Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 93
Скачиваний: 1
4.3. |
Аксиомы I — I I I |
однозначно |
определяют классы |
Чженя, |
||||||||||
если |
определен |
класс |
|
|
для 11(1)- или С*-расслоения | |
(аксио |
||||||||
ма I V ) . В этом |
пункте |
мы |
приведем два других определения для |
|||||||||||
|
предполагая, что базисное пространство X допустимо. |
|||||||||||||
Т е о р е м а |
4.3.1. |
Пусть | є Я ' ( Х , |
С*с) — непрерывное |
^-рас |
||||||||||
слоение |
над |
X. |
Если |
6J: Я 1 |
(X, |
С*)-> Я 2 |
(X, |
Z) — изоморфизм, |
опре |
|||||
деленный |
в |
3.8, |
то cl |
(|) |
= |
61 (g). |
|
|
|
|
|
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Так как б] коммутирует с отображе |
|||||||||||||
ниями, |
достаточно |
доказать, |
что |
(r]„) = ft„ для расслоения г\п |
||||||||||
из аксиомы |
IV. Для га ^ 2 |
вложение |
|
/: Р„_, (С)—> Р„(С) |
индуци |
|||||||||
рует |
изоморфизм |
/*: Я 2 ( Р „ ( С ) , Z ) - * Я 2 |
(Р„_[ (С), Z). |
Поскольку |
||||||||||
Г&1(іп) = |
ЬЦ*(Чп) |
и |
|
— |
|
достаточно |
доказать, что |
b\(T\{)=hi |
||||||
для |
сферы |
Римана |
S2 |
= |
P!(C). |
|
|
|
|
|
Класс когомологий hi по определению двойствен классу гомо логии, представленному одной точкой. Следовательно, в симплициальных когомологиях hi представляется коцепью, сопоставляю щей 1 одному из 2-мерных симплексов (с ориентацией, соответ
ствующей |
естественной ориентации S2) |
и сопоставляющей |
0 ос |
|||
тальным |
2-мерным симплексам. Имеется естественный |
изоморфизм |
||||
между симплициальными когомологиями и когомологиями |
Чеха. |
|||||
Сферу S2 можно рассматривать как комплексную плоскость, ком |
||||||
пактифицированную точкой |
сю |
и параметризованную |
параметром |
|||
2 — ZI/ZQ. |
Триангулируем S 2 |
как |
тетраэдр |
с вершиной |
в z — 0 так, |
чтобы точка со была внутренней точкой грани, противоположной вершине 0. Обозначим остальные три вершины через А, В, С в по рядке следования в положительном направлении вокруг начала координат. Открытые звезды So, S A , S B , SC вершин тетраэдра об разуют открытое покрытие сферы S2, нерв которого изоморфен тетраэдру. Этот изоморфизм и индуцирует отождествление кого мологий Чеха и симплициальных когомологий.
