Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 96

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Теорема 23.2.1 следует немедленно из спектральной

последова­

тельности

Лере

(см. К а р т а н

[2]

и Г о д е м а н [1], гл.

I I , 4.17.1).

Прямое

доказательство можно найти у

Г р а у э р т а

и Р е м -

м е р т а

([1], стр. 417).

 

 

 

 

 

Доказательство

теоремы Римана — Роха, приведенное в

21.1,

опирается

на

один

результат

А.

Бореля

(теорему 21.2.1).

Как

замечено в 21.2, для того чтобы завершить непосредственное до­

казательство

теоремы Римана — Роха,

достаточно

доказать

равен­

ство 21.2(9). Мы докажем сначала лемму.

 

 

 

 

Л е м м а

23.2.2. Пусть

X — комплексно-аналитическое

 

расслое­

ние

над комплексным

многообразием

Y со

слоем Р П ( С ) и

с

проек­

цией

f. Пусть W — комплексно-аналитическое

векторное

расслоение

над

Y. Тогда

существует

естественный

изоморфизм

между

анали­

тическими пучками

Q(W)

и f°Q (f*W). Аналитические

пучки

f^Q if*W)

равны нулю

при і >

0.

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть U — открытое подмножество в У.

Голоморфное сечение s расслоения W над U определяет голо­

морфное сечение sf расслоения f*W над

f-xU. Так

как

каждый

слой Р П ( С )

компактен и связен, этим определяется

изоморфизм

НЦи,&(№))-»НЦ}-Ци),а(}*1)У)).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это доказывает первую часть леммы. Вторая часть чисто ло­

кальна, поэтому можно предполагать, что

U — голоморфно

полное

открытое подмножество,

над

которым W и X тривиальны. Мы

хо­

тим доказать, что W(/-'((7),

Q(f*W))—0

для

і >

0.

Так

как

f*W\f~l(U)

есть

сумма

тривиальных

одномерных

расслоений,

то

достаточно

доказать, что

Я * ( / - 1

(<У), 1) =

0

для

і

>

0.

Теперь

Я ' ( 1 / , 1 ) = 0

для

г > 0

(23.1)

и

Я 8 ( Р П

( С ) ,

1 ) = 0

для

s

> 0

(15.10). Следовательно, в этом случае может быть применена фор­

мула Кюннета (см. К а у п [1], § 7,

теорема

1)

для

аналитических

пучков, что

дает

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Hlij-l{U),

l) =

Hl(UXPn(C),

l)

=

 

 

 

 

 

 

 

=

2

нГ{и,

І ) ® Я * ( Р „ ( С ) ,

i)

=

o

для

;>o.

 

 

r+s=i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З а м е ч а н и е .

Формула

Кюннета

для

пучков

получена

Гро-

тендиком

(см. Б о т т

[1] и

Б о р е л ь

и С е р р

[2]). Доказатель­

ство этой формулы для аналитических когерентных пучков было дано С э м п с о н о м и У о ш н и ц е р о м [3]. Использованная выше формула для аналитических когерентных пучков верна при неко­ торых предположениях конечности 'относительно рассматриваемых групп когомологий; в нашем случае эти группы равны нулю. По­

дробности

см. у

К а у п а [1].

Лемма

23.2.2

и теорема 23.2.1 для <$ = Q(f*W) дают следую­

щую теорему.

 

Т е о р е м а 23.2.3.

Пусть X — комплексно-аналитическое

 

 

рас­

слоение

над

комплексным

многообразием

Y

со

слоем

Р П (С )

и

проекцией

f.

Пусть

W — комплексно-аналитическое

векторное

рас­

слоение

над

Y.

Тогда

 

векторные

пространства

Hq(Y,W)

 

и

Hq(X,f*W)

изоморфны

для

всех

q ^

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В качестве следствия мы получаем равенство 21.2(9), необхо­

димое для завершения доказательства

теоремы

Римана — Роха:

 

 

 

dim Hq

(Y,

W) = dim Hq

(X, fW).

