Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 95

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

где

 

произведение

берется

по

 

всем 1 ^

k ^

 

16,

 

а

соответствующими

значениями

 

для

цк

являются

 

1,

2,

3,

4, 4,

5,

 

5,

6,

6,

7, 7, 8,

8,

9,

10,

11.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VI)

ПГ (М,

Л) =

 

- х ( М / А ) П

 

18 (л — I) +

ЙЛ

 

 

 

 

 

 

 

где

произведение

берется

по

всем

k—\,

 

 

 

27,

а

соответствую­

щими

значениями

 

для

\ik являются

1,

2,

3,

4,

5,

5,

6, 6, 7, 7,

8,

8,

9,

9,

9,

10,

10,

11,

11,

12,

12,

13,

13,

14,

15,

16,

17.

 

 

 

 

 

 

 

З а м е ч а н и е .

 

Другой

метод

вычисления

 

чисел

ПГ (Л1, А),

го­

дящийся и в том

случае,

 

когда

 

условие с)

опущено,

принадлежит

С е л б е р г у

[1].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И с э

 

[2]

 

обобщил

формулы

I) — VI)

 

на

 

более

общие

типы

автоморфных форм. Он также пользуется принципом пропорцио­ нальности. Л а н г л е н д с [1] получил эти формулы и соответствую­ щие формулы, когда условие с) опущено, с использованием фор­

мулы следов Селберга и результатов

Хариш-Чандры').

 

 

 

22.4. В этом пункте теорема Римана — Роха %(V, W)=T(V,

 

W)

будет

применена к

случаю

V=

Р„(С). Для

любого п мы

 

будем

рассматривать Pn _i(C) как

гиперплоскость

в

Р П ( С ) .

Соответст­

вующий

класс

дивизоров определяет

одномерное

расслоение

Н

над Р П (С)

с

классом когомологий / t e № ( P n ( C ) , Z ) .

Пусть

W —

непрерывное

 

комплексное

векторное

расслоение

над

Р П (С)

со

слоем

Сд и

с

классом Чженя 1 +

dxh

-}-...+

 

djis,

dj

e Z ,

s s=: q,

s ^ n .

Тогда

в

Я*(Р„(С), С) =

 

tf*(P„(C),Z)

<S> С имеется

разло­

жение

 

1 +

d,A + . . .

+

aV»* =

(l + M )

••• (1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где 6j ^

С и, следовательно,

по

10.1 и

4.4.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г(Р„(С), М®Нг)

=

кп

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J'

( .

 

 

ft

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

S

2ST J o l . - * ) » + '

d h

>

 

 

 

 

где 6 s + i == . . .

 

= 6g = 0, а

интегрирование

проводится по

 

малой

окружности

вокруг

начала

кородинат.

Подстановка

г ~

1 — e~h

дает

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г(р„(с),

w®Hr)

= y i

[ n

+ brl +

r

) .

 

 

 

 

 

') Х и р ц е б р у х у [7] принадлежит другой

вывод этих формул, основанный

на теореме об индексе Атьи — Зингера. — Прим.

перев-

Если

W есть

комплексно-аналитическое

векторное

расслоение,

 

 

 

q

 

 

то из теоремы Римана — Роха следует, что

ч и с л о в і

'

I ,

которое,

вообще

говоря, рационально со знаменателем

п\, являет­

ся целым для всех г. То же самое заключение остается в силе и

для

непрерывного

векторного

расслоения

W по теоремам

целочис­

ленное™ из 26.1. Тем самым

доказана

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а 22.4.1

Пусть

W — непрерывное

комплексное

вектор­

ное

расслоение

над

Р„(С) с классом

Чженя

 

 

 

 

 

 

 

l + d , A +

••• +d4 Ai ==(l+d1 A)

. . .

 

(l+6sh),

 

где

dj є

Z, 6j e

С,

s ^

п.

Пусть r — целое

число.

Тогда

симмет­

рическая

функция

ОТ bj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( n + r + i>i\,

 

•••

,

( п — г +

b s \

 

 

 

 

 

 

[

 

п

 

J +

+1

 

п

 

)

 

 

 

является

целым

числом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р ы .

Рассмотрим

 

случай

q = 2.

Тогда

( " б ' ) +

" т - ( И " « б 2 ) является

целым числом. Это влечет следующие огра­

ничения на целые числа d\ =

бі + 62, d2

=

6i62 :

 

 

 

 

 

 

п — 2

 

никаких

ограничений,

 

 

 

 

 

 

 

п =

3

 

е ^ 2 э = 0

(mod 2),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л =

4

 

d2(d2+

 

1 — 3 r f i - 2 d 2 )

=

0

(mod 12).

 

 

Пусть

W — касательное

расслоение

к

Р 2 (С) . Тогда

s — 2, d\ =

а= d2 — 3 и й?іС?2 нечетно. Следовательно,

 

W не является

ограниче­

нием на Рг(С) никакого непрерывного

векторного

расслоения над

Р 3 ( С ) . Аналогично

можно

показать,

что для

всех

п ^ З

касатель­

ное расслоение к Р„_і(С)

не является

ограничением никакого век­

торного

расслоения

к

Р„(С).