С*-расслоение |
ці |
можно |
задать |
следующими |
отображениями |
||||
fTS из Sr П Ss |
в С*: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!ОА = |
їов — foe = |
z> |
ЇАО = |
ЇВО — |
ЇСО~2~1: |
|||
все другие |
/ r s = l . |
Далее, |
6J(r^) |
по-определению |
представлено |
||||
коциклом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Crst = |
g^T |
frs |
+ |
l o g |
fst + b g |
ft,), |
|
где для любых r, s мы выбираем ветвь логарифма в односвязной
области S R Л S S . Например, |
выберем |
|
logfoA |
произвольно |
и |
опре |
|||||
делим log /ов, log/ос как результат |
аналитического |
продолжения |
|||||||||
log/oA в положительном направлении вокруг начала |
координат |
||||||||||
(log/АО = |
—l o g / ОА , . . . ) • Если г и |
s |
оба |
отличны |
от |
нуля, |
то |
||||
log frs — 0. |
Следовательно, |
С0 СА == 1, |
crst |
— |
+ 1 (соотв. |
—1), |
если |
||||
г, s, t образуют четную (соотв. нечетную) |
перестановку |
0, |
С, |
А, |
и |
= 0 в противном случае. Но ОСА является положительно ори ентированным симплексом по отношению к естественной ориен
тации S2 и, следовательно, |
С0СА |
представляет |
класс |
когомологий |
||||||||
hi. Этим завершается доказательство теоремы 4.3.1. |
|
|
|
|||||||||
Пусть |
| — некоторое |
U (1)-расслоение |
над |
ориентированным |
||||||||
компактным |
многообразием |
X. |
Рассмотрим |
ассоциированное |
с |
|||||||
ним |
расслоение |
В->Х, |
слоем |
которого является единичный круг |
||||||||
| г | < ; |
1, г є |
С. Элемент |
е 2 я |
і ф є |
U ( l ) действует |
на |
В |
по формуле |
||||
z-+eZni(fz. |
Единичный круг |
естественным |
образом |
ориентирован. |
||||||||
Многообразие |
В является |
ориентированным |
многообразием |
с |
краем, ориентация которого индуцирована ориентациями базы и
слоя. Обозначим через S границу В. Тогда |
S—>Х |
является |
рас |
||||||
слоением со слоем S1, |
ассоциированным |
с |
|. Пусть |
s: |
Х - > В — |
||||
— S — вложение многообразия |
X в качестве нулевого сечения |
в В. |
|||||||
Следуя Т о м у |
[1], рассмотрим |
гомоморфизм |
Гизина |
|
|
|
|
||
s.: |
Н'(Х, |
Z)-*Hit2{B-S, |
Z), |
/ > 0 . |
|
|
|
||
Вторая группа представляет собой когомологий |
с |
компактны |
|||||||
ми носителями. Если обозначить через Dx |
изоморфизм |
Пуанкаре |
|||||||
групп когомологий с группами |
гомологии дополнительных размер |
ностей для X и аналогично обозначить через DB — S соответствую
щий изоморфизм для когомологий и гомологии с компактными но |
|||||||||||||||||||
сителями |
в B |
— |
S, |
то st(a) |
— DB-S(SXDX{O)), |
где |
и є Я 1 ' ^ , Z); |
||||||||||||
Пусть В— |
компактное |
пространство, получаемое из В стягиванием S |
|||||||||||||||||
в точку. |
Имеется |
естественный |
изоморфизм |
g*: Hlp(B |
|
— S, |
Z)—> |
||||||||||||
- > # ' ( . § , |
Z) |
при j |
> |
0. |
Расслоение |
g, рассматриваемое |
как |
рас |
|||||||||||
слоение |
над В, |
тривиально |
над |
В— |
s(X) |
и, следовательно, |
мо |
||||||||||||
жет |
рассматриваться |
как |
расслоение |
| |
над |
В. В |
этих |
|
обозначе |
||||||||||
ниях имеет место |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Т е о р е м а |
4.3.2. |
Пусть |
1єН°(Х, |
Z)—единичный |
|
элемент. |
|||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
г Ч ( і) = Мі) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
*Ч (!) = *,(£).• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Второе |
равенство |
означает, |
что класс |
Чженя |
Сі(|) |
является |
огра |
||||||||||||
ничением |
на s(X) |
класса |
когомологий |
(с |
компактными |
|
|
носителя |
|||||||||||
ми) |
из |
5 — S, |
соответствующего |
классу |
гомологии |
(с |
|
компактны |
|||||||||||
ми |
носителями), |
|
представляющему |
ориентированное |
|
|
подмногооб |
||||||||||||
разие |
s(X). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Второе |
уравнение |
следует |
из |
первого. |
|||||||||||||
Определение Т о м а |
[1] показывает, что s* |
|
коммутирует с непрерыв |
||||||||||||||||
ными отображениями, |
поэтому первое равенство достаточно до |
||||||||||||||||||
казать |
для расслоения |
г\п |
над Р П ( С ) . В |
этом |
случае |
(см. замеча- |
ч
ние после аксиомы IV) В = P n + i ( C ) , S = S 2 n + 1 и цп — iin +i. Ори ентация В индуцирует естественную ориентацию на Pn +i(C). Так
как |
X |
совпадает |
с |
естественно |
ориентированной |
гиперплоскостью |
||||||
Р„(С) |
В P n + 1 ( C ) , |
ТО |
g*S*(l) |
= |
Лп+1 = |
C i ( r ) „ + i ) |
= |
C i ( f j „ ) , |
что и |
|||
требовалось доказать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4.4. |
В этом пункте мы покажем, |
как |
вычислять |
классы |
Чже |
||||||
ня |
расслоений £*, |
| ф | ' , |
і <8> I ' , |
kpl |
(см. 3.6), зная |
классы |
Чженя |
|||||
для |
| |
и I ' . С этой |
целью |
мы докажем |
одну лемму, которая |
позво |
ляет сводить все подобные вычисления к случаю, когда все рас слоения являются суммами Уитни и(1)-расслоений.