 

 

 

 

 

(2)

Прямые образы

fl<& обладают специальными свойствами,

если

© — когерентный пучок. Пусть X — комплексное

многообразие

раз­

мерности

я,

© — когерентный

аналитический

пучок

над

 

X

и

/:

X-*Y

— голоморфное

отображение

комплексных

 

многообразий.

Следующие

теоремы

превращаются

в

теоремы

23.1.1

и

23.1.2,

если

У состоит из одной

точки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

23.2.4.

В

указанных

выше

условиях

 

/ ' 6 =

0

для

q>

п.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

23.2.5.

В

указанных

выше

условиях

 

если

f — соб­

ственное отображение, то пучок fq(B когерентен для всех q ^ 0.

Теорема 23.2.4 есть непосредственное следствие теоремы 23.1.1. Теорема 23.2.5 представляет собой глубокий результат Г р а у э р - та [2]1 ). Для алгебраических многообразий теорему 23.2.5 можно

доказать алгебраически ( Б о р е л ь и С е р р [2], теорема

1), если

использовать связь между когерентными аналитическими

пучками

икогерентными алгебраическими пучками ( С е р р [4]).

23.3.Пусть X — комплексное многообразие, С(Х) — множество классов изоморфизмов когерентных аналитических пучков над X, F(X) — свободная абелева группа, порожденная С(Х). Всякий эле­

мент

из F(X) является конечной линейной

комбинацией

2

"І®/ .

ПІ

е

Z,

где ©І — когерентные

аналитические

пучки

над X.

Пусть

R(X)

— подгруппа,

порожденная элементами

© — ©' — ©", где

 

 

 

 

 

 

0 - > © ' - > 6 - > © " - > 0

 

 

 

 

 

— точная

последовательность

когерентных

аналитических

пучков

над

X.

Группой

Гротендика

когерентных

аналитических

 

пучков

над

X называется факторгруппа Ка(Х)

—

 

F(X)/R(X).

и

Ь е

 

Пусть

X — компактное

комплексное

многообразие

e/C m (Z ) — элемент,

представляемый

линейной

комбинацией

2

«,-бі

когерентных аналитических пучков

 

на X. Теоремы

23.1.1

і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(F) и,

 

 

 

и

23.1.2

 

показывают,

что

©г

имеют

тип

следовательно,

') См. также К н о р р [1]. — Прим. перев,

%(Х,&І)

определено (см. 2.10). Целое число

 

 

 

 

 

%(Х,

Ь)=%па(Х,

©,)

 

 

 

 

 

 

 

і

 

 

 

 

 

 

зависит только от элемента Ь.

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

/: X—*У — собственное

голоморфное

отображение

ком­

плексных

многообразий. Если

6 е С ( Х ) ,

то

по

теоремам

23.2.4 и

23.2.5 /?©«=С(У) для

q^O

и

fq& =

0

для

q > dim

X.

Рас­

смотрим гомоморфизм fu F(X)—*F(Y),

определенный на образую­

щих группы F(X) равенством

 

 

М©) = £ ( - 1

, f.'(®),

п-dimX.

<7=0

 

 

Точная последовательность (1) показывает, что // отображает подгруппу R(X) в R{Y). Следовательно, /і индуцирует гомомор­ физм

f,: KM->Ka(Y).

С помощью спектральной последовательности Лере можно до­ казать (см. Б о р е л ь и С е р р [2], стр. 111), что если /: X-*Y и q: Y-+Z— собственные голоморфные отображения комплексных многообразий X, Y, Z, то

=

 

 

 

(3)

Рассмотрим частный случай, когда

Y состоит

из

одной

точки,

a f — постоянное отображение. В этом случае f

собственно

тогда

и только тогда, когда X компактно.

Когерентный

аналитический

пучок над Y представляет собой конечномерное комплексное век­

торное пространство и, следовательно,

Ka,(Y) = Z. Таким образом,

=

Ь)..