Пример

непрерывного

векторного

расслоения W над Рз(С) со слоем С2, которое не является ограни­ чением на Рз(С) никакого векторного расслоения над Р4(С), дается следующей классической конструкцией. Рассмотрим линей­

ный комплекс в

Рз(С), т. е. множество прямых,

удовлетворяющих

уравнению ^ацрИ

= 0, где р0 ь Рог, Роз, Ргз,

Рзи Р\2 — плюкке-

ровы координаты. Прямые линейного комплекса, которые прохо­

дят через точку

Рз(С), образуют плоский

пучок. Он

опреде­

ляет алгебраическое расслоение В над Рз(С)

со слоем

Pi (С).

Имеется ассоциированное векторное расслоение W над Рз(С) со

слоем С2 и с di — d2=^2. Таким

образом, d2{d2-\-

1 — 3d[ — 2df} =

===2 (mod 12) и

W не является

ограничением никакого векторного

расслоения над Р4(С).

В общем случае теорема 22.4.1 дает условия, необходимые для того, чтобы целые числа d\, ..., ds могли служить классами Чженя непрерывных комплексных векторных расслоений над Р П (С ) со слоем Сд. Эти условия трудно проверять для конкретных q, п, но для фиксированного q они становятся все более ограничитель­ ными, когда л—юо. Действительно, из одной леммы алгебраиче­ ской теории чисел (указанием на которую автор обязан Дж . Кас-

селсу) следует, что если ^ ( " S / ) является целым числом для

/=1

всех п, то каждое 6j — целое число. Отсюда вытекает следующая теорема.

Т е о р е м а

22.4.2.

Пусть

W — непрерывное

векторное

расслое­

ние над

Р П (С)

со слоем

Cq,

причем

W является

ограничением

на

Р„(С)

непрерывного

векторного расслоения

над

Рдг(С)

со

сколь

угодно

 

большим

N.

Тогда

найдутся

целые

Г\,

...,

rg, такие,

что

с (W) =

с (Яг> © . . .

0

Нгя).

 

 

 

 

 

 

Дальнейшие результаты о комплексных векторных расслоениях

над Р„(С) можно найти у

Х о р р о к с а

[1, 2] и

Ш в а р ц е н б е р -

г е р а

[1]. О классификации

комплексно-аналитических векторных

расслоений над алгебраическими кривыми, где

также исполь­

зуется

теорема

Римана — Роха,

см. А т ь я

[1, 2], Г р о т е н д и к [3],

Н а р а с и м х а н

и С е ш а д р и

[1, 2] и

Т ю р и н

[1,2].

§23. Теорема Римана — Роха

вформе Гротендика

Обобщение теоремы Римана—Роха, принадлежащее Гротендику, существенно опирается на теорию когерентных анали­ тических пучков над комплексными многообразиями. Обзор их свойств приведен в 23.1—23.3 вместе с доказательством равенства 21.2(9). Сама теорема Гротендика — Римана — Роха описана в 23.4—23.6. Во всем этом параграфе все алгебраические многооб­ разия предполагаются связными.

23.1. Пусть

Хп — комплексное

многообразие

размерности п,

a Q — пучок ростков

голоморфных функций над

Хп

(см.

15.1).

Каждый стебель Qx

пучка О является

кольцом с единицей

1.

О п р е д е л е н и е .

Пучок

© =

(S,п,Хп )

абелевых

групп

назы­

вается

аналитическим

пучком

над Хп,

если

 

 

 

 

I)

Каждый

стебель

Sx

пучка

©

есть

модуль

 

относительно

кольца

Qx (единичный

 

элемент 1 ЄЕ

действует

тождественно).

II)

Отображение

из

( J

QxySx

 

(рассматриваемого как

под-

пространство

в QyS)

в S, задаваемое мультипликативной

струк­

турой модуля,

непрерывно.

 

Наиболее важную роль ,играют когерентные аналитические пучки. Далее, Q p обозначает прямую сумму Q ф . . . ф Qp экземп­ ляров Q.

О п р е д е л е н и е .

Аналитический

пучок

© н а д

Хп называется

когерентным,,

если для всякой точки

х є Хп

существуют открытая

окрестность U точки

х и точная последовательность

пучков

над U

 

 

Qp\U->QQ\U^><5\U->0.

 

 

 

За основными -свойствами когерентных

аналитических

пучков

мы отсылаем

к Г р а у э р т у и Р е м м е р т у

[1]. Определение, дан­

ное там, на первый взгляд более ограничительно, чем приведенное

выше. Однако

из

теоремы

Оки о пучке

соотношений,

определяе­

мых

системой

голоморфных

функций

(см. К а р т а н [3], сообще­

ние X I V ) , следует,

что Q когерентно

в смысле Г р а у э р т а

и Р е м -

м е р т а

[1]. Отсюда

можно

вывести,

что

два

определения

ко­

герентности

эквивалентны

 

(см. С е р р

[2], гл. I , пред. 7). Заметим,

что когерентность — чисто локальное

свойство.