Л е м м а |
4.4.1. |
Пусть | j — непрерывные |
U (qx) -расслоения |
над |
||||||||||||
допустимым |
пространством |
X |
(см. 4.2) |
(С пробегает |
конечное |
мно |
||||||||||
жество |
1,2, |
|
N). Тогда найдутся допустимое пространство Y |
|||||||||||||
и непрерывное |
отображение |
<p: |
Y —*Х, такие, что |
|
|
|
|
|||||||||
I) |
ф*: Н*(Х, |
Z) - * # * ( F , |
Z) |
— |
мономорфизм; |
|
|
|
|
|||||||
II) |
ф*|,- для |
каждого |
і есть сумма U (1)-расслоений. |
|
|
|||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о |
получается |
повторным |
применением |
кон |
||||||||||||
струкции из |
части |
Ь) |
доказательства |
единственности |
классов |
|||||||||||
Чженя |
(4.2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л е м м а |
4.4.2. Пусть |
gt, |
\г — два |
U(1)-расслоения |
над |
допусти |
||||||||||
мым пространством |
X. |
Тогда |
Ci(£i ® |г) = |
М Ы |
+ |
Ci(g2 ). |
|
|||||||||
Это следует из сказанного в п. 3.7 и теоремы 4.3.1. |
|
|
|
|||||||||||||
Примем |
следующее |
соглашение. |
Пусть |
ait |
bit |
с{, |
..., |
і = |
=1, 2, — коммутирующие между собой независимые пере
менные. Положим |
ао = |
bo = |
Со = |
... |
= |
1, и рассмотрим |
формаль |
||||
ные разложения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ft |
ft |
|
|
m |
m |
|
|
|
|
|
|
2 а,*< = П |
О + |
a/*), |
2 M ' = |
П |
(1 + |
М ) |
и |
т - |
Д- |
|
Всякий |
многочлен, |
симметричный |
по |
каждой |
группе |
переменных |
|||||
a j . Pi. |
Yj. • • •. можно |
однозначно |
записать в |
виде |
многочлена от |
элементарных симметрических функций at, ЬІ, СІ, . . . Если потом вместо переменных аи bu cit . . . , подставить их значения (из неко торого коммутативного кольца), то этот полином примет определен ное значение. В приложениях этими значениями будут четномер-
ные элементы |
из кольца |
когомологий. |
|
|
|
|||
Т е о р е м а |
4.4.3. Пусть |
| — некоторое U(q)-расслоение, |
а |
£'— |
||||
некоторое |
U (q')-расслоение |
над |
допустимым |
пространством |
X. |
|||
Рассмотрим |
формальные |
|
разложения |
|
|
|
||
2^(|)*< = П ( 1 |
+ |
^ ) > |
2 M S ' ) * ' = |
fi (1 + 6**). |
|
|
Тогда, |
с |
учетом |
принятого |
выше |
|
соглашения, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
I) |
|
|
i c , . ( s ' ) * ' = r [ ( i - Y / * ) , |
т.е. |
с,(Г) |
= |
( - 1 ) 4 ( 1 ) ; |
||||||||||||||||
|
|
(=0 |
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
П) |
q+q' |
|
|
|
|
Я |
+ |
|
|
Ч' |
( ! + « * * ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 ^ ( Ш Г ) ^ = |
П ( 1 |
Y;*) П |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
i=0 |
|
|
|
|
/=1 |
|
|
|
fc=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
<7<Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г. е. |
с(ЕФГ) = |
с ( £ М П ; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l<k^q'; |
||
HI) |
2 |
сЛі<8>І')*' = |
П ( 1 |
|
|
+ |
|
|
|
1</<<7 > |
|
|
|
|
|||||||||
|
г=0 |
|
~ |
|
|
/, ft |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
