Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

Tk{cv

' » ) в ± # * ! >

і .

Y„>

Аналогичное

замечание имеет

место

и для построенных в 1.6

многочленов

Ah.

Эти

многочлены

по существу

совпадают с рас­

смотренными

Нёрлундом многочленами

Du. Именно, в обозначе­

ниях п. 1.3 и

1.6

ков, используемые в

настоящей книге

(см. также

К а р т а н [2],

С е р р [2], Г р а у э р т

и Р е м м е р т [1]

и Г о д е м а н

[1]). Послед­

ваются открытыми окрестностями этой точки.

Семейство

откры­

тых множеств топологического пространства X

называется

базой

обладают непересекающимися

открытыми

окрестностями.

Семейство

U = {Ui}l є

j открытых

множеств пространства J на­

зывается его

открытым

покрытием,

если

объединение

множеств

этого семейства совпадает со всем пространством X. Возможность

того, что одно

и то же открытое множество несколько раз входит

в семейство

(с различными

индексами

і),

при этом

не исклю­

читься

собственными

открытыми покрытиями U = {{/J, є /

прост­

ранства

X, в которых, во-первых, различным индексам

і, / є / , от­

вечают

различные

множества C/t» Uj и, во-вторых,

в

качестве

Открытое

покрытие

23 = { У /

} і є /

пространства X

называется

вписанным в

открытое

покрытие

U =

{ ( / ( } i ( S / или

измельчением

Ясно, что каждое открытое покрытие эквивалентно

некоторому

собственному

покрытию.

компактным,

Хаусдорфово

пространство

называется

если

из

любого его открытого покрытия U =

є /

можно выбрать конеч­

ное подсемейство {£7^,

также

являющееся

покрытием.

2.1.

Определение

пучков

и

их

гомоморфизмов.

О п р е д е л е ­

н и е .

Пучком

(абелевых

групп) над

топологическим

простран­

ством

X

называется

тройка

& — (S,n,X),

обладающая

следую­

щими тремя

свойствами:

I) 5

является

топологическим

пространством,

а я — его непре­

рывным

отображением

на

пространство

X.

II)

Каждая точка

a e S

обладает

в

S

открытой

окрестностью

N, такой, что ограничение

n\N

отображения

я

на N

является

го­

меоморфизмом

окрестности N

на

некоторую

открытую окрестность

точки я (а)

пространства

X.

называется стеблем пучка © над

Прообраз

я~'(л;)

точки

х є Х

этой точкой и обозначается символом Sx.

Каждая точка

простран­

ства S принадлежит одному и

только одному стеблю. Из свой­

ства I I , означающего,

что я

является локальным

гомеоморфизмом,

вытекает, что топология пространства S индуцирует на каждом

стебле дискретную

топологию.

III) Каждый стебель Sx

наделен

структурой

абелевой

группы,

так что для

любых

точек

а,

р є

Sx

определены

их сумма

а -\- |3

є

E S t

а

разность

а —

Эта

разность

непрерывно

зависит

от а и р.

Последнее условие расшифровывается следующим образом.

Пусть

S 0 S

— подпространство

пространства

5><5, состоящее

из

всех точек

(а, Р),

для

которых

я ( а ) =

я(Р) .

Тогда

отображение

S ® S — * S , определенное

формулой

(а, р ) - * а — р , непрерывно.

Из

этих

аксиом

немедленно

вытекает, что нулевой элемент 0Х

абелевой группы

Sx

непрерывно

зависит от х в том смысле, что

отображение

X—*S,

определенное

формулой

х-*0х,

непрерывно.

Аналогично

сумма

а +

р также

непрерывно зависит от а и р.

З а м е ч а н и е .

Можно

определить

пучки,

на

стеблях

которые

О п р е д е л е н и е .

Говорят,

что

над

топологическим

простран­

ством

X

задан

предпучок

(абелевых

групп),

если

каждому

откры­

тому

множеству U пространства X

сопоставлена

некоторая

абе-

лева

группа

Sv

и

любым

двум

открытым

множествам

V

и

V

с

V cz U сопоставлен

гомоморфизм

r^: S^-^S^,,

причем

выпол­

нены следующие

аксиомы:

I)

Пустому

множеству

отвечает

нулевая

группа:

если

U =

0,

то Sv

— 0.

II)

Гомоморфизм

г^:

Su-^-Su

является

тождественным

отобра­

жением.

Если

W czV

a

U,

то ^

=

г\гьч.

З а м е ч а н и е .

Ввиду

аксиомы

I)

группы

Sv

и

гомоморфизмы

достаточно

задавать

лишь

для

непустых

открытых

множеств

U

и

V.

Следующая конструкция позволяет каждому предпучку сопо­

ставить

некоторый

пучок.

a) Для каждой точки х^Х

обозначим

через

Sx

прямой

пре­

дел

абелевых групп SUt

л є [ / ,

по

отношению

к

гомоморфизмам

(см.,

например,

С т и н р о д

и

Э й л е н б е р г

[1], гл. V I I I ) . По

определению

это

означает,

что

для

любой

открытой

окрестности

U

точки

х

каждый

элемент

f є

Sv

определяет

некоторый

элемент

fx

є

Sx,

называемый

ростком

элемента

f

в

точке х, причем каж­

дая точка множества Sx

является

ростком

некоторого

элемента

и

два

элемента

| є 5 ( ,

и

g e S v ,

где

U и

V — некоторые

открытые

окрестности точки х, тогда и только тогда

определяют

один

рос­

ток, когда у точки х существует такая

открытая

окрестность

W,

что

W cz U,

W с= V и r"f

=

rvJ.

сам

b) Прямой предел Sx

абелевых

групп

естественным

образом

является

абелевой

группой. Пусть

5 — объединение всех групп

Sx,

л е ї ,

и

пусть

я: S—*Х

— отображение,

переводящее

каждую

из групп Sx,

х i= X,

в соответствующую точку х

еХ.

c)

Для

любой точки

у є

U каждый

элемент

f є

Sv

определяет

некоторый росток fv^Sy.

Пусть fv

— подмножество множества

S,

состоящее

из

всех

ростков

fv,

у є

U.

Семейство

всех

множеств

fa

(U

пробегает

всевозможные открытые

множества

пространства

X,

a f пробегает все элементы из Su)

образует

базу

некоторой

топо­

логии в множестве S. Будем считать 5 топологическим

простран­

ством, снабженным

этой

топологией.

Без

труда

проверяется,

что

построенная

так

тройка

<5 —

=

(S,л, X)

является

пучком

абелевых

групп

над

пространством

X. Мы будем называть его пучком, порожденным

предпучком

ft,.'?}.

[Sv,

г"}

Пусть

© =

и

@ =

[Sy,

— два

предпучка

над

про­

странством

X.

Гомоморфизмом

h

предпучка © в предпучок ©

называется

семейство {hy}

гомоморфизмов

hu\

Su-+Su,

переста-