 

 

 

 

 

Пучок

Q(W) ростков

голоморфных

сечений

комплексно-анали­

тического

векторного

расслоения W над Х„ со слоем С, локально

изоморфен

Qq.

Поэтому

Q(W) — когерентный

аналитический

пу­

чок. Если © — произвольный

пучок

над Хп,

то

группы

когомоло­

гий Хп с коэффициентами

 

в © могут быть определены с помощью

знакопеременных

коцепей

(см. С е р р [3]). Отсюда

с учетом

общих

фактов теории

размерности

следует, что Н<*(Хп,<&) = 0 для q > 2п.

Для когерентных аналитических пучков более точный

результат

был доказан М а л ь г р а н ж е м [1].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

23.1.1. Пусть

© — когерентный

аналитический

 

пучок

над

n-мерным

комплексным

 

многообразием

 

Хп.

 

Тогда

 

 

 

для

q>

п.

 

 

 

 

Я ' ( * „ , © ) =

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соответствующая

теорема

конечности

принадлежит

К а р т а ну

и С е р р у

[1]

(см. также

К а р т а н

[4]).

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

23.1.2.

Пусть

© — когерентный

аналитический

пу­

чок

над

компактным

комплексным

многообразием

X.

Тогда

для

всех

q ^

0

комплексное

векторное

пространство

Нч(Х, ©)

конеч­

номерно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теоремы

23.1.1

и 23.1.2

обобщают

результаты,

полученные

для

частного случая

© =

 

Q(№) в теореме

15.4.2. Доказательство

теоремы 23.1.2 использует теорию голоморфно полных многообра­

зий (многообразий Штейна). Из теоремы

В ( С е р р [1]и

К а р т а н

[3], сообщение

XIX) вытекает, что если © — когерентный

аналити­

ческий пучок

над голоморфно полным

многообразием

X, то

Я^А', ©) = 0 для q > 0 . Если теперь X — компактное комплексное

многообразие,

то существует конечное покрытие Vi =

{U{}l^I

про­

странства X,

такое, что все пересечения

£ / ^ Г |

Л U{

голо­

морфно полны. Например, это будет автоматически

выполняться,

если в качестве U{ взять единичные шары

по отношению

к неко­

торой аналитической системе координат. Теперь из спектральной

последовательности Лере

(см. Г о д е м а н [1], гл. I I ,

5.2.3) следует,

что

Нч(Х,©)

= № ( U , @ )

для q^O.

Это

один

из

основных

мо­

ментов в доказательстве

Картана — Серра.

 

 

 

 

 

23.2. Пусть

/: X—• У — голоморфное

отображение

комплексных

многообразий

и © — аналитический

пучок над X; q-й

прямой

об­

раз

пучка

© — это аналитический

пучок

f4<&

над У, определяемый

с помощью

следующего

предпучка. Для открытого

подмножества

U из У рассмотрим группу

когомологий

№ ( / - ' ( ^ ) > ® )

как модуль

над кольцом голоморфных

функций

на / _ 1 (U). Голоморфную функ­

цию

g:

U —> С можно

поднять

до

голоморфной

функции

gf:

f-l(U)-*C

 

и тем самым

Hi{\-l(U),<&)

 

можно рассматривать

как

модуль над кольцом голоморфных функций на U. Эти модули

определяют предпучок, ассоциированный с которым

пучок и

есть

/'©.

По определению /'©

будет аналитическим пучком на У.

 

Рассмотрим точную последовательность аналитических пучков

над X

 

 

0 - * 6 ' - > © - > © " _ > о .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По теореме 2.8.2 открытое подмножество

f~l(U)

паракомпактно

для

любого

открытого подмножества

U из У. Поэтому

по теореме

2.10.1 имеет место точная

последовательность

 

 

 

 

о^н°(гЧи),

&)-±H°(rl(U),

 

z)-+H°(rl(u),

©")-*

 

 

-*Hl(f-l(U),

©')-* ... -*Hq(f-l(U),

©')->яЧГ'(^> <з)-

 

 

 

 

 

->H"(rl(U),

&')-+Hq+i{f-l(U),

 

в ' ) - * . . .

и, следовательно, точная последовательность аналитических

пуч­

ков над У

 

0 _> f0 ©' _> # 2

/°©" -> f'©' -> . . .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. . .

-> f.<©' -> /.<© -

- f: + і © '

- * . . .

 

 

u

Т е о р е м а

23.2.1.

Пусть

f:

X-+Y—

голоморфное

отображение

комплексных

многообразий

и

© — аналитический

пучок

над X.

Предположим,

что fjZ

= 0

для всех

і > 0.

Тогда векторные

про­

странства Hq(Y,

fjZ)

и

Hq

(X, ©) изоморфны

для

всех

q ^

0.

Высшие прямые образы пучков появились уже в фундамен­

тальных

работах Л е р е

[1, 2]. Точная последовательность

(1) и

теорема

23.2.1

являются

переформулировками результатов

Лере

о непрерывных

отображениях.

 

Смотрите также файлы