IV) |
. |
S |
|
с , ( П |
) |
= |
ГІ (і |
+ |
(Y 7 I |
+ • • • + |
|
ylp)x), |
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
произведение |
|
берется |
по |
всем |
^^комбинациям |
|
|
1 |
^ |
/ i < . . . |
||||||||||||
• • • < / Р |
< |
|
Я- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
По теореме |
4.1.1, |
лемме |
4.4.2 |
и |
аксиоме |
|||||||||||||||||
III |
из 4.2 |
эти формулы имеют |
место, |
если |
|, |
g' |
являются |
|
суммами |
||||||||||||||
U (1)-расслоений. Следовательно, |
по лемме |
4.4.1 |
они |
выполняются |
|||||||||||||||||||
и в общем |
случае. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
З а м е ч а н и е . |
Формула |
II) |
есть |
формула |
умножения |
|
Уитни |
||||||||||||||||
(иногда |
называемая |
«формулой |
|
двойственности»; |
см., |
например, |
|||||||||||||||||
Ч ж е н ь |
[2]). Из |
формулы |
I I I ) при q' |
— 1 следует |
формула |
К у н - |
|||||||||||||||||
д е р т а |
[1]. Если |
g— фиксированное |
U(q)-расслоение |
|
над X, а' | ' |
||||||||||||||||||
пробегает |
группу |
всех |
U (1)-расслоений |
над |
X, то |
g<8>g' |
пробегает |
||||||||||||||||
множество |
всех |
U (q)-расслоений |
|
над X, которые совпадают с g |
|||||||||||||||||||
как |
PL! {q)-расслоения, |
|
где PU(#) — проективная унитарная |
груп |
|||||||||||||||||||
па. Следовательно, для всех этих |
|
U (q)-расслоений |
могут |
быть вы |
|||||||||||||||||||
числены |
классы |
Чженя. Это |
и |
составляет |
содержание |
|
формулы |
||||||||||||||||
Кундерта. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4.5. |
В |
этом |
пункте |
определяются |
классы |
Понтрягина |
для |
|||||||||||||||
О (q) -расслоения |
g над |
допустимым |
пространством |
X |
|
(см. |
4.2); |
||||||||||||||||
они |
определяются |
через |
классы |
|
Чженя |
унитарных |
|
расслоений. |
|||||||||||||||
Согласно |
|
4.lb IV, этим |
определяются |
также |
классы |
|
Понтрягина |
||||||||||||||||
для GL(g, R)-расслоений над X. Если |
W — векторное |
расслоение |
|||||||||||||||||||||
над X со |
слоем |
R«, ассоциированное |
с g, то |
классами |
Понтрягина |
||||||||||||||||||
для |
W по определению |
служат классы |
Понтрягина |
для g. |
|
|
Рассмотрим следующие коммутативные диаграммы вложений:
|
V(q) |
-* |
0(2?) |
О (?) |
- U f a ) |
|
|||
|
I |
|
I |
|
I |
|
I |
|
(9) |
|
GL (q, C) -> GL {2q, |
R) |
GL {q, R) -> GL (q, |
C). |
|
||||
В первой диаграмме горизонтальные~стрелки обозначают вло |
|||||||||
жения, |
получающиеся, если |
линейное отображение |
пространства |
||||||
Сд с координатами |
г ь |
. . . , zg |
рассматривать |
как |
линейное |
отобра |
|||
жение |
пространства |
|
R2« с |
координатами |
xit |
,,,, |
Хц, |
положив |
zh = Хгь-і + iX2k- Во второй диаграмме горизонтальные стрелки обозначают вложения, получающиеся, если матрицы с веществен ными коэффициентами рассматривать как матрицы с комплекс
ными коэффициентами. |
|
|
Hl(X, |
0(q)c) |
||
Вторая |
диаграмма |