 

 

(4)

Гомоморфизм fi аналогичен гомоморфизму Гизина /* для ко­ гомологий. Если X и У — компактные связные ориентированные многообразия (не обязательно комплексные) и /: X—*Y — непре­ рывное отображение, то определен гомоморфизм Я* (У, Z)-модулей

' f,: H'(X,Z)->H'(Y,

Z),

который отображает классы коразмерности q в классы коразмер­ ности q. Как и в 4.3, f, (х) = DVl (f,Dx (х)) для x^H*(X,Z), где

Dx, DY — изоморфизмы двойственности от когомологий к гомологиям. Гомоморфизм /*: Н*(Х, 0) - >Я*(У, Q) определяется анало­ гичным образом. Если q: Y-*Z — еще одно непрерывное отобра­ жение связных компактных ориентированных многообразий, то

(Bf). = gJ..

(5)

Рассмотрим частный случай, когда У —точка, / — постоянное отображение, а X— компактное связное ориентированное много­ образие (вещественной) размерности т. В этом случае

Ш = хтЫ-1, » є Я ' ( Х ) , (6) где 1 є Я ° ( У ) — единичный элемент, а % т [ ] определено, как в 9.2.

23.4. Пусть X — комплексное многообразие, С'(Х) — множество классов изоморфизмов комплексно-аналитических векторных рас­

слоений над X

и F'{X) — свободная

абелева

группа,

порожденная

С'(Х).

Точно так

же,

как

и

23.3, мы можем

определить

группу

Гротендика

/Си (X)

комплексно-аналитических

векторных

расслое­

ний над X. Имеется естественный гомоморфизм

h:

К(а(Х)-+К«,{Х),

задаваемый

равенством

h(W)=

Q(X).

 

 

 

 

Т е о р е м а

23.4.1.

Пусть

X — алгебраическое

многообразие.

Тогда

h — изоморфизм.

 

 

 

 

 

 

 

 

Основным моментом в доказательстве теоремы 23.4.1 служит

следующая лемма.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л е м м а

23.4.2.

Пусть

© — когерентный

аналитический

пучок

над n-мерным

алгебраическим

многообразием

X. Тогда

существуют

комплексно-аналитические

 

векторные

расслоения

Wo, W\,

..., Wn

над X и точная

последовательность

 

 

 

 

 

 

0->Q(lTl t )->Q(Wr l ,_1 )-> . . . - - > Q ( ^ o ) - > © - > 0

(7)

аналитических пучков над X.

Лемма 23.4.2 показывает, что гомоморфизм h сюръективен.

 

 

 

 

п

 

 

 

 

После этого

надо показать, что элемент

2(—1)' Wt

из

Ка>(Х),

 

 

 

 

г=0

 

 

 

 

определяемый

точной последовательностью

(7), зависит

только

от

©. Доказательство этого факта для того случая, когда

© — коге­

рентный

алгебраический

пучок над X, приведено

у Б о р е л я

и

С е р р а

[2]. Указанное

выше утверждение

следует

тогда

из соот­

ветствия между когерентными аналитическими пучками и коге­ рентными алгебраическими пучками над алгебраическим многооб­ разием ( С е р р [4]). Подобное замечание относится ко всем другим результатам, упоминаемым в этом параграфе, включая саму тео­ рему Римана — Роха в форме Гротендика (23.4.3). Доказательства чисто алгебраические и приложимы к неособым неприводимым проективным многообразиям, определенным над произвольным ал­ гебраически замкнутым полем К. Все формулируется в терминах топологии Зарисского, когерентных алгебраических пучков и ал­ гебраических векторных расслоений со слоем Кд . Кольцо когомо­ логий H*(X,Z) заменяется кольцом ЧжоуЛ(Х) классов алгебраиче­ ских циклов относительно рациональной эквивалентности. В случае когда К—С, результаты Серра, упоминавшиеся выше, позволяют

Смотрите также файлы