытые

множества

U{

определенные

условием г(Ф0,

образуют

открытое

покрытие,для

Р„(С). Пусть

т]„ — С*-расслоение,

определенное коциклом

{gtj}

=

= [z/z7"1}.

Расслоение

цп

комплексно-аналитично,

но его

можно

как U (І)-расслоение над Р„ (С). Гиперплоскость z0

=

0 с индуци­

рованной ориентацией изоморфна Р„_!(С) и представляет

собой

(2п — 2)-мерный целочисленный класс гомологии

в

Р„ (С).

Соот­

ориентации

Р„ (С)

обозначим

через

hn.

Класс А„ является обра­

зующим

для

Я 2 ( Р „ ( С ) , Z) = Z.

А к с и о м а

IV

(нормализация),

с(т)„) =

1 - f

hn.

З а м е ч а н и я .

Пусть /: Р„_, (С) -> Р„ (С) — вложение

гиперпло­

скости.

Тогда ' /*А„ = hn-x

и Гпя

=

Ля-і

в

соответствии

с

аксио­

мой II) . Дадим две геометрические

интерпретации

для

U(^-рас­

слоения

т)„. Пусть

Р„(С)

вложено

в

P„+i(C)

как

гиперплоскость

z n + 1 = = 0 ,

и

пусть л: 0 <=Р г е + 1 (С)

—точка ( 0 : 0 :

. . . : 0 : 1 ) . Имеется

непрерывное

отображение

я: Р „ + 1

(С) — {л:0}->- Р„(С), определенное

равенством

я (zQ:

. . . : zn : zn+i)

=

(z0

'• •••

'• z„). Определим гомео­

морфизм

hi.

я - 1

(Ut)-*- Uі

X С

формулой

M z „ :

••• •zn:zn+l)^(z0:

...

: z n

: 0 ) X ^ .

Тогда

hthT\(z0:

. . . :zn:0)Xw)

=

(z0: . . .

:zn:0)X^w.

Следовательно,

P„ + i(C) — {xo}

представляет собой

векторное рас­

слоение

Н над

Р„(С) со

структурной

группой

С* и слоем

С. Оно

ассоциировано с 0 (1)-расслоением

цп.

если р: Y-*~X — расслоение со слоем

Pg _i(C), ассоциированное с

U (q)-расслоением

(см. Г р о т е н д и к

[4]).

расслоения g определяются согласно а). Следует доказать

(см.

теорему

классификации

и

замечание

после

аксиомы

I V ) ,

что

с (1)

= Р , ( 1 +

^п)

зависит

только

от

g и

не

зависит

от

специаль­

ного

выбора

fun.

Ясно,

что

c(g)

удовлетворяет

аксиоме

I I

для

U(І)-расслоений

g. Для

U(q)-расслоения

g

класс

c(g)

опреде­

ляется с помощью

(8).

А

именно,

пусть

Е—• главное

расслоение

со

слоем

U(<?),

ассо­

циированное с g, и пусть

Yi =

Е/Тч.

По

теореме

3.4.4

имеется

Т<г-

расслоение g над У^, отображающееся

в

p*g

при

вложении

Т« сг

czV(q).

Обозначим

через

gi,

=

gQ

диагональные

U(^-расслое­

ния

для

I ,

и

пусть

c(gi)

1 +

Y*-

Так

как

отображение

р*: Н*(Х,

Z) —>-Я*(К^, Z)

мономорфно,

то

c(g)

можно

определить

формулой. (8), если

показать,

что

элементарные

симметрические

функции сг,- от уг лежат в образе р*.

Пусть

N — нормализатор

Т =

Те

в

U(<7),

так

что

N

=

= ( « e U ( ? ) ;

а - 1 Та = Т}.

Известно,

что

iV/T

есть

конечная

груп­

тов. Каждый

элемент

а ЄЕ Ф, представленный

элементом

а ЄЕ

N,

определяет

послойный

гомеоморфизм

а:

Y% —* У|.

По

отношению

к карте

V X ( U ( ^ ) / T ) ,

где V—-открытое

подмножество в

X,

а

за­

дается

правым

сдвигом:

для

v ЄЕ V,

g e U

(д),

g ( T ) e l )

(^)/Т.