определяет |
отображение ip из |
|||
в Hx(X,\}(q)t) |
(см. |
3.1(2)). |
Для О (q)-расслоения |
g над |
X по |
|
ложим |
|
|
|
|
|
|
|
Hl) = c (i|> (I)) = |
І |
СІ (ар {І)) є Я* (X, Z) |
|
|
|
|
|
|
1=0 |
|
|
|
Рассмотрев классифицирующее пространство для 0(g), можно
доказать, |
что |
|
2с2 і+і(гр(І)) = |
0 ( Б о р е л ь |
|
[2], |
|
Р о т е н б е р г |
и |
||||||||||||||
С т и н р о д |
[1]). Элемент p,(g)<= НМ(Х, |
|
Z) |
|
называется |
|
|
/слас- |
|||||||||||||||
сом |
Понтрягина |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
для £. |
Сумма p ( g ) — 2 р г ( І ) |
называется |
(пол- |
||||||||||||||||||||
ным) |
классом |
Понтрягина |
для |
| . Из |
свойств |
классов |
Чженя |
сразу |
|||||||||||||||
же следует, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
I) Ро(І)==1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
II) |
р(П) |
— |
|
f*(p(l)) |
|
Для |
любого |
непрерывного |
отображения |
||||||||||||||
/: Y—*X и любого |
0(q)-расслоения |
| |
над |
X. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ш) |
P(h@h) |
|
= |
p(h)p(l2) |
|
Для |
g, є= Я ' |
|
О (?,)( ) |
|
и |
6а |
є |
||||||||||
є Я ' ( І , О (<72)с), |
где І і Ф І г — сумма |
Уитни |
^ |
и |
£2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
З а м е ч а н и е . |
Класс |
Понтрягина |
p(g) |
не удовлетворяет |
фор |
||||||||||||||||||
муле умножения |
I I I . Однако |
верно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
P(h |
(В h)—p(h)p(h) |
п |
о |
модулю элементов |
порядка |
2 в |
|
H*(X,Z). |
|||||||||||||||
Первая |
из |
|
диаграмм |
(9) |
определяет |
отображение |
|
р |
из |
||||||||||||||
Hl(X, |
V(q\) |
в |
Я 1 |
(X, 0(2q)c). |
|
Если \ есть |
U(q) -расслоение |
надХ, |
|||||||||||||||
то p(g) |
есть О (2q) -расслоение |
над Я. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Т е о р е м а |
4.5.1. Пусть | есть V(q)-расслоение |
|
над |
X. |
Тогда |
||||||||||||||||||
|
/5(Р ( S ) ) = l - P i (p(i)) + |
P 2 ( p ( i ) ) - p 3 ( p U ) ) + |
|
. . • |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
• |
= ( l + c , ( i ) + c 2 ( g ) + . . . ) ( l - c , ( g ) + c 2 ( 6 ) - . . . ) . |
|
|||||||||||||||||||
£сли |
C{ рассматривать |
формально |
как |
элементарные |
симметриче |
||||||||||||||||||
ские |
функции |
от уи то p,(p(g)) |
будут |
элементарными |
симметри |
||||||||||||||||||
ческими |
функциями |
от yj |
(см. |
1.3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Рассмотрим |
вложения |
|
U (q) cz 0(2q) |
cz |
|||||||||||||||||
czU(2q). |
Элемент |
A^V(q) |
|
|
определяет |
элемент |
из |
\J(2q), |
ото |
||||||||||||||
бражающийся |
хорошо |
известным |
автоморфизмом |
группы |
U(2<7), |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
0\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
не зависящим |
от А, в элемент L |
-д). |
|
Так |
как |
|
матрица |
А |
уни |
||||||||||||||
тарна, |
то |
комплексно |
|
сопряженная |
матрица |
|
А |
совпадает |
с |