Так как гомеоморфизм а действует послойно,

то

он

определяет

автоморфизм а* кольца когомологий H*(Y\,

Z),

ограничение

кото­

рого

на

р*Н*(Х,

Z) является тождественным

отображением.

Кро­

ме того,

имеется

внешний автоморфизм

t->a'lta

для

Т,

который

зависит только от а и индуцирует автоморфизм

а *

на Я 4 (У|,

Тс )

(см.

3.1

(2)). Так

как

этот внешний автоморфизм

является

пере­

становкой диагональных

коэффициентов

в диагональных

матрицах

( є Т ,

то

диагональные

(7(1)-расслоения

в

а * |

получаются

из

gi, . . . ,

gg

применением

той же

перестановки.

Можно

показать,

что

а*| == а*|,

где

а

индуцировано из а, как в

3.3.

Следователь­

но,

а*

переставляет'диагональные

U(l)-расслоения

| г ,

а

авто­

морфизм

в когомологиях

а* переставляет

уІ

(по аксиоме

I I , кото­

рая

уже

доказана

для

U(I)-расслоений).

Таким

образом, Ф

дейст­

вует как

группа

всех

перестановок

из

уь

• • • > Уд- Д л

я т о г °

чтобы

элемент

х є Я * ( У {

, Z)

лежал в р*Н*(Х,

Z),

необходимо,

чтобы

он

был

инвариантным

относительно

всех

операций

из

Ф,

По

разе •р*. Таким образом, это условие и достаточно.

Классы

Чженя

для £ можно теперь определить

равенством ctj =

p*Cj(£).

Ясно,

что они

не зависят

от

выбора Е

и удовлетворяют

аксиомам

I , I I

и IV.

Остается

проверить,

что выполнена аксиома I I I . Пусть

|

есть

U(q)-расслоение над X, которое является суммой Уитни

U(l)-рас­

слоений

%[,

І'

над X. Пусть

& — i-e диагональное

U(l)-pac-

слоение

для

£. Тогда расслоение

имеет сечение

s: X -*

F|,

та­

с (І) =

sYc

(£) = s*f[c

(£,-) =

f[c (£9.

З а м е ч а н и е . Для универсального U (q) -расслоения £ простран­

ства

X —

N;

С) и У| триангулируемы. Следовательно,

если

для

непрерывных

U (q)-расслоений

над

триангулируемыми

про­

странствами X определены классы с(£), удовлетворяющие аксио­

мам

I — IV, то

они

должны

совпадать с

классами

Чженя.

Если

X

триангулируемо,

то

характеристические

классы сг-(£)

е

e W 2 i

( I , Z) для

U (q)-расслоения

£

над

X

можно

определить

с

помощью

теории

препятствий

(см.

С ти нр о д

[1]).

Рассматри­

вается

расслоение

£ / U ( i — 1),

ассоциированное

с £ и

имеющее

в

качестве слоя многообразие Штифеля © ?

)

,• = U (q)i'H {і—1)

уни­

тарных

(q — і +

1)-реперов

в

Cq.

Первой

отличной

от

нуля

гомо­

топической группой для <5g ,i является

группа

я2 г-і(©д, І ) ,

изо­

морфная

бесконечной

циклической группе.

Этим

определяется

пер­

вое

препятствие

для

существования

сечения

в

расслоении

E/U(i—

1) над 2 г'-мерным остовом

пространства

X

ct&)<=HSi(X,

я * - , (©,.,)).

Для того чтобы представить Cj(£) как

элемент

из

H2i(X,

Z),

НаДО

ВЫбраТЬ КаКОЙ-НИбуДЬ

ИЗОМОрфИЗМ

М е Ж Д у

Я2г-і(©д, г)

и

Z.

менту 1 є

Z, определяется

следующим способом.

Выберем и за­

фиксируем

(q — і)-репер в

Cq . Дополнительное

подпространство

ентировано. Единичная сфера

S2 i _ 1 в С* также

ориентирована.

Дополняя каждую точку этой сферы до

фиксированного

репера,

получаем (q — і + 1) -реперы,

т. е. точки

из ©д,». Таким

образом,

определено отображение ориентированной

сферы

S2 l _ 1 в

©9 ,,-, ко­

торое и является требуемой образующей

группы

Я2г-і(@д, <)• Это